論高中數學解題中構造法的運用

摘要：構造法是求解高中數學問題常用方法之一，其能更加直觀便捷地解決一些復雜的數學問題。本文就構造法定義進行簡單分析，闡述其特征與研究價值，在此基礎上對如何利用構造法解決高中數學問題進行實際應用。

關鍵詞：高中數學 構造法 直觀 實際應用

在高中數學解題中應用構造法，不僅可以培養學生邏輯思維，還能夠提高學生解題效率，為學生樹立學習信心。因此在日常解題中，應該重視構造法應用，通過構造法，將復雜問題簡單化，進而提高學習效率，提高解題質量。本文就高中數學解題中構造法的運用進行分析。

一、構造法的特征及研究價值

構造法，是指根據數學問題中已知條件，構造出與之相關的數學結構，將問題中未知量轉變為已知內容[1]。其特征在于構建已知與未知，問題與結論之間的聯系，在一定程度上，將比較模糊的關系變得清晰起來。利用構造法可以將復雜的問題簡單化，提高學生學習效率。在解題過程中，學生主要利用數形結合或者是圖形的方式表示已知量，在此基礎上進行解題。此外構造法在函數、方程式、不等式等各個方面都可以應用，可以將復雜的問題簡單化，對學生思維模式和學習能力培養，具有促進作用，有效提高學生的創造性思維和發散性思維。

二、高中數學解題中構造法的實際應用

（一）構造函數

高中數學函數問題，被認為是比較復雜也相對較難的學習內容，應用構造函數，不僅可以理清學生解題思路，也可以提高學生函數學習能力。在函數學習中，學生不僅需要掌握函數基礎知識，同時需要培養其數學思維。對于我們而言，在函數學習中，數學思維十分重要，是解題的關鍵。在函數問題中，利用構造法解題，不僅可以將抽象的問題直觀化，同時能夠降低問題難度，提高學生解題效率。

例如，設函數f（x）在R上的導函數是f′（x），且2f（x）+xf（x）>x，2證明不等式f（x）>0在R上恒成立。

解析：從直觀上觀察，條件與結論之間幾乎沒有聯系，故采用構造函數法。構造函數g（x）=x2f（x），可知g（x）與f（x）正負一致，其導函數為g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]。當x=0時，帶入已知條件中，可得f（x）>0;當x<0時，已知條件可轉換為2f（x）+xf（x）=■>x2，可推出g′（x）<0，即函數g （x）單調遞減，故在x<0時，g （x）>g（0）=0，所以f（x）>0;當x>0時，已知條件可轉換為2f （x）+xf'（x）=■>x2，可推出g′（x）>0，即函數g（x）單調遞增，故在x>0時，g（x）>g（0）=0，所以f （x）>0。綜上所述，在R上f （x）>0。

（二）構造方程

在高中數學學習中，無論是函數問題還是幾何問題，在計算過程中，都離不開方程的應用，利用已知條件和相應的數量關系去構造出與結論相關的輔助方程，可以建立起未知量與已知量之間的聯系。通過分析所構造輔助方程的性質來解決原問題，使解答更加簡潔清晰。

例如，已知a，b，c均為實數，且a+b=4，2c2-ab=4■c-10，求ab、c2的值。

解析：因為a+b=4，ab=2c2-4■c+10，將a和b看作是一元二次方程的兩個根，可以構造輔助方程：x2-（a+b）x+ab=0，將條件帶入可得到：x2-4x，+2c2-4■c+10=0將其轉換為（x-2）2+2（c-■）2=0，故（x-2）=0，（c-■）=0，由此可以得出c=■，進而得到ab=4、c2=3。

（三）構造幾何圖形

高中數學中，圖形問題應用比較廣泛，利用圖形可以將復雜的數學問題以直觀的方式呈現出來，使問題更加形象具體，進而提高學生學習效率[2]。在數學問題中利用圖形解題，不僅可以培養學生思維能力，也可以培養學生空間想象能力。在數學學習中，利用構造幾何圖形法進行解題，可以將代數問題轉化成幾何內容，然后利用幾何內容基礎知識進行解題。在數學問題中靈活應用構造幾何法，把實際問題中的條件及其相應的數量關系直觀地體現在圖形上.使復雜的代數問題轉換成簡單的幾何問題，增加了解題的直觀性，可以提高學生解題效率，提高解題質量。

例如，證明■+■>a（a>b>0）。

解析：由題中的a>b>0，以及平方差關系，容易想到構建一個直角三角形ΔABC，令斜邊AB=a，直角邊BC=b，∠C=90°，則有另一條直角AC=■。因為a>b>0，所以2ab-b2>b2。根據三角形兩邊之和大于第三邊，可知■+■>■+b>a，證明完畢。

（四）構造情境

在解決高中數學問題時，也經常根據對實際問題的理解構造出一種真實的情境，并運用所構造的情境進行解題。作為一種比較抽象的思維方式，這需要學生通過日常的學習和訓練，積累解題經驗，強化對基礎知識的學習和理解，對整個知識體系有較強的觀察力。

例如，已知a，b，c，x均為實數，且a<b<c，求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值？

解析：|x-a|所表示的數學含義是，在數軸上，x到a的距離，那么問題所要求解的就是，在數軸上有a，b，c三個點，再確定一點x，到這三個點的距離之和最小。畫一條數軸，根據大小關系確定a，b，c三點的位置，可以很直觀的看出，只有當x與b重合時，距離之和才最小，最小值為c-a。

此外，在解決數學問題時，還可以利用構造等價命題及實物模型來簡化復雜問題，降低解題難度。因此在日常學習中，應該重視構造法應用，通過靈活應用構造法，以此提高學習效率，提高做題質量。

三、結語

總而言之，在數學學習中，構造法應用比較廣泛，學生在學習過程中應用較多的一種方法。在日常學習中，學生應該重視基礎知識學習和積累，根據問題和學習內容，可以靈活應用解題方法，通過這種方式提高學習效率。因此，在日常學習中，學生應該重視解題方法應用，以此培養自身綜合素質，為日后學習和發展奠定基礎。

參考文獻：

[1]李正臣.高中數學解題中應用構造法之實踐[J].科學大眾（科學教育），2018，（02）：34.

[2]賈一鳴.構造法在高中數學解題中的應用[J].學周刊，2018，（01）：94-95.

（作者簡介：杜昕宸，河北正定中學，高中學歷，研究方向：數學方向。）