“數學建?！彼仞B的形成與提升策略探析

劉綠芹

[摘? 要] 不同層次的數學建模素養水平需要采用不同的提升策略，在數學教學中，教師需要根據學生的素養水平，采用不同的教學策略. “前水平”著重采用“夯實地基”策略，“水平一”著重采用“特殊先行”策略，“水平二”著重采用“分割呈現”策略，“水平三”著重采用“探索聯想”策略.

[關鍵詞] 數學建模;素養水平;提升策略？搖

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“課程標準”）中指出，通過高中數學課程的學習，讓學生認識數學的應用價值，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗[1]. 作為新版《課程標準》中的六大核心素養之一的“數學建?！?，有別于其他核心素養，其最能體現數學與實際緊密聯系的學科素養. 江蘇省《高考說明》也明確提出，要注重數學的應用意識的考查，要求學生能夠運用所學的數學知識、思想和方法，構造適合的數學模型，將一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并加以解決[2]. 因此，提升“數學建?！彼仞B水平成了數學教學中的重點之一.

“數學建模”素養的內容及水平劃分

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[2]. 根據《課程標準》，素養水平分為三個水平層次，根據學生的認知水平，逐級提高. “水平一”要求學生能夠結構已學過的數學模型，了解數學建模的基本過程，并模仿解決基本問題. “水平二”要求學生能夠在熟悉或關聯的情境中，將發現的問題通過選擇合適的數學模型進行轉化，進而解決問題. “水平三”要求學生能夠在綜合的情境中，發現數學關系和問題，運用數學建模的一般方法和相關知識，創造性地開展數學建?；顒?，并解決實際問題.

“數學建模”素養的形成與提升策略

（一）“數學建?！彼仞B的形成策略——強夯地基

學生“數學建?！彼仞B形成的前提是需要學生擁有基本的數學知識，掌握基本的數學技能，我們把擁有了基本知識、基本技能稱為學科素養“前水平”階段. 學生只有達到了“前水平”素養水平的要求，才有進一步提升至“水平一”“水平二”“水平三”的可能. 因此，在開展提升學生“數學建?！彼仞B水平教學活動前，教師可以采用“強夯地基”式的教學策略，為學生準備必備知識和方法，讓學生達到“前水平”素養水平.

【教學片段】

師：兩軍艦同時從某軍港出發，一艘以30 km/h的速度向正北方向行駛，另一艘以20 km/h的速度向北偏東60°的方向行駛. 問：經過4 h，兩軍艦相距多遠？

師：請畫出軍艦行經路線的示意圖.

生：示意圖如下：

師：這是什么圖形？

生：三角形.

師：很好，這就是我們要構建的數學模型. 在解三角形時，我們有哪些知識可以用？

生：有正弦定理、余弦定理、任意三角形的面積公式及三角函數的知識，等等.

師：本題用什么方法解決呢？

從教學片段來看，教師選取了較為簡單的“解三角形”實際問題，培養學生自我構建數學模型的意識，并體驗了解決數學實際問題所需的基本知識——余弦定理. 實施“強夯地基”教學策略需要重點注重的三個方面：一是教學內容應選取學生常見或易于理解的問題背景，比如產銷問題、行程問題、面積問題等;二是解決問題運用的基本知識或方法以一到兩個為宜，比如正余弦定理、基本不等式、函數最值等;三是盡量通過問題串的方式引導學生自我發現與構建數學模型，體驗數學建模的過程.

（二）“數學建模”素養的提升策略

在學生擁有了基本知識與基本技能后，即學生達到了學科素養“前水平”層次，接下來則面臨提升“數學建模”素養的問題. 不同學生對素養水平的要求不同，有的需要達到素養水平一，有的需要達到素養水平二，甚至需要達到素養水平三. 因此，在不同的階段，教師需要采用不同的教學策略，有針對性地開展數學教學活動.

1. “水平一”的達成策略——特殊先行

“水平一”是數學建模素養水平中的第一層次水平，要求學生能夠在熟悉的實際背景中，了解數學建模的整個過程，了解其中數據的含義，并結合學過的數學模型，模仿建立新的數學模型，進而解決問題. 這就需要教師在教學過程中，著重培養學生通過模仿，形成整體把握問題的思維. 因此，可以采用“特殊先行”式的教學策略，即從尋找特殊、推廣一般、建立模型、選擇知識（技能）、求解模型、解決問題等過程中，一步步引導學生開展數學建模活動.

【問題一】資料表明，2000年我國工業廢棄垃圾達7.4×108噸，每噸占地1 m2.環保部門每回收或處理1噸廢舊物資，相當于消滅4噸工業廢棄垃圾.如果某環保部門2002年共回收處理了104噸廢舊物資，且以后每年的回收量遞增20%.

問：（1）2010年能回收多少噸廢舊物資？（結果保留兩位有效數字）

（2）從2002年到2010年底，可節約土地多少平方米？（結果保留兩位有效數字）

【教學片段】

師：如何理解每年的回收量遞增20%？

生：例如2003年在2002年基礎上，回收廢舊物資增加20%，為104×（1+20%）噸.

