小學數學錯誤資源的分析與教學策略初探

陳婉禧 曾靖博 張峻銘 鄧曉敏

摘? ?要：基于課程標準、教材、學生三者的分析，可知人教版小學數學三年級下冊“位置與方向（一）”內容反映了新課程改革背景下小學數學的特點。本文以位置與方向（一）內容為例，分析學生普遍存在的四種錯誤類型：經驗性錯誤、概念性錯誤、合理性錯誤與關系間的混淆，進而探討錯誤資源的利用與策略研究。

關鍵詞：小學數學;錯誤資源;教學策略

作者簡介：陳婉禧、曾靖博、張峻銘、鄧曉敏，華南師范大學教育科學學院。（廣東? 廣州? 510000）

中圖分類號：G623.5? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1671-0568（2019）07-0075-04

現代錯誤觀將認知錯誤和行為錯誤區別對待，更傾向于將學生的錯誤視為一種教育資源，從學生的錯誤中尋找教育契機。因此，在小學數學的教學中，分析錯誤資源對教師的教和學生的學都具有重要的現實意義。對錯誤資源進行分析，有利于師生構建正確的錯誤觀，用積極的態度對待錯誤的產生、分析與利用;有利于教師因材施教，針對不同層次的學生與不同類型的錯誤開展個性化教學;有利于學生發掘數學學習中的弱點與盲點，完善其知識體系的構建。本文以“位置與方向（一）”這一典型課目主題為例，對小學數學錯誤資源進行分析，為教師的教學提供一些建議。

一、“位置與方向（一）”的典型性

“位置與方向（一）”選自新人教版小學數學三年級下冊第1單元，通過分析，教師可知本科目主題從課程標準要求、教材的編排、學生的學習階段三個方面均反映了新課程改革背景下小學數學典型性的特點。

1. 課程標準要求具有典型性。“位置與方向（一）”這一課目主題屬于《義務教育小學數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱為“課標”）第一學段的“圖形與幾何”領域中的“圖形與位置”板塊。從課程內容上和思維能力上分析，新課標對該主題的要求都體現了課程改革背景下小學數學的特點。

從課程內容的要求上看，“位置與方向（一）”的內容是第一學段中“圖形與位置”所有知識的凝練與升華：在第一學段，學生應學習兩種確定物體位置的方法，一種是用“上、下、左、右、前、后”描述物體的位置;另一種是用“東、南、西、北”描述物體的位置。前者對應的是人教版小學數學一年級上冊的內容，學生需基于自身位置，同時選取合適的參照物的位置進行物體方位的判斷;后者對應的則是本課目主題的內容，學生需基于之前學習的內容，學習如何只需選定參照物即可進行物體的方位描述。

從思維能力的要求上看，“位置與方向（一）”的“數學思考”目標呼應課標注重發展學生的空間觀念這一要求：空間觀念的培養需基于表象的建立，而表象以現實生活為基點。在這一課目主題的學習中，學生將通過對生活情境的深入探究，基于具體實物形成一定的方向感后，脫離工具進行方位的描述，為第二學段繼續學習確定位置打下基礎。

2. 教材的編排具有典型性。無論從宏觀角度還是微觀角度，“位置與方向（一）”這一課目主題的教材編排都體現了新課標背景下小學數學的特點。

從宏觀的角度，關于“位置與方向”的內容呈現很好地體現教材“螺旋式上升”的知識呈現特點：學生在學習本課目主題前，已在一年級上學期的“位置”中認識上、下、前、后;而在學習后，學生會在六年級上學期的“位置與方向（二）”中學習根據方向和距離表示位置，并在以后進一步學習與該主題相關的知識。學生在學習過程中以抽象思想與模型思想為紐帶，充分運用知識正遷移規律，溝通了知識的內在聯系，從而形成一個較為完整的知識結構。

