高中數學極坐標系與參數方程問題探究

王洋洋

[摘? ?要] “極坐標系與參數方程”是高中數學選修4-4中的重要知識點，與實際生活聯系緊密.但極坐標系與參數方程的教學整體情況不容樂觀.針對極坐標系與參數方程問題開展探究，旨在幫助學生掌握該問題的解決思路和基本方法，提高極坐標系與參數方程的教學效果.

[關鍵詞]極坐標系;參數方程;高中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0018-02

“極坐標系與參數方程”是高中數學教學中的重要內容，也是高中生必須掌握的知識點之一.學習極坐標系與參數方程有助于培養學生的數學思維，提高其邏輯思維能力.結合典型例題探討高中數學極坐標系與參數方程的教學策略，可幫助學生理解極坐標系與參數方程，并靈活運用其幾何意義解決數學問題，同時培養他們的數學綜合素養.

一、記憶和理解極坐標系和參數方程的相關概念

在學習極坐標系與參數方程時，應注重記憶和理解它們的相關概念.教師可利用多媒體技術幫助學生高效地記憶和理解知識以及鞏固知識.例如，在探究一般直線的極坐標方程的推導方法時，很多學生在記憶和理解一般直線的極坐標方程上存在較大的困難，對于極坐標系與參數方程的幾何意義理解得不夠透徹.因此，教師可借助多媒體技術和工具開展多元化教學，利用圖文、視頻等多種方式呈現極坐標方程的推導過程，創新解題思路，從而促進學生更好地理解一般直線的極坐標方程.首先，可以借助幾何畫板畫出直線[a：? ρcosθ=1]和直線[b： ρcosθ=-1]的圖像，拖動直線b上一點A旋轉可得直線[c： ρcosθ-π4=1]和直線[d： ρcosθ-π4=-1]，這時圓半徑OA與OC的夾角∠AOC =[ π4].繼續在幾何畫板上拖動A點旋轉得到新的直線，比較∠AOC的變化.根據圖像對比總結，掌握極坐標系下的直線方程圖像和方程的對應關系，為數形結合思想的運用奠定基礎.又如，橢圓參數方程中離心角[θ]，與我們經常看到的旋轉角不同，教材中只給出離心角[θ]在第一象限的情況圖.對此，我們可借助幾何畫板讓離心角動起來，觀察離心角在其他象限的圖像.這樣，有助于學生更加全面地掌握橢圓的參數方程，從而為解決相關問題奠定理論基礎.

二、運用數形結合思想解決問題

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休.”這幾句簡單的話語充分顯示了數形結合思想的重要作用.在探究極坐標系與參數方程問題的過程中，教師要充分重視數形結合思想的運用，并結合極徑、極角、參數的幾何意義，將極坐標方程與幾何圖形對應起來，從而幫助學生更好地理解知識，解決問題.幾何與代數相結合是極坐標系最顯著的特征，在學習極坐標系時可以結合極坐標方程及相關幾何圖形記憶和理解曲線的極坐標方程，從而避免機械記憶，加深理解.

例如，極坐標系中，點[2，π3]到圓[ρ=2 cosθ]的圓心距離為（）.

A.[4+π29] B.[1+π29] C.[3] D.2

對于這個問題，大部分學生會將點與圓放在直角坐標系中分析，將點[2，π3]轉換成直角坐標[（1，3）]，圓[ρ=2 cosθ]轉換成普通方程[x2+y2-2x=0]，通過化簡運算得到圓心的直角坐標[（1，0）]，從而得到答案.而掌握了極坐標系與參數方程的幾何意義之后，就可運用數形結合思想解決該問題.這種方法幾乎不需要計算，只要將圖像繪制出來，看圖（如圖1）可知半徑[OA=1]，點[2，π3]與B點，∠ AOB=[π3]，[BA=3]，從而得到答案.

又如，證明橢圓[x2a2+y2b2=1]的面積為[S=πab].這個問題有多種證明方法，而借助橢圓參數方程的證明步驟非常簡潔.橢圓與圓的面積存在某種關系，這時可將橢圓與圓看成夾在兩條平行線[x=a和x=-a]之間的圖形，同時被平行于它們的直線[x=m（-a

三、靈活轉換極坐標系和直角坐標系

對于極坐標系的認知，大多數學生往往只限于了解極坐標系，能夠將其與直角坐標系進行相互轉換，一般會先將極坐標系的相關問題轉換成直角坐標系的問題，再進行計算求解.對于極坐標系的應用淺嘗輒止，沒能充分利用極坐標系來解決數學問題，反而變成一個學習負擔，這與新課程引入極坐標系的根本目的相悖.因此，在教學極坐標系相關知識時，我們要有意識地組織學生開展練習，加強學生應用極坐標系解決問題的意識和能力.學生通過一題多解能深刻體會到極坐標系在解題方面的優勢，從而更加積極主動地學習與應用極坐標系知識.運用極坐標系，不但可讓學生從新的角度看待數學問題，而且可讓學生開闊數學視野，發展數學思維，提高應用意識與能力.

例如，在極坐標系中，已知圓[O]過點[P2，π4]，圓心[O]為直線[ρ=sinθ-π3=-32]和極軸的交點，請求出圓[O]的極坐標方程.

該題并不是很難，重點考查簡單曲線的極坐標方程的相關知識，在解決該問題時，大多數學生習慣將極坐標方程轉換成直角坐標方程加以解答，不習慣用極坐標思想來解決問題，沒有意識到用極坐標系解決此類問題的簡便性.這時可通過一題多解，運用極坐標系和直角坐標系分別求解問題，比較兩種方法的優劣，從而形成靈活應用極坐標系和直角坐標系解決極坐標系與參數方程問題的意識和能力.

解法總結如下：

解法1：首先將極坐標方程[ρ=sinθ-π3=-32]轉換成直角坐標方程[y-3x+3=0]，設[y=0]可得圓心[O]的直角坐標為（1，0），將極坐標點[P2，π4]轉換成直角坐標點[P（1，1）]，根據圓心[O]和點[P]的坐標，可知圓半徑[r=1]，從而得到圓的標準方程[（x-1）2+y2=1]，將[x=ρcosθ，y=ρsinθ]代入方程求得圓的極坐標方程為[ρ=2cosθ].這個方法雖然可以解決問題，但步驟比較煩瑣，如果運用極坐標思想來解決問題會更加簡便.

解法2：因為圓心[O]是極坐標[ρ=sinθ-π3=-32]和極軸的交點，設[θ=0]，則[ρ=1]，可得圓心為（1，0），根據三角形余弦公式可知圓的半徑為1，由圓經過極點可知，圓的極坐標方程為[ρ=2cosθ].由此可見，該題如果轉換成直角坐標系來解答比較煩瑣，而利用極坐標系就會簡便很多.通過對兩種解法的比較，相信學生會深刻體會到極坐標系的價值，從而形成運用極坐標系解決問題的意識.

綜上所述，在探究極坐標系與參數方程問題時，我們必須重視數形結合思想的運用，學會運用數形結合思想去分析、解決極坐標系與參數方程問題，同時結合具體數學問題開展一題多解訓練，豐富解題思路，增強學生應用極坐標系的意識和能力，促進學生學會靈活轉換極坐標系與直角坐標系，從而更加高效地解決極坐標系與參數方程問題.

（特約編輯 安 平）