借助幾何直觀　培養運算能力

金小亞

摘?? 要：運算是抽象的，而小學生的思維以形象思維為主，所以學習抽象的運算需要從直觀入手。幾何直觀能溝通實物與算理的關系，使抽象的運算變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解運算。借助幾何直觀溝通算法與算理，幫助學生理解運算規則和運算定律的意義，拓展運算性質，提升運算思維，培養學生的運算能力。

關鍵詞：小學數學;運算能力;幾何直觀;計算教學

中圖分類號：G623.5??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1009-010X（2019）01-0025-04

“運算能力”是指“能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。”運算能力的培養是一個長期的過程，需要落實到具體的課堂教學中，也需要恰當的教學方法。運算是抽象的，運算的學習都是從具體事物開始，之后逐步抽象成數、式、方程等運算。但小學生的思維以形象思維為主，過快的從具體事物躍升到抽象運算，不利于學生對知識的掌握，也不利于運算能力的培養。所以，在具體事物和抽象運算之間，需要直觀圖形的介入，實現“逐步抽象”，幫助學生理解算理，掌握運算意義，靈活運用運算解決問題、發展思維。

利用圖形描述和分析問題，就是幾何直觀。借助幾何直觀，可以使抽象的運算變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解運算，使運算的思維過程清晰可見。教師應通過溝通算法與算理，使學生理解運算規則和運算定律的意義，拓展運算性質，提升運算思維，培養其運算能力。

一、利用直觀圖形，溝通算法、算理

學生運算能力的高低更多是受基本算理理解能力的影響，要夯實運算基礎，首先要讓學生理解算理，實現算法與算理的溝通。曹培英教授認為，基本口算與算法、算理共同構成運算能力的底部。而“算理的解析是教學重點，一般也就是教學的難點所在?！?/p>

兒童的數學學習與生活緊密聯系，小學四則運算的學習都是從生活實例入手，但算理的理解不能僅停留在實物層面，要讓學生經歷從“實物——圖形——算理”的過程。因為圖形相對實物更具有普遍性，也相對抽象，可以幫助學生脫離具體數量的干擾，有助于學生深入地分析和理解運算本身。

如兩位數乘兩位數的筆算乘法。如果在教學中不重視算理的得出，學生也能夠按照計算法則進行計算，盡管這樣的計算更多的是一種模仿。以34×12為例，筆者對4所不同層次學校共8個班級學生的調查表明，學生計算的正確率都超過了90%，而對算理的掌握程度卻并不樂觀。浙江省小學四年級數學質量監測中的相關題目（圖1）就充分說明了這一點：全省選擇正確答案A的學生僅有60.9%。只能模仿計算而不理解算理，即有了計算能力而缺乏運算能力，這對后續學習簡便運算、解決問題等都會帶來負面影響。

可見，在教學中要加強算法與算理的溝通，通過具體實例、圖形、數字等不同表征形式的轉換，幫助學生理解算理。

大致教學過程如下：

（1）出示例題：每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？學生列出算式14×12后，思考：能用幾種方法計算？（生活實例引入）

（2）展示不同方法，如14×2×6，14×3×4，14×10+14×2，10×12+4×12，2×12×7……等。比較后得出，不同計算方法的結果都是相同的。（探究多種算法）

（3）出示37×13，學生思考后發現，把其中的一個兩位數分拆成整十數加一位數（如37×10+37×3）是一種適用于所有的兩位數乘兩位數的通用方法。（從特殊到一般）

（4）結合點子圖進行理解（圖2），經歷從口算到豎式計算的轉變（圖3），最后歸納豎式計算的步驟和方法。（借助圖形，理解算理）

通過教學，學生真正理解了算理。計算時，不再是機械地模仿，而是基于算理理解的運算。教后測試，同樣題目的正確率超過了95%。

點子圖的介入，使兩位數乘法豎式的每一步都有對應的圖形解釋，有助于學生更好地理解算理，構建運算模型。張奠宙教授指出：“從‘會做提升到‘知道為什么這樣做，事關創新人才的培養?！笨ㄈR爾的研究表明，能夠貫通算法與算理的學生往往表現出較高的數意識和運算感，也能夠形成有效的推理策略、更好的交流技能，以及大范圍問題解決策略的豐富經驗。小學數學的算理教學都離不開圖形，圖形幫助學生理解算理，從正確計算上升到正確理解。

幾何直觀在溝通算法、算理中能發揮很好的作用。教材中也有很多借助幾何直觀說明算理的例子，如9加幾、表內乘法、分數加減法等等。充分運用好幾何直觀素材，促進算法、算理的理解與溝通，能更好地培養學生的運算能力。

二、進行直觀操作，理解運算順序

理解運算順序一直是四則運算教學的重點和難點。運算順序的規定是為了保證計算結果的唯一性，是人類追求簡捷的本能在計算活動中的具體反映，要在理解的基礎上進行教學。

直觀操作能更好地幫助學生理解運算順序。通過對圖形地觀察、操作，能夠使復雜的算理變得形象直觀，讓學生體會到運算順序規定的必要性，理解運算順序，提升運算能力。

如“乘加、乘減”的教學：

（1）師：觀察下面4幅圖，列出算式。（圖4）

（2）分別得到下列算式：

（3）讓學生用筆在圖上圈一圈，想一想先算什么、再算什么，然后計算。

（4）讀出第二行的算式。

學生通過操作，理解“先乘除后加減”不是簡單的規定，而是人類追求簡捷的本能在計算活動中的具體反映。學生通過直觀操作，經歷觀察、列式、說意義、讀算式等過程，體會到“把算式里相同的加數表示為乘法形式，能使計算簡便”。

理解運算順序的目的是“根據法則與運算律尋求合理簡潔的運算途徑”，這是運算能力的重要體現。運算順序的規定從來不是死板的，即便如基本的加減混合運算217+49-17、217-49-51、217+49+83等題目，不同的題目也可以采用不同的運算順序使計算簡便。直觀圖形能幫助學生理解運算順序，使得運算順序不再是強制規定，而是基于計算簡便的自覺要求，從而形成合理簡潔運算的意識和能力，達到培養“靈活運算”能力的要求。