“HPM”視角下的課堂教學實踐與反思

萬兵 李景財

[摘 ?要] 數學史是數學學科的教學指南，合理運用數學史有利于數學教學觀念與方式的創新、有利于數學學科核心素養的落實、有利于數學思想方法與文化的滲透. 文章以基于“HPM”視角的配方法教學設計為例，對以上觀點進行了深度解讀.

[關鍵詞] 數學史;“HPM”視角;核心素養

一門學科的歷史知識好比是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，有助于使該學科更具吸引力，能夠激發學生的學習興趣，使他們樹立正確的價值觀. 如果用歷史回顧和歷史軼事點綴枯燥的問題求解和幾何證明，學生的學習興趣就會大大增加. 通過歷史的解說，教師可以讓學生明白，數學并不是一門枯燥的學科，而是一門不斷進步的、生動有趣的學科.

一門學科的歷史是這門學科的教學指南，因為學生的理解具有歷史相似性，正如“HPM”先驅者史密斯所說：“困擾世界的東西也會困擾兒童，世界克服其困難的方式提示我們，兒童在其發展過程中會以類似的方式來克服類似的困難.”換而言之，學生所遭遇的困難往往是相關學科的創建者經過長期思索和探究后所克服的實際困難，個體知識的發生遵循人類知識的發生過程，因此，數學史是有效的教學工具.

結合上述理論，作者在2018年武漢市初中數學優質課比賽中，設計了一節基于“HPM”視角的優質課，教學內容為人教版第21章第2節“配方法”的第一課時，探究如何讓數學史融入數學教學，并給予反思.

教學目標

（1）會用直接開方法解形如x2=p，（x+n）2=p（p≥0）的方程;理解配方法，會用配方法解形如x2+bx+c=0的方程.

（2）通過探索配方法的過程，讓學生體會轉化的數學思想方法.

（3）學生在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數學的價值，增強學生學習數學的興趣.

教學片段及分析

1. 情境導學

教師：公元前兩千年左右，古巴比倫人在他們的著作《泥板文書》上曾提出過這樣一個問題：“已知長方形面積，以及長和寬之差，求長和寬.”如果長方形的面積為24，長和寬之差為2，該長方形的長和寬分別為多少呢？

學生1：設長方形的寬為x，則長為x+2，所以x（x+2）=24.

教師：我們得到的方程是一個什么方程？

學生2：一元二次方程.

教師：如何解這個方程呢？（揭示課題）

教學分析 這一問題首先將學生帶入到公元前兩千年左右的古巴比倫時期，激發學生們的興趣，讓學生感知這一數學問題產生的必然性和久遠的歷史. 同時兼顧到了問題的難度，學生容易上手，主動建構了一條邏輯連貫的學習鏈條.

2. 問題促學

觀看微視頻，并在學案上完成下列三個問題：

史實材料1：在歷史上，最早出現的一元二次方程來源于古埃及的《紙草文書》上所提出的問題：“已知正方形的面積，求邊長.”如一個正方形的面積是5，求該正方形的邊長.

史實材料2：古埃及祭司針對上述問題，提出了一個拓展問題：“已知長方形的面積以及長和寬之比，求長和寬. ” 如一個長方形的長和寬之比為3∶2，面積為30，求該長方形的長和寬.

史實材料3：因農業生產需要，先民們需要對正方形土地進行擴建改造：將一個正方形的邊長增加3，得到新的正方形的面積為25，求原來正方形的邊長.

（學生3板書）解：設正方形的邊長為x.

列方程得x2=5，

所以x=±.

（學生4板書）解：設正方形的長和寬分別為3x和2x.

列方程得6x2=30，

所以x2=5，

所以x=±.

（學生5板書）解：設原來正方形的邊長為x.

列方程得（x+3）2=25.

所以x+3=±5，

所以x=2或-8.

教師：你們能嘗試說一說解方程的依據嗎？

學生3：x2=5，那么x的值就是5的平方根，所以我用到了平方根的定義.

學生4：先將x2前面的系數化為1，是為了轉化成類似問題1中的方程，以便于我們用平方根的定義求解.

學生5：將x+3當作一個整體，方程形式和問題1中的形式類似，可以先用平方根的定義求出x+3，再求x.