從微觀的角度，“位置與方向（一）”的教材編排體現了課標中“課程內容的選擇要貼近學生實際”的基本理念：首先通過天安門廣場的實景鳥瞰圖激發學生的學習興趣，之后通過例題引導學生從情境中學習新知，最后再通過練習題讓學生應用方位的知識解決生活中的實際問題。不僅如此，教材還利用穿插在其中的“你知道嗎”與“生活中的數學”體現這一理念，這種編排不僅利于學生理解數學知識，還利于學生形成數學能力。

3. 學生的學習階段具有典型性。學生在學習“位置與方向（一）”時正處于三年級這一學習階段，根據學情分析，無論是從學生認知方面還是從學生心理

方面，三年級階段都具有典型性。從學生認知方面的

角度，三年級是學生學習的過渡時期，是小學階段關

鍵性的一年。該階段學生學習特點主要有：第一，學習內容難度加大，本課要求學生學會辨認八個方向，并認識簡單的路線圖。這說明三年級學生在學習中需要付出更多的努力和踏實勤奮的學習態度。第二，學生學會運用一定的抽象思維，但仍以形象思維為主。第三，學生雖已能從事需要一定意志支配的工作，但意志還很薄弱。第四，學生想象能力由模仿性和再現性向創造性的想象過渡。

從學生心理方面的角度，該階段學生個性特點主要有：第一，學生漸漸學會道德原則的評價標準，但道德認識水平仍較低，易受到外界的影響。第二，此時學生會接受他人的評價并發現自身的價值從而形成自信心。第三，學生集體意識有所發展，喜歡與伙伴共同游戲、學習。第四，學生情緒容易發生變化，且變化極大和外顯性強。這說明三年級同時也是學生個性發展的關鍵時期，特別在自信心和控制個人情緒兩個方面。

二、錯誤資源的分類及示例

學生的錯誤資源種類繁多，若無明確的分類，教師將不能很好地利用這些錯誤資源。經過研究，教師可將小學數學錯誤資源分為經驗性錯誤、概念性錯誤、合理性錯誤和關系間混淆共四類。下面將以“位置與方向（一）”中的例題為例對這些錯誤資源類型進行闡述。

1. 經驗性錯誤。學生的生活經驗是指學生在家庭生活、社區生活、以及個人選擇的休閑生活中的自主、自然、日常活動的結果，而經驗性錯誤是指由于上述結果的局限導致有關的經驗知識體系中出現漏洞。根據研究調查分析，我們會發現，學生自身對抽象生活經驗的不理解，以及教師課堂教學時對生活經驗的忽略會導致經驗性錯誤的產生。具體而言，一是學生對生活中抽象的生活常識沒有理解卻囫圇吞棗地進行記憶，二是教師在教學過程中往往只關注學生學習了哪些知識，而忽略學生已有的生活經驗進行教學，以至于課堂教學出現了“脫離生活”的低效現象。

【例1】填空題。

早晨當你面對太陽，你的后面是（? ）面，你的右面是（? ）面，你的左面是（? ）面。

錯誤解答：

如在圖3所示的例1，該生不清楚“太陽從東邊升起，西邊落下”等重要的自然現象，只是機械地把習得的“上北、下南、左西、右東”填入空格中。產生這種經驗性錯誤，不僅與該生的生活經驗有關，還與教師未能準確定位學生已有的生活經驗水平有關。

2. 概念性錯誤。一般而言，我們可從兩個方面習得數學概念：一是直接從客觀事物的數量關系和空間形式反映而得;二是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象所獲。而學生在學習概念性知識時，便會在這兩個方面產生錯誤。具體而言，學生因先前累積經驗而形成了與課目知識有偏差的記憶與思維定式，在遇到類似情境時，容易想當然地將新問題按舊問題的方式解決。與此同時，教師在課堂上沒有對新知識的講解和滲透模糊不清也會讓學生產生概念性錯誤。

