數學文化對于學生數學核心素養的培養研究

丁宇 孟鳳娟 劉存才 張計鑫 陳超超 錢克仕

摘? ? 要：隨著教學方式的不斷革新，學生核心素養的培養逐步成為教育的主要目的，將數學文化穿插于日常的數學教學中，是核心素養改革的本質要求。研究小組主要通過實驗研究法，探索數學文化對于學生核心素養中“數學素養”的影響作用。數學文化主要分為“數學思想和思維方式”“數學史和數學家”“數學與人文的交叉”這三個方面。以常州市某中學的四個班級為例進行實踐調研，探討在運用數學文化的三個方面分別進行實驗教學之后，學生數學素養水平發生的變化。研究發現，在課堂中滲透數學文化對于學生的數學素養有促進作用，學生在接觸數學文化的過程中，培養了學習興趣，改善了學習態度，提高了數學素養。

關鍵詞：核心素養;數學文化;實驗研究法;數學素養

中圖分類號：G642? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-7394（2019）06-0088-09

1? ? 研究背景

隨著教學方式的不斷革新，傳統的教學方式已經無法滿足當代中小學的教學需要。在教學過程中強化核心素養的培養，是當前中小學教育發展的必然趨勢。核心素養是指一個人應該具備的關鍵品格和能力，根據教育部提出的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》精神，加強中小學生核心素養的培養，是順應時代發展變革的重要舉措。

2? ? 研究意義

數學作為一門通過表象分析內在聯系和規律的學科，目的是將“數學思維”提升到方法論層面，并將這一觀念貫穿教育的始終，這一點恰恰是培養學生核心素養的關鍵一步。

數學學科不僅要包含本身所涵蓋的學科教育內容，還需要將學科教育與其他知識相結合，相互補充，所以，對數學教育內容如果要進行基于“核心素養”的改革，就需要對數學學科的教育內容進行仔細地研究和分析，要找到能夠運用“核心素養”理念改革的切入點。而數學文化作為數學中貫穿始終的知識，飽含數學的本質思想，因此，將數學文化穿插于日常的數學教學中，是“核心素養”改革的本質要求。

3? ?研究方法

研究小組通過實驗研究法，探索數學文化對于學生核心素養中的“數學素養”有著怎樣的影響。數學文化主要分為“數學思想、思維方式、方法”“數學史和數學家”“數學與人文的交叉”這三個方面。研究小組以常州市某中學的四個班級為例進行實踐調研，探討在運用數學文化的三個方面分別進行實驗教學后，學生數學素養水平發生的變化。

在2016年公布的《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》中，將數學素養中最為核心的部分梳理成六個成分，稱為數學核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這種分類能夠較好地闡述數學素養的內涵，而且利于研究者測評和分析。研究小組因為時間和能力有限，在數學核心素養的六個成分中選取了數學抽象、直觀想象和數學建模三個成分作為此次研究的測評要素。

4? ? 研究過程

要判斷數學文化對初中生數學素養水平的影響，需要了解被研究者在被有意識、有組織地滲透數學文化后，數學素養水平有了什么變化，是怎樣變化的。本團隊成員在研究地點見習，與被研究者有密切的接觸和交流，能很好地理解他們的思想、情感，從而可以正確分析研究結果。

根據教學經驗抽取課本中部分有代表性的蘊含數學文化的教學內容，將其分別進行課堂實踐教學，通過實驗法研究不同數學文化對學生數學素養不同方面的影響。

4.1? 研究工具

為了更好地分析研究對象的數學素養水平，需要構建分析框架來衡量研究對象的數學抽象素養、直觀想象素養和數學建模素養三方面的水平情況。本研究參考《普通高中數學課程標準（征求意見稿）》（2016），構建了數學素養水平分析框架（見表1）。

4.2? 研究對象

本研究的研究對象是常州市某中學八年級平均數學水平相近的四個班級，分別記為A、B、C、D。選取過程中，本團隊告知了研究對象本研究的相關信息和意義，取得了學校師生們的同意。