教師：不錯，講得很好. 思路清晰，邏輯嚴密，回答正確. 這三個同學道出了解決這類方程的三個關鍵詞：開平方根，系數化1，整體思想. 這種解決問題的辦法叫作直接開平方法. 那么進一步，你認為具有什么結構特征的一元二次方程能用直接開平方法解呢？

學生6：如果方程能化成x2=p或（x+n）2=p（p≥0且p為常數）的形式，那么直接開平方可得x=±或x+n=±.

教師：非常準確，你歸納總結的能力非常強，希望大家下次遇到以上形式的方程的時候能夠快速準確地求解. 但遺憾的是，我們所遇到的問題中，有很多一元二次方程并非具備上述形式，那該怎么辦呢？比如，你能解方程x2+6x+9=25嗎？

學生6：我發現x2+6x+9是一個完全平方式，因此方程可化為（x+3）2=25，再用直接開平方法就可以求解了.

教師：非常好，這位同學的回答告訴我們：具備“完全平方式=常數”這一結構特征的方程變形后也可以用直接開平方法求解. 那么大家還記得完全平方式嗎？請填寫下列空白：

①x2+10x+______=（x+______）2;

②x2-3x+______=（x-______）2;

③x2-x+______=（x-______）2.

學生7：這6個空白分別填25，5，，，，.

教師：完全正確，那么老師想追問大家一個問題：你們所填的常數項與一次項系數有何關系？

學生8：常數項是一次項系數一半的平方.

教師：很好，不過老師要提醒大家的是我們應該在這個結論之前加一個條件：二次項系數是1. 如果二次項系數不是1呢？這將是我們下節課要學習的內容，本節課，我們先重點學習二次項系數是1的情況.

教學分析 該部分設計的思路遵循這一原則，從古巴倫人最初遇到的最簡單的一類一元二次方程出發，著眼于學生知識發展的生長點，同時又產生矛盾，讓學生思考對于更為一般的方程又該怎么處理呢？筆者尋求了思維的鋪墊，給出x2+6x+9=25該如何解這一問題，旨在告訴學生具備“完全平方式=常數”這一結構特征的方程也可用直接開平方法求解;對于更為一般的方程，將其轉化為這一形式，將未知問題化歸為已有經驗.

3. 活動研學

請小組合作探究方程x2+6x+4=0的求解過程，并歸納具體步驟.

學生9板書：x2+6x+4=0.

解：x2+6x+9-5=0，

所以x2+6x+9=5，

所以（x+3）2=5，

所以x+3=±，

所以x1=-3+，x2=-3-.

學生10板書：x2+6x+4=0.

解：x2+6x=-4，

所以x2+6x+9=-4+9，

所以（x+3）2=5，

所以x+3=±，

所以x1=-3+，x2=-3-.

教師：請兩位同學分別來解釋一下各自的想法.

學生9：根據剛才所學的，我們的目的是為了化成“完全平方式=常數”這一形式，現在要想讓左邊是完全平方式，必須是x2+6x+9，所以我們再減去5就能還原成x2+6x+4了.

學生10：為了不讓常數4干擾我們配完全平方，我們可以先將常數移至等式右邊，等式右邊變為-4+9.

教師：非常好！所以，這兩位同學最終殊途同歸，具體差別在于，第一位同學這個5是用9-4得到的，這里面其實含著兩步計算;第二位同學的過程是分步進行的，先配方再合并同類項，第二種方法步驟分明，便于計算. 我們將這種解一元二次方程的方法叫作配方法. 請同學們分別概括一下配方法的概念，闡述配方法的目的，以及它的具體步驟.

學生11：定義：通過配成完全平方式的形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法.

學生12：目的：降次，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.

學生13：步驟：①移項，把方程的常數項移到方程的右邊;②配方，方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方;③開方，利用直接開平方法解方程;④寫解，將方程的解表示為x1=p1，x2=p2的形式.

教學分析 活動研學前面部分的教學內容是為了讓學生厘清我們已有的認知. 活動研學部分的教學設計給了學生開放性的思維空間，所有思維方式最終的本質和落腳點都是不變的，既尊重了學生的思維，同時又幫助同學們建立了更為清晰的認識.