如在圖4所示的例2，該生的作答為“上、下、左、右”這類簡單的平面關系，并沒有填入題目要求的“方位”。產生這種概念性的錯誤，不僅與該生這種具有偏差的思維定式相關，可能還與教師在教學時未向學生強調方位與普通的平面關系的區別與聯系有關。

3. 合理性錯誤。小學數學問題解決過程中學生的合理錯誤指學生由于知識缺陷、已有的錯誤經驗、思維慣性或問題解決能力欠缺等原因而出現的錯誤。根據調查分析，我們發現學生知識遷移能力的薄弱，以及教師缺少對易錯點的澄清會導致合理性錯誤的產生。具體而言，一是學生由于自身發展水平的局限，導致知識遷移能力薄弱，無法在新舊知識之間建立良好的聯系，從而出現了合理性錯誤;二是教師在課堂教學中，缺少向學生強調題目和知識點內蘊的數學思想，未利用學生容易出現的這類錯誤進行反面教學，從而出現了合理性錯誤。

【例3】完成下面的方位示意圖。

錯誤解答：

如在圖5所示的例3，該生因為自己家門口的路牌朝著北邊的馬路，指示著左邊是東，右邊是西，想當然地認為“左東右西”，而不是教師在課堂上告訴學生的“左西右東”，一旦把東和西的方向判斷錯了，其他的方位也隨之會判斷錯誤。產生上述錯誤，不僅與該生這種具有偏差的思維慣性相關，還與教師在教學時未向學生滲透“位置是相對的”的數學思想有關。

4. 關系間混淆。關系間的問題是小學數學中的難點之一，關系間混淆主要是指學生不能正確尋找或判斷兩者或以上之間的主次關系，導致公式、運算符號錯用等。根據研究調查分析，我們發現學生對概念間的關系沒有準確理解，以及對語言理解發生偏差會導致關系間混淆導致的錯誤。具體而言，一是學生在解決兩者以上的關系問題時首先就是需要學會辨析，因此學生需要一定的語言理解能力;二是教師在課堂教學時沒有具體講清楚概念和它們之間的關系，從而出現關系間混淆的錯誤。

如在圖6所示的例4，該生知道基本的方位及其規律，但沒有找對參照物，這是因為學生認為題中的“目標物”動物園在電影院的前面，因此動物園就是“參照物”，才會出現如上錯誤。產生這種關系間的混淆，不僅與該生個人原因以及沒有理解參照物相關，還與教師在教學時未向學生明晰“目標物”與“參照物”間的關系有關。

三、利用錯誤資源的有效教學策略

教師對錯誤資源分析的最終目的是為了對日后的教學起到指導作用。通過上文對錯誤資源的分析，筆者總結出以下四點利用錯誤資源的有效教學策略。

1. 創設身邊熟悉情景，積累生活經驗。生活經驗的積累需要一定的時間，課堂時間并不能完全高效地直接給學生傳授生活經驗，而在課堂上創設大量學生熟悉的生活情景便為學生提供接觸生活經驗的載體，拉近生活與數學知識之間的距離。因此，教師應在教學中創設學生熟悉的便于操作的實踐活動情境，讓學生在活動中親身體驗數學知識，積累活動經驗，從而改變教學與生活脫軌的現狀，減少學生的經驗性錯誤。如在本課目知識的教學中，教師在課前讓學生在教室或者校園里找一找、說一說、辨一辨四個方向，學生通過觀察、操作、描述、想象和交流等活動，豐富他們的知識體驗和活動經驗。學生在學習簡單的平面圖時，教師提前復印學校平面圖并派發給學生，讓學生對照平面圖在校園里進行方向的辨別，引導學生綜合利用所學習的方向的知識解決實際問題。在這些活動中，學生生活經驗與空間表象的感性體驗都大大豐富，進一步促進其空間觀念的形成，學生的經驗知識體系得到完善，有效減少了經驗性錯誤的出現的頻率。

