淺談質數無限定理拓展以后

摘 要：歐幾質數無限定理是說，若P是任意大的質數，總存在Q=2×3×5…P+1，也是大于P的質數，從而說明質數是無限的。該定理可以進一步拓展。

關鍵詞：質數無限定理；拓展；推理

歐幾質數無限定理是說，若P是任意大的質數，總存在Q=2×3×5…P+1，也是大于P的質數，從而說明質數是無限的。

上面的定理給我們的啟示是：（1）可以用若干質數的積和正整數1的代數和來表示另外的質數；（2）證明一個數是質數的思路是，利用整除性定理，如果Q=a±b，且有d|b，那么d|Q的充要條件是d|a。（這里d、a、b、Q均為不等于1的正整數）。

另外，判斷一個自然數N是否為質數，通常采用試除的辦法，那么，是否需要把所有小于N的質數都去試一遍呢？當然不必要只需要試除到K≥N就可以了（K是質數）。這是因為：如果N是合數，總存在小于或者等于N的因數，使N=Kt試除，到K|N，推定N為合數；如果試除到K>N，仍然是K/|N，就可以推定N是質數了。我們可以這樣去想，N=Kt=tK。已經試除到較大質數K>N了，較小的質數t必是早已試除過了。因此，判斷一個自然數N是否為質數，沒有必要把小于N的質數通通試上一遍，試除到K>N就可以了。

我們結合定理給我們帶來的啟示和以上推理，對該定理作進一步的拓展。

拓展一：

Q=2×3×5…P-1（P≥3）是質數

證：2|2×3×5…P 3|2×3×5…P 5|2×3×5…P …P|2×3×5…P

2/|1、3/|1、5/|1…P/|1

∴2/|Q、3/|Q、5/|Q…P/|Q

∴Q是質數

拓展二：

Q=2x×3×5…P±1（2x

證明同上理

拓展三：

Q=2x×3×5…Ki-1Ki+1…P±Ki是質數

（Ki-1，Ki，Ki+1表示相鄰質數，且2x

拓展四：

Q=3×5×7…P±2xK是質數

（P、K是質數，2x

證明同上

拓展五：

Q=2x×3×5×7…iy…P±1是質數

（2x

證明同上

拓展六：

Q=2x…P…q±3×5…K是質數

（…P…q內不含有3、5、…K，K>Q）

K可變，必須保證

2x…P…q>3×5…K且2x…P…q…3×5-K≠1

證明同上

根據以上對歐幾定理的拓展，我們回答下面的問題。

我們知道，任何大于4的偶數都可以分解質因數，如不去考慮質因數的順序，分解質因數的結果是唯一的。

設任意大于4的偶數是M，其分解質因數的結果是M=2x…P…r…q（…P、q、r允許有相同的質因數）

ⅰ）當x=1時

M=2…P…r…q

=…P…r…q+2×3…K+…P…r…q-2×3…K

=e±f

（e、f為質數）

K可變，須保證…P…r…q-2×3…K≠±1

特別地，M=2P=P+P

ⅱ）當x>1時

M=2x…P…r…q

=2x-1…P…r…q+3×5…K+2x-1…P…r…q-3×5…K

=e±f

亦或

M=2x…P…r…q

=2x+1…P…r…q-2x…P…r…q

=2x+1…P…r…q-3×5…K+3×5…K-2x…P…r…q

=e±f

如果有 r=2y±1

M=2x…P…（2y±1）…q

=2x+y…P…q±2x…P…q

=2x+y…P…q-3×5…r…K+3×5…r…K±2x…P…q

=e±f

如果有 r=2y±t（t是質數）

M=2x…P…（2y±t）…q

=2x+y…P…q±2x…P…qt

若t是…P…q內的質數

M=2x+y…P…q±2x…P…qt

=2x+y…P…q-3×5…K±2x…P…qt+3×5…K

=e±f

若t不是…P…q內的質數，可改變K，使t/3×5…K

M=2x+y…P…q-3×5…K±2x…P…qt+3×5…K

=e±f

綜上，任何大于4的偶數都能寫成兩質數的和或差。

因為任何大于4的偶數，都能寫成兩個偶數的和與差，且根據需要可以任意改變兩個加數或被減數和減數的大小。

設A、B、C、D為4個偶數

M=A+B=（A-2K）+（B+2K）（K∈N）根據以上推理

=（e+r）+（f-r）=e+f

亦或M=C-D=（C+2K）-（D+2K）=（e+s）-（s-f）=e+f

通過對歐幾定理的拓展和進行上述推理，可以證明，任何大于4的偶數都能寫成兩素數的和。這就證明哥猜是正確的。

作者簡介：

趙鎖堂，內蒙古自治區呼和浩特市，托克托縣第二中學。