初中二次函數(shù)三角形面積問題研究

王達海

【摘 要】數(shù)學作為一門重要學科，在當下初中教學中占據(jù)著重要的地位。其中二次函數(shù)中三角形面積問題，作為幾何與代數(shù)的有機結合，是一個重要的考核要點，亦是對學生在函數(shù)綜合能力方面的提升。而二次函數(shù)在教學過程中存在多種教學思想與解題方法，因此在實際教學過程中，教師應對教學深度與教學方式進行精準的把握，以便層層漸進的對學生的數(shù)學思維進行構建，對函數(shù)知識進行學習。

【關鍵詞】初中數(shù)學;二次函數(shù);三角形面積問題

【中圖分類號】G633.6 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）11-0056-02

隨著數(shù)學教學進程的不斷深化，函數(shù)教學的深度與難度也在不斷提升，初中數(shù)學階段，作為幾何與代數(shù)的有機結合，二次函數(shù)中三角形的面積問題，因其可滲透的解題思路以及教學思想比較多，而成為初中數(shù)學教學的一大重點。對于學生來說該類題型的難度較大，因此在教學過程中教師應該加強教學設計，由淺入深的對其進行講解，充分調(diào)動學生的學習積極性，對學生數(shù)學思維以及解題習慣進行培養(yǎng)。確保學生掌握二次函數(shù)三角形面積這一基礎知識點的同時，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。

一、課堂導入

首先在課堂中通過向?qū)W生提出一個較為開放的課題，來引導學生進行自主探索，如，教師可以給出“根據(jù)直角坐標系中三點坐標B（3，0），C（0，3），D（1，4），并將其順次進行連接，求其所組成的三角形的面積”這一問題[1]，然后引導學生自主動手在平面直角坐標系中畫出△DCB的形狀，并引導學生對所畫圖形的三角形面積進行換算。而當學生在解答過程中遇到困難時，教師可以引導學生嘗試割補法來對三角形的面積進行計算，并鼓勵學生自主嘗試不同的方式對三角形進行分割。在教學過程中教師應該盡可能多的引導學生嘗試對三角形進行不同方式的分割，引導學生深刻掌握三角形不同的分割計算方式的同時。為二次函數(shù)三角形面積計算打下相應的基礎。

二、例題講解

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圖1

如上圖1所示，已知拋物線過坐標系中的A（-1，0），C（0，3）亮點，且坐標系的對稱軸為X=1的直線。求：（1），拋物線的解析式，以及拋物線與X軸的另一交點B與頂點D的坐標。（2），△DCB的面積[2]。

通過以上例題的提出，教師需要引導學生主動思考求二次函數(shù)的解析式主要有哪三種，在該例題中使用哪一種解析方式比較簡單、方面。同時還應引導學生積極完成求△DCB的面積的準備工作，并思考怎樣根據(jù)B、C、D這三個點的坐標進行三角形面積的計算。同時通過與課堂導入內(nèi)容向結合，激發(fā)學生主動去尋找該例題與課堂導入中所出題目的異同點。從而加深印象，使學生能夠更加直觀對平面直角坐標系中三角形面積的分割方式進行掌握，同時對二次函數(shù)解析式的三種不同方法進一步加深印象，促進學生了解與掌握。

三、多題練習與鞏固

1.變式題1。

通過在對例題講解的基礎上，教師還可以進一步延伸，已知拋物線與坐標軸曉教育C、B兩點，而D是直線BC上方二次函數(shù)圖像上的一個動點，求點D到什么位置時△DCB的面積最大，而此時D點的坐標是？三角形面積的最大值是[3]？

教師需要引導學生去思考兩者之間存在什么差異。同時教師還應引導學生根據(jù)所學的二次函數(shù)解析式對B、C兩點的坐標以及BC間的長度進行求取。同時教師還可以引導學生思考是否是當D點與直線BC間的距離最大時△DCB的面積最大，并引導學生去D點的幾個坐標與D點具直線BC最大距離的坐標，依次對△DCB的面積進行計算[4]，以此來對所拋出的問題進行解答與印證。而在解題過程中，D點到BC的最大距離成為此題的攔路虎，教師可以以此為契機，引導學生對如何求出D點到BC的最大距離進行思考，并引導其嘗試用不同的方法解決這一問題。進而通過環(huán)環(huán)相扣的不走來引導學生建立起△DCB面積關于D點坐標的函數(shù)關系式。最后教師可以通過提問或者是分享的形式來一到學生談談自身在該變式題學習過程中對三角形分割法應用的感受，使之進一步加深學生的學習印象。

2.變式題2。

將例題進一步延伸，在其基礎上做出假設，已知拋物線y=x2+2x+3與直線y=-x+1相交于B、D兩點，而D是直線BC上方拋物線上的一個動點（D點與C、B不重合）。求當D點運動到哪個位置時△DCB的面積是最大的？當△DCB的面積最大時，D點的坐標是多少，△DCB的最大面積值是多少[5]。

在教學過程中，教師可以應該引導學生積極思考變式題2與變式題1、例題之間存在什么樣的聯(lián)系，又存在什么樣的區(qū)別。引導學生對其存在的異同點進行總結。當學生了解三道題目中的異同點之后，教師應該進一步加深引導，引導學生既然變式題2與例題、變式題1均有一定的相似之處，那么是否可以用上述所學的解題方法對變式題2進行解答，并積極引導學生將自身的猜想付諸實踐，用實際行動驗證自身的猜想。同時通過引導學生對幾種解題方式的實際運用后，鼓勵學生對幾種解題方法的看法進行發(fā)表，詢問學生這幾種解題方法中更喜歡哪一種解題方法，哪一種方法比較簡便？從而增強學生學習的參與感與主動性。同時引導學生對變式題2進行解答。

四、結語

在本次的二次函數(shù)三角形面積問題學習過程中，教師應該充分發(fā)揮學生的主觀能動性，積極引導學生主動對該知識點進行學習。而教師則應該做好課堂教學的備課工作，從構造平面直角三角形坐標系中三角形面積計算出發(fā)，層層遞進，對多種三角形分割法進行講解，并運用相應的題目鍛煉學生對二次函數(shù)三角形面積問題的理解與掌握，進一步加深學生的學習印象。在本文的教學設計中，教師應充分發(fā)揮學生的主體作用，以二次函數(shù)三角形面積問題教學為切入點，進一步激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。為今學生的數(shù)學學習打下堅實的基礎。

參考文獻

[1]陳風波.鑒賞個性解法 妙解同類問題——二次函數(shù)圖象中三角形面積問題的解析[J].初中數(shù)學教與學，2018（02）：33-35.

[2]陳占彪.初中二次函數(shù)三角形面積問題探究[J].青海教育，2016（12）：39-40.

[3]王海燕，原歡春.二次函數(shù)中三角形面積問題的三種求解方法[J].中學數(shù)學教學參考，2016（09）：48-49.

[4]唐祥龍.初中二次函數(shù)三角形面積問題透析[J].科學大眾（科學教育），2012（10）：35.

[5]陸文娟.二次函數(shù)圖象中三角形面積計算問題[J].初中數(shù)學教與學，2012（19）：14-15.