師：2004年呢，2005年呢，…，2010年呢？

生：每年回收的廢舊物資量如下，2002年：104噸;2003年：104×（1+20%）噸;2004年：104×（1+20%）2噸;2005年：104×（1+20%）3噸. 依次類推，可知，2010年：104×（1+20%）8噸.

師：104，104×（1+20%），104×（1+20%）2，…，104×（1+20%）8，這列數是什么數列？

生：等比數列.

師（追問）：如果我們把2002年當作第1年，請問第n年回收的廢舊物資量是多少呢？

生：我們可以建立以104為首項，1+20%為公比的等比數列. 即a1=104，q=1+20%，則an=104×（1+20%）n-1.

師：第二問如何解決呢？

從教學片段來看，教師引導學生逐個列出2002年至2010年每年回收廢舊物資的量，并讓其結合已經學過的數列，發現“等比”規律，進而建立等比數列的模型. 在“水平一”階段，實施“特殊先行”的教學策略過程中，選取的教學內容雖不能一眼看出模型類型，但學生能夠“感覺”可能用到的規律. 同時，通過“特殊先行”驗證自己的猜想，從而較容易地設定相關參數，并找出其中的規律及結論.

2. “水平二”的達成策略——分割呈現

“水平二”是數學建模素養水平中的第二層次水平，要求學生能夠在關聯的情境中，選擇合適的數學模型解決相關實際問題，這其中，要求學生能夠通過“確定相關參數、建立模型、完善模型、求解模型”來解決相關問題. 在現實問題中，往往會出現較為復雜的問題背景，這就需要學生能夠將相關實際問題進行“分割呈現”，以達到各個擊破的目的. “分割呈現”的策略需要從“背景分割、呈現參數、建立微模型、求解微模型”四個方面著手，通過多個微模型的求解，進而解決相關實際問題.

（1）求乙船每小時航行多少海里;

【教學片段】

師：請逐步理解題目中的每一句話，并請在圖上標出相應的角度.

生：標示如圖. （圖3）

師：根據圖形，你能求出哪些角？

生：∠ACD=60°.

師：你能求出AC嗎？

師：你發現了什么？

生：該三角形是等邊三角形，∠CAD=60°，AD=10海里，則可以求出∠DAB=105°-60°=45°.

師：很好，請將△ABD單獨畫出來，并標上數據.

生：如圖. （圖5）

師：由此圖，怎樣求BD及乙船的航速？

生：可以由余弦定理求解，BD2=AD2+AB2-2AB×ADcos45°=100，故BD=10海里，則乙船的航速v=10×3=30（海里/時）.

師：很好，這樣第（1）問即可解決.

該問題數據較多，背景看似復雜，教師要求學生逐個閱讀題目中的每一個條件，并讓其邊讀邊在示意圖上標注參數. 引導學生構建了兩個小三角形△ACD和△ABD的模型，將實際問題轉化為解三角問題. 在看似“折來折去”的問題中，教師采用分割呈現的策略，讓學生看清了問題的本質，進而較為容易地建立了三角形微模型，并求解了微模型，解決了相關問題.

3. “水平三”的達成策略——探索聯想

“水平三”是數學建模素養水平中的最高層次水平，要求學生能夠在綜合的問題情境中發現數學關系，并運用數學建模的一般方法和知識創造性地建立數學模型，進而解決實際問題. 這要求學生能夠從實際問題中探索數學關系，并聯想已有的數學建模方法，不斷修正與嘗試，從而創造出適合該題的數學模型. “探索聯想”的策略需要從“提煉問題情境、探索關系本質、聯想建模方法、建立新模型”等幾個方面著手，形成在已有的數學建模方法的基礎上，創造性地解決實際問題的能力.

【教學片段】

師：問題二中，第（2）問所說“危險區域”是什么圖形？

生：圓.

師：甲、乙兩船航行的軌跡是什么圖形？

生：直線.

師：那本題考查的是什么內容呢？

生：直線與圓的位置關系.

師：處理“直線與圓的位置關系”問題，需要知道什么？

生：直線的方程和圓的方程.

師：那我們需要對該現實問題進行怎樣的處理呢？

生：需要通過建立直角坐標系，將其轉化為數學問題. 因此，建立如下的直角坐標系. （圖6）

在教學過程中，教師引導學生對“危險區域”進行發現提煉，探索出該問題的本質是直線與圓的位置關系. 并引導學生聯想到解決“圓與直線的位置關系”常用“建立直角坐標系”的方法，從而，較為容易地進行數學建模，求解模型.

結束語

任何數學學科素養水平的形成與發展，不可能一蹴而就，需要循序漸進、反復滾進，各種策略也要綜合運用，“數學建模”素養也同樣如此. 在教學過程中，教師需要對各種策略進行綜合運用，著重“夯實地基”，不斷“特殊先行”，多次“分割呈現”，經常“探索聯想”. 只有這樣，學生的數學建模素養水平才能得到不斷發展、不斷提升.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中課程方案[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]? 2018年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）說明[M]. 江蘇：江蘇鳳凰教育出版社，2017.