例談初中幾何證明中“輔助線的自然生成”

秦曉

[摘? 要] 問題情境的創(chuàng)設(shè)對學生核心素養(yǎng)的發(fā)展非常重要. 文章以“全等三角形判定定理的應用”為例，探討了核心素養(yǎng)理論指導下問題情境的創(chuàng)設(shè)策略，并總結(jié)了相關(guān)注意點.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;問題情境;創(chuàng)設(shè)策略

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學特征的、匹配學生終身發(fā)展需要的基本知識和相關(guān)能力，新修訂的課程標準指出，初中數(shù)學教學應該將學生的核心素養(yǎng)發(fā)展貫穿整個課堂. 初中數(shù)學教師在組織教學時，要關(guān)注學生在數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、科學精神、實踐創(chuàng)新等方面素養(yǎng)的發(fā)展和提升. 上述內(nèi)容既相互獨立，又彼此融合，是一個完整的整體. 在教學過程中，教師要統(tǒng)籌規(guī)劃，將相關(guān)元素整合到課堂教學中，優(yōu)化情境創(chuàng)設(shè)，讓數(shù)學課堂真正成為學生核心素養(yǎng)發(fā)展的平臺.

境創(chuàng)設(shè)策略

從核心素養(yǎng)理論出發(fā)，教師要注意多角度地展開問題情境的創(chuàng)設(shè)，適應學生各方面的發(fā)展需要. 下面筆者結(jié)合教學實踐，談一談問題情境的創(chuàng)設(shè)策略.

1. 單刀直入地創(chuàng)設(shè)問題情境

創(chuàng)設(shè)問題情境的目的很多，其中包括提醒學生注意，引導學生開啟思維，并在問題的分析過程中回顧已學知識，鞏固相關(guān)認識. 這樣的問題情境一般發(fā)生在課堂導入階段，或課堂總結(jié)階段. 在導入階段，學生的神經(jīng)依然比較松弛，此時通過單刀直入的提問，可以讓學生緊張起來，由此更快地適應課堂節(jié)奏. 而且某些直截了當?shù)膯栴}，可以幫助學生對已有認識進行回顧，這也將成為學生建構(gòu)新認識的基礎(chǔ). 在課堂即將結(jié)束的階段，學生已經(jīng)相對疲勞，這時他們的思維也容易被分散，教師此時呈現(xiàn)更加直白的問題，便可以減輕學生的負擔，讓學生的思維更有針對性. 同時，這一階段主要是幫助學生回顧整節(jié)課的學習，有著總結(jié)的意義，相對直接的問題，能夠幫助學生有效地梳理新學概念，促進知識的整體性建構(gòu)[1].

比如，引導學生通過應用來對全等三角形的判定定理實現(xiàn)更進一步的理解和認識之前，教師直接提出問題：“請闡述你所知道的全等三角形的判定定理. ”這個問題將引導學生對基本概念展開回顧和復習. 在某一個例題講解結(jié)束時，教師可以提出問題：“上述問題采用了哪一條判定定理？”“這個問題跟前一個問題有什么差別？”在課堂即將結(jié)束之際，教師提出問題：“本節(jié)課我們進一步熟悉了全等三角形判定定理的使用，請你們總結(jié)一下相關(guān)定理的使用有什么注意點.”

通過上述教學案例，我們發(fā)現(xiàn)樸實而直接的問題情境在發(fā)展學生核心素養(yǎng)的過程中，依然有其存在的價值. 我們不能為了營造表面化的課堂精彩，而故意讓問題情境變得過分花哨，喧賓奪主的問題情境往往會讓學生分散精力，起不到應有的效果.

2. 結(jié)合生活來創(chuàng)設(shè)問題情境

數(shù)學的問題情境不能僅僅只是簡單的模型呈現(xiàn)和問題設(shè)計. 比如直接給出某個幾何圖形邊或角上的特點，讓學生證明其中幾個三角形全等時，這樣的問題的確可以幫助學生完成對全等三角形判定定理的認識和理解，但如果全部都是這樣的問題，學生的思維將被徹底禁錮，數(shù)學學習將演變成枯燥的符號和生澀的概念. 為此，筆者認為，在教學過程中，教師要善于聯(lián)系生活實際來創(chuàng)設(shè)問題情境，讓鮮活的問題場景激起學生的思維活力，學生也會因為這些本就發(fā)生在自己身邊的問題而變得興趣高漲.

比如，指導學生熟悉“ASA”定理的應用時，教師可以結(jié)合生活實踐提出問題：“我今天上午在家打掃衛(wèi)生時，無意間將一塊三角形的玻璃飾品打碎成如圖1所示的兩塊. 我準備到街上按照原樣購買一塊. 考慮到攜帶玻璃碎片不太方便，你能幫我想想辦法，是否可以只拿一塊碎片上街？如果可以，應該選擇哪一塊呢？”這個問題雖然不是直接考查全等三角形的“ASA”判定定理，但問題的解決必須用到該原理，這就是一個典型的生活化數(shù)學問題情境. 學生分析問題時，必然會開啟建模思維，從中提煉出有關(guān)全等三角形證明的問題. 這樣的處理必然會提升學生對全等三角形相關(guān)原理的認識.