4. 應用評學

（1）認真觀察下面方程的解法是否正確：

設計目的 學生從掌握新知到準確地運用新知還有一段距離，給出常見的錯誤案例，讓學生進行判斷，可以讓學生認識常見錯誤，思考錯誤的原因，厘清錯誤的認知，達到易錯糾錯、易錯防錯的目的，從而規避可能出現的錯誤.

（2）解下列方程：①3（x-1）2-6=0;②x2-8x+1=0;③x2-x-=0.

設計目的 本節課的目標之一就是會用配方法解決形如x2+bx+c=0的方程，本題的設計起到了鞏固、檢查、診斷的作用.

（3）回歸情境問題：課前的方程x（x+2）=24，你會解了嗎？

設計目的 看待一節課是否具備整體觀，有多重維度，如教學設計是否經歷了生成問題、分析問題、解決問題的“閉環結構”，教學是否生成了新的教學資源和問題，給學生更多思考的空間……設計問題（3）的目的是為了呼應課程最初所生成的問題，讓學生切實感受到獲得感.

5. 數學史話

微視頻：了解并欣賞古人如何解一元二次方程.

設計目的 古巴比倫人在不接受負數概念的情況下，是如何求解一元二次方程的呢？他們采用的是“割補化方”的方法，本質上等同于我們的“出入相補原理”. 例如，方程x（x+2）=24的幾何意義為長為x+2，寬為x的長方形的面積24，如何求解呢？如圖1，他們先將這個長方形分成邊長為x的正方形和一個長為x，寬為2的長方形，繼續再將這個長方形分成兩個寬為1的小長方形，并將這三個圖形拼在一起，此時只需要補一個邊長為1的正方形便可以構成一個大正方形了，因此大正方形的面積為24+1=25，所以大正方形的邊長x+1等于5，得到x的值為4，從而順利地解決了該問題. 學生們通過了解這段歷史，感受到數學的內在魅力，提高了學習數學的興趣.

反思升華

1.有利于數學教學觀念與方式的創新

數學史的運用創新了“數學知識的形成過程的方式”，以數學史呈現古代對該知識的認知，呈現該知識的發展歷程，為當今呈現該知識形成過程提供了背景與思路，使知識的形成過程具有底蘊.

本節課用數學史作為線索推動課堂內容，自然而流暢. 為了貼合實際課堂，筆者用微視頻呈現歷史素材，素材鮮活、有感染力;用兩條線貫穿課堂：一條線是借數學史，展開現代數學的內容;另一條線是利用現代數學和古代數學在處理數學問題上的差異制造沖突，沖擊學生的思維，讓學生在感受古代數學智慧的同時感悟現代數學的簡約，體驗數學直觀美、簡約美、智慧美，讓學生感受成功的喜悅，感受數學的價值，提升學習數學的情感.

2. 有利于數學學科核心素養的落實

本課基于“HPM”理念，始終圍繞培養學生的核心素養，創新問題情境，引發學生深度思考，讓學生在掌握基本知識、基本技能的同時，去發現問題、分析問題、解決問題，甚至讓學生大膽到講臺上講出來，給學生獨立思考、合作交流和勇于表達等機會與空間，培養學生終生需要的學習習慣、必備品格和關鍵能力.

3. 有利于數學思想方法與文化的滲透

實施數學史的教學展示了數學活動實踐，呈現了數學活動的歷史背景、文化和思想方法，所以說實施數學史的教學是滲透數學思想方法和文化的有效舉措. 教學設計中的數學史介紹了古人如何解一元二次方程，很好地滲透了“數形結合”的數學思想方法和文化.

本課以數學史料為線索展開教學，增強了學生的新奇感，一定程度上調動了學生學習的積極性;但由于學生數學史的儲備不同，學生對數學史的素材理解、價值感悟、情感體驗有一定的差異，產生的作用與預設有一定的差距. 可以看出，基于“HPM”視角的教學需要一個長期、循序漸進的過程，需要相互適應，不斷融合，不斷積累情感體驗，使師生形成“HPM”視角的價值觀、教學觀，才能使“HPM”視角下的教學行為成為常態.