4.3? 研究過程

本研究采用實驗研究法，一共分為四個階段，第一個階段主要通過作業分析、試題測評的整體情況來了解四個班級實驗前的數學素養水平。接下來的三個階段，每一個階段都包含了課堂教學、課后測評和成績分析這三個部分。本次研究的后三個階段課堂教學內容分別是“勾股定理”“一元二次方程根與系數的關系”“特殊角的三角函數”，且都由三名團隊成員親自授課。

研究流程如圖1。

5? ?研究結果與分析

5.1? 實驗前的數學素養水平測試

（1）在研究之前，本團隊通過平時的觀察、與任課老師的交流，對研究對象的數學情況有了一定的了解。為了更好地了解研究對象在數學抽象、直觀想象和數學建模方面的水平情況，本團隊在實驗之前，根據數學素養的內涵和學生所學過的數學知識，選取了有關數學抽象素養，直觀想象素養和數學建模素養的題編制了一份試卷，分別對四個班的同學進行測試。其中，涉及數學素養這三方面的題目各1道。測試結束后，結合測試結果、平時作業，我們對測試結果進行了分析。

（2）測試題

①測試題中涉及數學抽象的題目為：

如圖2所示，已知某鐵路橋長800 m，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用45 s，整列火車完全在橋上的時間是35 s，求火車的速度和長度？

分析前測結果，A班同學該題正確率為43.3%，能發現少許數量和圖形的性質。B班同學該題正確率為46.7%，能掌握明顯的數量關系或圖形的規律。C班同學該題正確率為50.0%，能發現部分數量和圖形的性質，掌握一些數量關系和圖形的規律。D班同學該題正確率為40.0%，能發現少許數量和圖形的性質。因此，可認為在實驗前，A、B、C、D班同學的數學抽象素養水平分別處于水平1、1、2、1。

②測試題中涉及到直觀想象的題目為：

如圖3、圖4所示，是由一些小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方體中的數字表示在該位置的小正方體的個數。你能畫出這個幾何體的主視圖和左視圖嗎？

分析前測結果，A班同學該題正確率為53.3%，能構建一些問題中的幾何圖形，但是不能把這些圖形整合起來。B班同學該題正確率為43.3%，能少量構建問題中所蘊含的簡單幾何圖形。C班同學該題正確率為50.0%，能在具體的數學情境中，借助一些圖形性質發現數學規律和圖形運動規律，但是不會具體運用這些規律。D班同學該題正確率為53.3%，能構建一些問題中的幾何圖形，但是不能把這些圖形整合起來。因此，可認為在實驗前，A、B、C、D班同學的直觀想象素養水平分別處于水平2、1、2、2。

③測試題中涉及數學建模的題目為：

生活中的我們常常會遇到下雨而沒帶雨具的時候，往往好多人會在雨中快走或奔跑而使自己身體淋雨量最小化，請用數學模型模擬計算這一做法的正確性。當我們在雨中直線行走時，設雨速為常數，你覺得在雨中是快跑淋的雨多還是慢走淋的雨多呢？

分析前測結果，A班同學該題正確率為50.0%，能夠在類似的實際情境中，對一些現實問題進行抽象。B班同學該題正確率為53.3%，能用簡單的數學語言表達和解決簡單的問題，但不能綜合思考。C班同學該題正確率為46.7%，能夠在熟悉的實際情境中，對少許現實問題進行抽象，用簡單的數學語言表達和解決問題。D班同學該題正確率為53.3%，能夠在類似的實際情境中，對一些現實問題進行抽象。因此，可認為在實驗前，A、B、C、D班同學的直觀想象素養水平分別處于水平2、2、2、1。

綜合以上結果，得出實驗前三名研究對象的數學素養水平情況如表2。

5.2? 第一輪研究

5.2.1教學內容

“勾股定理”是初中數學幾個重要定理之一，教師通過講授“勾股定理”向學生滲透“數形結合、轉化”的思想，以提高學生的數學素養。因此，教學中分別融入數學文化的三個方面，探究對學生數學素養的作用。將A班作為對照組進行傳統教學，而在B、C、D三個班中分別采用以下的三種方法講授“勾股定理”。

第一，介紹勾股定理中“勾股”的由來引出本課，在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。于是古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。所以，本節課所要學習的勾股定理是反映直角三角形三邊關系的定理。