問題情境如此創(chuàng)設(shè)，會讓原本枯燥乏味的數(shù)學研究變得更加生動，學生的探索興趣也會變得很高. 而且，學生也會在這樣的問題分析中感受到數(shù)學研究的價值，他們將課堂所學應用于生活的意識也會由此增強.

3. 結(jié)合科學探究來創(chuàng)設(shè)問題情境

發(fā)展學生的核心素養(yǎng)時，我們很強調(diào)讓學生通過科學探究來建立數(shù)學知識，提升他們對數(shù)學規(guī)律的理解[2]. 創(chuàng)設(shè)問題情境時，我們也要將科學探究融入其中，讓學生在問題解決的過程中也能經(jīng)歷相關(guān)的探究過程，提升他們的探究意識，訓練他們的科學思維.

指導學生對全等三角形的判定定理進行應用時，我們可以創(chuàng)設(shè)以下探究性的問題情境：現(xiàn)有Rt△ABC，已知∠ACB=90°，AC=BC，D為斜邊AB的中點，點E，F(xiàn)分別在射線CA，BC上，且AE=CF，連接EF.

（1）猜想：如圖2，當E，F(xiàn)兩點分別在直角邊CA和BC上時，線段DE與DF的大小關(guān)系為______;

（2）探究：如圖3，如果E，F(xiàn)分別落在線段CA的延長線和線段BC的延長線上時，請判斷線段DE與DF的大小關(guān)系，并嘗試證明;

（3）應用：如圖3，如果DE=4，請結(jié)合探究（2）所得的結(jié)論，確定△DEF的面積.

上述問題的分析涉及科學探究過程中的提出猜想、邏輯推理、嚴謹證明等基本要素，這些內(nèi)容也是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn). 學生處理問題（1）時，可以連接CD，在此基礎(chǔ)上進行科學猜想，并結(jié)合△ADE與△CDF全等的證明來證實猜想. 處理問題（2）時，也可以連接CD，在此基礎(chǔ)上推理并證明△ADE與△CDF的全等關(guān)系，進而得出DE=DF. 對于問題（3），學生依然可以從全等出發(fā)，確定∠EDF為直角，則面積的求解方法可以很快被探究出來.

養(yǎng)的注意點

教師利用問題情境來組織教學時，目的不僅僅是讓學生給出一個明確的答案，還要幫助學生提升對知識的理解，發(fā)展其問題解決能力，提升其核心素養(yǎng). 具體操作時，教師還要注意以下幾點.

1. 問題情境創(chuàng)設(shè)要具有開放性

眾所周知，封閉性的問題只需要學生按部就班地使用相關(guān)理論就可以實現(xiàn)問題的解決，此類問題情境的確能夠在一定程度上讓學生提升對知識的認識和理解，但是對學生核心素養(yǎng)的發(fā)展來說卻非常有限. 筆者認為，我們的問題情境需要具備一定的開放性，由此才能讓學生得到更加靈活的訓練.

2. 問題情境創(chuàng)設(shè)要具有層次性

我們在創(chuàng)設(shè)問題情境時，一定要面向全體學生，但是“眾口難調(diào)”是一個很現(xiàn)實的問題. 為此，教師在設(shè)計問題情境時務(wù)必要兼顧到層次性，即我們的教學應該是在課程標準的總體要求下，細致分析不同層次學生的實際需要，精心設(shè)計問題. 比如采用梯度性的問題設(shè)計，讓每一個學生都能在問題情境的分析過程中得到訓練和發(fā)展，真正展現(xiàn)出“深者得之深，淺者得之淺”的教學藝術(shù).

3. 問題情境創(chuàng)設(shè)要具有創(chuàng)新性

科學創(chuàng)新是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，教師在進行問題情境的設(shè)計時，應結(jié)合問題進行設(shè)計，引導學生全方位、多角度地展開探索和研究，由此激活學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識，讓學生以更加靈動的目光來審視和研究問題. 這樣的課堂教學將更加具有生命力，學生的能力也將由此得到更加充分的發(fā)展.

好的問題情境，需要數(shù)學教師在研究課標、學生和教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際情況做出相應的設(shè)計，進而在教學中有效撩動學生的神經(jīng)，讓學生能以更加飽滿的熱情參與到數(shù)學學習當中，有效地培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]郭允遠. 關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)問題情境——引導學生自主學習的教學體會點滴[J]. 中學數(shù)學教學參考，2001（10）：7-9.

[2]張齊華. 以“問題解決”促數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展[J]. 教育研究與評論（小學教育教學），2016（11）：5-9.