2. 關注學生已有經驗，澄清迷思概念。學生通過生活觀察和體驗形成了不少非正式概念、經驗或思維方式，這些會讓學生在正式學習時同新知識混淆。西方學者將此類錯誤概念稱為“迷思概念”。而通過對錯誤資源的分類，我們知道學生會因先前累積經驗而形成具有偏差的記憶與思維定式，即“迷思概念”造成概念性錯誤。因此，教師在教學過程中要關注學生的已有經驗，并引導學生有效地利用自身的生活經驗，認識并理解概念性知識。例如，在本課目知識的教學中，教師可以利用學生“迷思概念”導致的學習錯誤資源，把小學生熟悉的小學以及周遍的一些標志性建筑的示意圖代替書中的主題圖作為背景來進行教學。在此基礎上，教師可以規定一個方向，在演示、討論的過程中完善學生對方向新的認識，向學生傳達“相對性”的思想，在他們頭腦中澄清學習過程中的迷思概念，建立初步的方向框架，培養學生的空間觀念。

3. 尋找新舊知識聯系，增強解題能力。數學題追求的不僅僅是答案符合實際，而是答案合乎規范、契合該課時要求學生所掌握的知識點。對本課時而言，一年級學習的“上、下、左、右、前、后”幾個基本方位，以及語文課本中學習的兒歌“東西南北”是學生學習的重要知識基礎和生活經驗。因此，針對學生的合理性錯誤，教師在教學中應充分利用學生已有的方向知識和經驗，尋找新舊知識的聯系展開教學。例如，在認識東、南、西、北四個方向時，先通過描述物體的前、后、左、右位置關系的變化，產生學習新知的需求，再通過兒歌的回憶，喚起學生已有的知識經驗，根據兒歌引導學生推出：前面──東，后面──西，左面──北，右面──南。在學習平面圖中方向時，又將上──北、下──南、左──西、右──東聯系起來，利用新舊知識間的聯系，既有利于學生對四個方向的記憶，又幫助學生找到了辨認方向的方法。

4. 引導學生學科遷移，提高理解能力。分科教學讓學科的系統性更加完整清晰，但同時會讓學生在學習不同學科時產生“刻板印象”，即認為學科之間是相互獨立的，并且會產生“某些學科不必要學習”的想法。因此，教師在教學過程中要注重學科之間的遷移，讓學生靈活運用所學的知識，拓寬思維。數學中的“關系間”的知識學習是比較特殊的，需要學生具有較強的語言理解能力，因此，教師應該在關系間的教學中注重提高學生的理解能力。例如，在本課目知識涉及關系間的問題主要是參照物的問題。在學習語文的過程中也有很多涉及事物間關系的知識，這些知識也可以用于數學中。另外，在數學課中教師可以通過挑選一些較為典型和易錯的練習，教學生辨析題目中的參照物。具體可以在教學過程中讓學生先自己嘗試讀題，找出需要辨析的事物，而后教師要從分析句子出發，從關鍵詞（如“在”“位于”等）入手。在此基礎上，教師還應當引導學生進行總結，學生會在總結中發現題目中關系之間的相同意義，即證明學生已經理解題目中的參照物與本體之間的關系。

總之，在學習過程中錯誤的出現是不可避免的。首先，教師應重構錯誤資源價值觀，構建正確的錯誤資源價值觀，從全新的視角、用“可利用的”眼光看待錯誤，創建一個師生相互支持的容錯的學習氛圍。同時，要善于結合學情去捕捉、發現錯誤背后隱含的教育價值，把它作為課堂和練習寶貴的再生資源。其次，學生應在教師引導下學會從錯誤中求知，在錯誤中探究，使自我的學習體驗得到檢驗、修正、豐富與建構。因此，教師要學會分析錯誤資源并以此為依據調整教學策略，有效利用數學錯誤資源，從而不斷提升教學效果，創造出更適合學生發展的課堂。

責任編輯? ?張慶曉