對“規律”失靈的思考

張繼攀

[摘 要]學生在運用規律解決問題時，有時會發現“規律”失靈了，無法解決問題。究其原因，并非是學生的學習思維出現了障礙，而是教師教學時出現了“誤導”，讓學生找不到思維出口。促使學生明白規律的運用原則和運用技巧，是數學教學最需要解決的問題。

[關鍵詞]規律；失靈；思考；小學數學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0032-02

【源 起】

蘇教版教材五年級下冊P85思考題：

1.計算下面各題，并找出得數的規律。

[12]+[14]+[18]；[12]+[14]+[18]+[116]；[12]+[14]+[18]+[116]+[132]。

2.應用上面的規律，直接寫出下面算式的得數。

[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]=（ ）。

五年級組的數學教師講解這道題后，在一次綜合能力測試中設計了一道題目“[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=？”，學生答題的正確率為9%，做錯的學生中采用“1-[164]=[6364]”這一方法的學生占86%。這個結果讓很多教師無語。

學生是按照探究思考題所發現的規律進行解答的。為什么還會出錯呢？規律為什么失靈了呢？我們不妨回放一下教學現場：教學此思考題時，很多教師一般是先讓學生進行通分后計算出結果，再觀察結果與加數之間的關系，從而得出規律。學生似乎表面上經歷了探究規律的全過程，實質上，這種探究和發現都是源自于數的外部特征的比較，或者說，只是基于幾個特例的一種不完全歸納，學生并沒有通過深入思考來體會規律存在的合理性和必然性。由此，學生面對形式相似、實質變化的問題情境時，機械應用規律也就是意料之中的事情了。“規律”失靈的背后折射出教學的低效。

【教學改進】

師（出示“[12]+[14]+[18]”）：這些加數有什么特點？

生1：分數的分子都是1。

生2：分母依次乘2。

生3：后一個加數的分母都是前一個加數的2倍。

師：能根據所發現的規律接著往下寫幾個加數嗎？

（學生寫出“[12]+[14]+[18]+[116]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]”等）

師：加數是有規律的，和也有規律嗎？現以“[12]+[14]+[18]+[116]”為例進行研究。

生4：[12]+[14]+[18]+[116]=[34]+[18]+[116]=[68]+[18]+[116]=[78]+[116]=[1416]+[116]=[1516]。

生5：[12]+[14]+[18]+[116]=[816]+[416]+[216]+[116]=[1516]。

師：這兩個同學都是用通分的方法計算的。（出示右圖）借助正方形，你能看出結果嗎？

生6：我從正方形上看出陰影部分的面積是[12]+[14]+[18]+[116]，也可從單位“1”中減去空白部分[116]，即1-[116]，所以[12]+[14]+[18]+[116]=1-[116] =[1516]。

師：借助圖形將復雜的算式轉化為一道簡單的算式。你的發現很了不起。

生7：兩個[116]是一個[18]，兩個[18]是一個[14]……如果在算式后面再添一個[116]，正好等于1。因此，這道算式的結果就是1-[116]=[1516]。

師：能根據算式中的規律進行推理，把復雜的算式轉化為簡單的算式，真聰明！

師：照樣子，大家能快速算出其余算式的結果嗎？

生8：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]=[3132]。

生9：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=[6364]。

生10：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]=[127128]。

……

師：你們發現了什么規律？

師（總結）：幾個幾分之一相加，后一個加數的分母都是前一個加數分母的2倍，這個算式的和等于1減去最小一個分數的差。

師（出示“[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”）：這道算式的結果是[6364]，你們同意嗎？

生11：同意。這道算式中的加數的分子都是1，后一個加數的分母都是前一個加數分母的2倍，用1減去[164]，就等于[6364]。

生13：我不同意。剛才幾道算式是從[12]加起，這里是從[14]加起的。

師：你觀察得真仔細。這道題的結果是多少呢？

生13：我是這樣想的，如果再添一個[164]，兩個[164]是一個[132]，兩個[132]是一個[116]……最后兩個[14]是一個[12]。因此，這道算式的結果就是[12 ]- [164]=[3164]。

師：對于剛才發現的規律，你們還有什么要補充的？

……

【思 考】

1.為什么要教學“找規律”？

首先，探索規律是培養學生歸納推理能力的有效渠道。上述教學中，學生先嘗試探究規律，進而舉一反三，最終完善規律。這樣，學生經歷了不完全歸納推理的全過程，學生的歸納推理能力得到了有效發展。

其次，探索規律是改善學生學習方式的有效途徑。學生在探索規律的過程中，由觀察加數特征開始，尋求不同方法解決問題。在學生通過觀察、猜測、驗證、歸納等活動，認真聽老師和同學講，結合自己的思考，初步發現規律、獲得積極體驗之后，教師有意設置障礙，讓學生發現規律居然失靈了，學生的思維被再次激活。學生經歷了“發現規律—規律失靈—完善規律”的探究過程，思維得以淋漓盡致地展現。整個教學活動彰顯出“找規律”教學的價值。

2.如何引導學生“找規律”？

“找規律”重在“找”，要引導學生在“找”規律的過程中體會規律存在的必然性，從而提高學生探索數學的能力。學生根據開始的三個算式，通過不完全歸納發現規律，再按照發現的規律類比出第四個算式的結果。這樣探究，學生只是淺嘗輒止，印象不會深刻，出現高錯誤率也就在所難免。后來的實踐中，教師組織學生先觀察、比較，初步感受算式的特征，并在寫算式中形成“加數有規律，和也有規律嗎？”的猜想。待學生自主探索“[12]+[14]+[18]+[116]”的結果后，教師引導學生借助幾何直觀自主發現規律，利用變式讓學生體會發現“規律”的殘缺性，從而自覺完善規律。學生找規律的過程具體而又可感，每個學生都獲得了探究成功的體驗，并且能靈活應用規律解決相似問題，這樣，找規律也就不再成為學生的學習難點了。

總之，引導學生從數學現象中總結規律，是學科教學的重要特點和訴求。教師應立足學生思維基礎展開針對性引導，讓學生順利進入規律探尋環節，并在具體實踐中完成認知檢驗，形成嶄新的學科能力。

（責編 黃春香）