高中函數(shù)建模教學設計

曹倩倩

[摘? ?要]看似簡單的數(shù)學函數(shù)卻包含了很多限制條件與現(xiàn)實問題的模型，函數(shù)的教學是高中數(shù)學教學的重點和難點.將函數(shù)教學融入現(xiàn)實的生活中，形成建模思想，并展開建模教學，既能幫助學生深刻理解函數(shù)概念，又能幫助學生靈活運用所學的函數(shù)知識解決問題，具有極其重要的教學意義.

[關鍵詞]函數(shù);建模教學;高中數(shù)學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0021-02

函數(shù)教學是高中數(shù)學教學的重點也是難點，同時還是學生解決生活問題和將來學習大學應用數(shù)學的基礎.因此，學好函數(shù)知識具有極其重要的意義.但是函數(shù)比較抽象，對中學生來說有一定的理解難度，是學習的難點.為此，本文擬將函數(shù)教學與數(shù)學建模相結合，以期使學生對函數(shù)知識的理解能力和應用能力得到有效提升.

一、高中函數(shù)與數(shù)學建模

數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學理論知識和實際問題的橋梁.將數(shù)學建模思想融入高中函數(shù)教學中，能夠強化學生對抽象概念與性質(zhì)及其應用的理解.在函數(shù)教學中，函數(shù)與對應案例的選取，模型的建立與限制條件的確定，是決定建模成功與否的關鍵要素.在很多應用案例中，所建立的模型往往會求出兩個或以上的解，其中部分解要根據(jù)限制條件舍去.對一些函數(shù)與案例建立的模型求出的解進行代入驗證時，發(fā)現(xiàn)這些解毫無意義，這說明模型的選擇是錯誤的.

函數(shù)教學應該選擇合適的建模案例，這是學生運用函數(shù)知識解決問題的關鍵所在，它能夠促進隱性知識和定義理論不斷轉化并逐步完善，加深學生對數(shù)學概念的理解.一些文獻中提出了用以加深學生對函數(shù)定義與性質(zhì)理解的數(shù)學建模案例，但這些案例多是經(jīng)過一定程度的數(shù)學建模加工得到的“成品”或“半成品”，問題的提法也已經(jīng)是數(shù)學化和理想化，具有條件清楚準確、結論唯一、結果符合實際等特點，甚至可以說是已經(jīng)建立了完善的數(shù)學模型.

函數(shù)建模是將實際問題蘊含的函數(shù)關系巧妙地、恰當?shù)剡\用函數(shù)解析式反映出來，然后對所建立的函數(shù)進行研究，以達到解決實際問題的目的.函數(shù)建模需注意以下幾點.

（1）關注建立模型的合理性，即需要進行合理的假設;

（2）將所求得的結果進行合理化驗證，根據(jù)實際情況對所求的值進行修改和完善，使之更加符合要求;

（3）一個函數(shù)模型可能會運用多個函數(shù)表達式.

目前，中學數(shù)學中涉及應用性較強的函數(shù)類型有冪函數(shù)、三角函數(shù)等.故本文擬以冪函數(shù)、三角函數(shù)為例，介紹相關函數(shù)建模的教學設計.

二、冪函數(shù)建模教學設計

在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一些數(shù)學問題，這些問題和中學數(shù)學函數(shù)有著密切的聯(lián)系.比如，在商店購買商品時，如何買商品既劃算又不會造成物品使用的浪費，這類問題的解決與冪函數(shù)有緊密關聯(lián).不同規(guī)格的商品的價格是確定的，各個生產(chǎn)要素決定了商品的價格.

例如，某火腿腸廠家生產(chǎn)火腿腸出售，其中60 g的火腿腸售價為1.15元，而150 g的火腿腸售價為2.5元，現(xiàn)有某施工單位為了滿足職工需求，生產(chǎn)180 g的火腿腸，該如何確定該火腿腸的定價.

（1）假設各要素對應的參數(shù)

y、y1、y2分別為火腿腸的出廠價、火腿腸的生產(chǎn)成本、火腿腸的包裝費用;w表示火腿腸的重量;[S]表示火腿腸的包裝面積.

（2）合理假設，建立模模

根據(jù)日常生產(chǎn)經(jīng)驗，火腿腸的出廠價格是由火腿腸的生產(chǎn)成本、包裝成本和人工成本決定的，為了將模型理想化，將人工成本假設為0或固定值，不參與計算.

