兩個歷史幾何名題在高考中的運用

【摘 要】以幾何名題為背景的高考題近年來時常出現，對于這類問題的歸納和分析顯得非常重要。本文從近幾年高考題中搜尋米勒問題和阿波羅尼斯圓兩類幾何名題由此衍生出的解析幾何高考試題，歸納結論兩個，加強數學文化，豐富數學素養，培養數學興趣。

【關鍵詞】米勒問題；阿波羅尼斯圓；幾何名題；數學文化

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）16-0060-02

1 歷史米勒問題

例1（1986年高考理科數學第19題）如圖1，在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A、B，試在x軸的正半軸（坐標原點除外）上求點C，使∠ACB取得最大值。

分析：通過設A的坐標為（0，）、點B的坐標為（0，），C的坐標為（，0），再根據兩角和與差的正切函數和基本不等式可求出∠ACB取得最大值的條件，結果是當時，∠ACB取得最大值。即點C滿足OC2=OA·OB=。通過證明有結論（1）：∠ACB取最大值OC2=OA·OB=。

本題為求最大視角問題，它是數學史上100個著名的極值問題而引人注目，因為德國數學家米勒曾提出這類問題，最大視角問題又稱為“米勒問題”。2005年天津高考理科數學第20題，2005年浙江高考理科數學第17題以及2010年江蘇高考理科數學第17題在高考中均出現了“米勒問題”為背景的高考題。對于例題1結果OC2=OA·OB=，有何特殊之處，先看阿波羅尼斯圓的

定義。

2 阿波羅尼斯圓

阿波羅尼斯圓：一動點P與兩定點A、B的距離之比等于定比λ（），則點P的軌跡是圓，具體指以定比λ內分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓。 這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓。如圖2點P是平面上一動點，A、B是兩定點，PA∶PB=AM∶MB=AN∶NB，M是AB的內分點（M在線段AB上），N是AB的外分點（N在AB的延長線上），則點P的軌跡是以MN為直徑的圓。通過證明得出：設阿氏圓圓心為O點，OB=，

OA=，，設=λ，λ>1（若比值λ<1，圓心靠近點A，用做比值λ），即為圓心到近的那個定點的距離，為圓心到遠的那個定點的距離，則P點的軌跡是圓，且半徑，λ2=。簡單地說就是阿氏圓

半徑，比值λ滿足λ2=，記為結論（2）。對于例題1結果OC2=OA·OB=有何特殊之處，答案就是點C在以O為圓心，為半徑的阿波羅尼斯圓上。

確定一個阿波羅尼斯圓條件：圓心和半徑，或者AB定長和比值λ。阿波羅尼斯圓第一類：已知AB定長和比值λ。這類題在99年全國高考數學理科，2003年春季北京卷，2005年江蘇卷數學，2006年四川卷理科數學，2008年卷江蘇卷數學中均有出現。下面舉例一個。

例2（2006年高考四川卷理科數學第6題）已知兩定點，如果動點P滿足，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于

（A）π （B）4π （C）8π （D）9π

分析：點P滿足阿波羅尼斯圓的定義，點P的軌跡是阿氏圓。AB定長為3，比值λ=2，由結論（2）半徑，

λ2==，解得=1，=4，=2，所以所求面積為4π。與用一般的建系求解結果一致。

阿波羅尼斯圓第二類：已知圓心和半徑。這類題目在2015年湖北理科卷和2015年四川理科卷均有出現。舉例一個如下：

例3 如圖3，圓C與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且。

（Ⅰ）圓C的標準方程為__；

（Ⅱ）過點A任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結論：

①；②；③。

其中正確結論的序號是__。（寫出所有正確結論的序號）。

答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③

分析：（1）由幾何關系可得，，進而圓心坐標（1，），所以圓C的標準方程為；

（2）因為OA=-1，OB=+1，R2=OA·OB，所以圓是以A，B為定點的阿氏圓，且λ==+1。由阿氏圓的定義，=+1，①成立，帶入②③，②③也成立。

幾何名題猶如一顆顆閃爍的明珠，璀璨奪目，通過高考命題者的構造和編擬，讓經典名題熠熠生輝。了解數學文化，重溫米勒問題和阿波羅尼斯圓問題，培養數學興趣，運用結論快速解決相關高考試題。

【作者簡介】

簡小華（1985～），男，江西新余人，漢族，學歷：本科，職稱：中小學二級教師。