第二，介紹了畢達哥拉斯的故事引出勾股定理內容的探究。畢達哥拉斯有一次去朋友家做客，凝視腳下排列規則、美麗的方形地板，想到它們和“數”之間好像有什么關系，一塊地板如果以它的對角線AB為邊畫一個正方形，這個正方形面積恰好等于兩塊地板的面積和。畢達哥拉斯感覺很神奇，就回家繼續研究，從而發現了畢達哥拉斯定理，也就是我們今天所要學習的勾股定理。

第三，向學生介紹運用趙爽弦圖證明勾股定理。早在公元3世紀，我國數學家趙爽就采用 “數形結合”的方法證明了勾股定理，即運用如圖5趙爽弦圖進行證明，它在數學史上有著非常重要的意義。

5.2.2課后測評

以下三個題目分別就數學抽象、直觀想象、數學建模三個方面的數學素養進行“勾股定理”知識點的考察。

題目1.有一個如圖6所示的長方體的透明玻璃魚缸，假設其長AD=80 cm，高AB=60 cm，水深為AE=40 cm，在水面上緊貼內壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG=60 cm;一小蟲想從魚缸外的A點沿壁爬進魚缸內G處吃魚餌。

（1）小動物應該走怎樣的路線才使爬的路線最短呢？請你在圖中畫出它爬行的路線，并用箭頭標注。

（2）求小動物爬行的最短路線長？

題目2.如圖7，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20 dm、3 dm、2 dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？

題目3.如圖8，長方體的底面邊長為4 cm，寬為2 cm，高為5 cm。若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，求螞蟻爬行的最短路徑長為多少cm？

5.2.3研究結果

分析課后測評結果，A班3個題目中正確作答的平均題目數為1.2個，可認為該班實驗后的三種水平無明顯變化。B班3個題目中正確作答的平均題目數為1.2個，C班3個題目中正確作答的平均題目數為1.4個，D班3個題目中正確作答的平均題目數為1.6個，可認為三個班實驗后的三種水平有一定提升，其中主要是直觀想象素養水平提升幅度較大，見表3。

5.3? 第二輪研究

5.3.1教學內容

“一元二次方程與系數的關系”是初中代數的一個重要定理，通過定理講授，向學生滲透“整體、轉換”的思想，以進一步加深他們對一元二次方程的理解，提高其數學素養。因此，為了探究對數學素養的培養，分別采用以下三種教學方法講授“一元二次方程根與系數的關系”。

第一，如圖9所示，以黃金分割數的知識引出本課，通過要使雕塑的上下高度比等于下部與全身的高度比，并將該問題一般化，求出該高度比。在某一線段中進行未知數的設定，后根據比例關系列出一個一元二次方程，并根據問題的實際意義得出高度比以及探究根與系數的關系。

第二，穿插介紹了韋達的故事。法國數學家弗朗索瓦·韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數的關系，提出了這條定理。 由于韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，人們把這個關系稱為“韋達定理”。

第三，向同學介紹了一元二次方程根與系數的具體推導過程，從特殊的系數為1的一元二次函數的根與系數的關系，到一般的一元二次函數的關系的系列證明，來說明一元二次方程的根與系數的關系。

5.3.2課后測評

以下三個題目分別就數學抽象、直觀想象、數學建模三個方面的數學素養進行“一元二次方程根與系數的關系”知識點的考察。

題目1.小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元;如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元。按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元。請問她購買了多少件這種服裝？

題目2.某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具。

（1）不妨設該種品牌玩具的銷售單價為x元（x>40），請你分別用x的代數式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤w元，并把結果填寫在表4中。

（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10 000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應定為多少元？

（3）在（1）問條件下，若玩具廠規定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？

題目3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當的降價措施。經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。

（1）若商場平均每天要贏利1 200元，每件襯衫應降價多少元？

（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？

5.3.3研究結果

分析課后測評結果，A班3個題目中正確作答的平均題目數為1.8個，可認為該班實驗后的三種水平無明顯變化。B班3個題目中正確作答的平均題目數為1.9個，C班3個題目中正確作答的平均題目數為1.8個，D班3個題目中正確作答的平均題目數為2.0個，可認為三個班實驗后的三種水平有一定提升，其中主要是數學建模素養水平提升幅度較大，見表5。