當生產(chǎn)量較大時，火腿腸的生產(chǎn)成本和火腿腸的重量成正比例關系，系數(shù)為k1;

當生產(chǎn)量較大時，火腿腸的包裝成本和火腿腸的包裝面積成正比例關系，系數(shù)為k2;

當生產(chǎn)量較大時，火腿腸的包裝面積和火腿腸的質(zhì)量成正比例關系，系數(shù)為k3;

火腿腸包裝表面積的計算公式為[Sw=k3w23].

（3）建立數(shù)學結構

假如上述假設是合理的，那么可以求得：

（4）合理修正結果

求得火腿腸的出廠價格約為2.93元，考慮整箱包裝費用、其他細節(jié)費用以及銷售便利程度等因素，零售定價應為3.00元.

（5）案例啟示

本次建立的數(shù)學模型將很多環(huán)節(jié)進行理想化，例如火腿腸的生產(chǎn)成本和質(zhì)量并不是完全成正比，嚴格來講，應該是一次函數(shù)關系;實際生產(chǎn)過程中人工成本占有很大的比例;等等.本次建模為了便于計算，均進行了理想化.在計算過程中，火腿腸的體積和對應的表面積是按照規(guī)則形狀計算的，但實際上存在偏差，在實際生產(chǎn)中應該進一步校正.

上述實際問題就是函數(shù)與模型建立之間的關系，根據(jù)實際問題提取其中的重要信息，結合不同火腿腸的質(zhì)量所對應的各項成本建立冪函數(shù)關系，進而建立數(shù)學模型并進行分析與求解.

三、 三角函數(shù)建模教學設計

三角函數(shù)較為抽象，如果不與實際問題相結合，學生是很難理解的.因此，三角函數(shù)教學中，教師應在現(xiàn)實實物的基礎上建立數(shù)學模型，以此來激發(fā)學生的學習興趣.三角函數(shù)與現(xiàn)實生活密不可分，三角函數(shù)在現(xiàn)實中的應用也十分廣泛.如現(xiàn)實生活中的“輪子問題”就與三角函數(shù)關系密切.

復雜的三角函數(shù)問題往往是由簡單的三角函數(shù)問題組合而成，簡單的三角函數(shù)問題往往通過直角坐標系來解決.

以上簡單的三角函數(shù)問題如果單憑想象很難解決，但是如果把問題放置到直角坐標系中來，問題即可迎刃而解.

對于比較復雜的三角函數(shù)問題，需要一一分解，再將分解出來的每個問題逐個建立數(shù)學模型，再將其組合在一起，從而解決問題.

例如，某游樂園為了吸引顧客，打算建造一個在一定時間內(nèi)在水下經(jīng)過的摩天輪，已知摩天輪的半徑為L（如圖3），摩天輪的圓心用O表示，摩天輪的圓心O在水面之上，且距離水面的距離為l，已知摩天輪每分鐘逆時針轉動n圈，當游客箱處于點A位置時進行計時，假設水深為h，那么P點距離水底的高度與時間T的關系式該如何表達？

如果直接回答此問題很困難，但若將其分解為幾個小問題，再逐級對每個小問題建立模型求解，此問題的解答就相對容易了.

首先，將此問題放入平面直角坐標系中，建立具體模型;其次，將問題分解為點P距離水面的距離與時間的函數(shù)關系.點P到達最高點所需要的時間是多少？點P到達最高點的時間節(jié)點分別是什么？點P潛入水面以后距離水面的距離與時間的關系是什么？一個圓周內(nèi)點P共在水下持續(xù)多長時間？等等.如果將以上問題按照順序逐一回答，熟悉點P在整個圓周運動內(nèi)每個點的情況，那么點P位與t的函數(shù)關系式就非常簡單了.

綜上可知，函數(shù)教學與數(shù)學建模密不可分，尤其是類似于冪函數(shù)和三角函數(shù)等較為抽象的函數(shù).教師在函數(shù)教學中要不斷引導學生將簡單的函數(shù)關系與生活實際相結合;在解決問題的過程中，教師應引導學生將現(xiàn)實中的問題進行理想化，進而歸結到函數(shù)關系中，并將求得的結果進行驗證和合理地取舍.這樣，既讓學生能進到模型中去，又能回到現(xiàn)實中來，真正實現(xiàn)活學活用.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

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[2]? 馮愛美. 數(shù)學建模思想融入函數(shù)教學的實踐研究[D].西安：陜西師范大學，2015.

[3]? 徐園園. 高中數(shù)學建模教學策略[D].西安：西北大學，2015.

[4]? 岳海彥. 崇禮區(qū)一中初中生函數(shù)建模問題案例分析[D].石家莊：河北師范大學，2017.

[5]? 紀雪穎. 高中學生數(shù)學建模能力水平研究[D].上海：華東師范大學，2010.

（特約編輯 安 平）