5.4? 第三輪研究

5.4.1教學內容

“特殊角的三角函數”是初中數學的一個重要的基本初等函數，教師通過講授“特殊角的三角函數”向學生滲透“數形結合特殊化”的思想，進一步擴充初中數學“數與代數”這條主線的學習，提高他們的數學素養。為探究數學素養的培養，分別采用以下三種教學方法講授“特殊角的三角函數”。

第一，由三角學引出本課。西方對于三角函數的研究有專門的學科，稱為三角學，三角學原意為三角測量，是以研究平面三角形和球面三角形地邊與角的關系為基礎的一門數學學科，三角學一度成為歐洲數學的主要內容，包括三角函數值表的編制、三角恒等式的建立和推導，目前，三角學已逐漸變成以三角函數為主要對象的學科。

第二，教學中穿插符號史，最早由雷基奧蒙坦納斯正式提出sine （正弦）一詞，而cosine（余弦）則為英國人根日爾首先使用，直到1626年，阿貝爾特·格洛徳推出了正弦與正切的簡寫三角符號：“sin”與“tan”。1675年奧屈特推出余弦簡寫“cos”，這些簡寫符號一直沿用至今。

第三，向學生介紹采用如圖10單位圓證明三角函數的方法。

5.4.2課后測評

題目1.游客登山有兩種方式：一種是如圖11，先從A沿登山步道走到B，再沿索道乘座纜車到C，另一種是沿著盤山公路開車上山到C。已知在A處觀測到C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距離AE=430 m，A、B的豎直距離BE=210 m，索道BC的坡度i=1∶1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，則山高CD為（ ）米（參考數據：tan31°≈0.9）。

5.4.3研究結果

分析課后測評結果，A班3個題目中正確作答的平均題目數為0.9個，可認為該班實驗后的三種水平無明顯變化。B班3個題目中正確作答的平均題目數為1.0個，C班3個題目中正確作答的平均題目數為1.3個，D班3個題目中正確作答的平均題目數為1.4個，可認為三個班實驗后的三種水平有一定提升，其中主要是數學抽象素養水平提升幅度較大，見表6。

6? ? 研究結論

本研究主要通過對四個班級的課堂教學、課后測評、成績分析量化出的三種素養水平，來衡量這四個班級的數學素養水平的變化。

表7為實驗前后四個班級測評成績量化出的數學素養水平的情況。

根據實驗結果可以發現，A班對照組在沒有使用數學文化進行教學的情況下，數學素養沒有發生變化。B班實驗組在主要滲透數學文化中的“數學與人文的交叉”這一方面教學之后，綜合水平有較小幅度的提升，主要為直觀想象素養水平的增加，此方法對于數學素養的提升在短期內效果不大。C班實驗組在主要滲透數學文化中的“數學史和數學家”這一方面教學之后，綜合水平有一定提升，此方法激發了學生學習數學的熱情，有助于學生長期的學習。D班實驗組在主要滲透數學文化中的“數學思想、思維方式、方法”這一方面教學之后，綜合水平有了很大的提升，學生的邏輯思維和解題能力有了顯著的增強，該方法短期內的教學效果最佳。

從整個研究過程中可以看出：數學文化對個體的數學素養水平具有促進作用，三個研究班級的數學素養的水平都有一定程度的提高，數學文化在對數學抽象素養、直觀想象素養和數學建模素養的促進作用上沒有明顯差別，這可能跟數學文化主要通過間接作用來影響數學素養有關。數學文化對于學生數學素養的直接作用主要是研究對象在接觸數學文化的過程中，開闊了視野，增長了知識，鍛煉了數學思維，這些數學文化知識使得研究對象在解決問題的過程中，得到了靈感和觸發，從而能夠順利解決問題，提高了數學素養水平。數學文化的間接作用是研究對象在接觸數學文化的過程中，學習的興趣加強，學習數學的熱情受到激發，學習態度更加端正，通過日積月累，這些學習習慣的改變，促進了研究對象數學素養的提高。

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責任編輯? ? 祁秀春