理解化歸思想，掌握轉化方法，實現中檔題突破

呂玉梅

[摘? 要] 縱觀近幾年的高考數學，結合筆者多年的高三教學體會，發現中檔題成為學生間成績差異的一道分水嶺.因此，如何引導學生突破中檔題也就成了一線教師特別關注的一個問題. 如2017年江蘇高考第18題，就將不少學生攔在了高分的門外，也是受這道題的啟發，筆者深深體會到，深刻理解化歸思想，熟練掌握轉化方法，是學生突破中檔題至關重要的因素. 文章結合具體實例，著重闡述了教師應從多角度引導學生探尋有效的化歸途徑，化繁為簡，化難為易，化生為熟，化中檔為簡單，提高學生數學解題效率與質量，從而達到突破中檔題的目的.

[關鍵詞] 化歸;中檔題;突破

中檔題是指難度介于簡單題與難題之間的題目. 多年高三教學經驗表明，學生中檔題得分情況基本上決定了分數高低.道理很顯然，簡單的題目大家都會做，主要是看誰更細心，難的題目只是少部分人可以做，對大多數學生來說，中檔題解決的成敗就成了成績差異的分水嶺. 正因為如此，在平時的復習與訓練中，我們自然也會在中檔題上多花些工夫，有時甚至會犧牲一些基礎題練習時間進行中檔題訓練，但結果卻不如所愿，沒有收到我們期望的效果，一些學生面對中檔題依然束手無策. 這就應該引起我們的反思，是什么原因造成這種事倍功半的情況？

其實任何一道數學問題的解決都少不了轉化與化歸，也就是將復雜問題轉化為簡單問題，將不熟悉的問題化歸為熟悉問題，從而使問題得到解決. 筆者認為，要在教學中不斷滲透“化歸”的思想，讓學生理解化歸思想精髓，讓化歸扎根于內心，讓化歸成為一種思維習慣.

中檔題的求解在轉化與化歸時候常常不是特別明顯，需要我們仔細觀察，善于聯想，有時還需要適當變形才能發現如何轉化. 下面舉例說明如何在平時教學中引導學生多角度探尋有效的化歸途徑，改善解題思路，有效提高解題效率，從而達到突破中檔題的目的.

注重整體觀察視角，減少變量，化多元為一元

當遇到一個問題中含有多個變元時，減少變元個數是我們的首要選擇，這時需要依托對問題條件和結論所進行的觀察、分析，發現二者之間的聯系，進而合理地將問題等價轉化為其他可以解決的問題，從而使問題獲得解決.

反思：多元函數是我們不熟悉的內容，而一元函數是我們高中階段研究的主要函數類型. 因此，多元變量求最值總的指導思想就是“消元”，而消元方式除了上述所講的主元法、不等式法，常見的還有等量代換消元、不等代換消元、整體消元等，在遇到多元問題時，我們要有強烈的消元意識，適當變換視角，化多元為一元，化不熟悉為熟悉，從而達到突破多元障礙的目的.

增強數形結合意識，揚長避短，化抽象為直觀

數學是研究現實世界數量關系與空間形式的科學，以數構形，以形助數成為解決問題的重要策略，因此考慮問題不能僅僅局限于代數視角，還應該借助于圖形. 常用的方法是通過觀察或者適當變形后聯想起與之相關的幾何圖形或幾何意義，增強直觀，從而實現抽象問題形象化，促進問題解決.

反思：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”. 一方面，在解決代數問題時，化代數為幾何，化隱性為顯性，化抽象為直觀，借助幾何圖形研究代數問題是我們突破代數抽象性的一個重要方式;另一方面，在遇到某些非特殊的、動態的圖形問題時（如解三角形、解析幾何等），我們通常需要借助代數特征來提高圖形特征的精準度，化幾何問題為代數問題，借助數量關系來研究圖形特征. “數形結合”很好地發揮了形的直觀性和數的嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短，因此，數與形之間合理的轉化是突破中檔題的一種重要方式.

重視降低維度方法，簡化圖形，化空間為平面

空間問題常常轉化為平面問題，在學習空間幾何知識時，就有很好的示例，比如面面垂直轉化為線面垂直，線面垂直再轉化為線線垂直. 兩異面直線所成的角、線面角、二面角等概念都是轉化為線線角（也就是平面角）來定義的. 我們在講授這些知識時候，要不斷地滲透這種思想方法，學生在思考問題時才能自覺模仿，久而久之，這些思想方法變成他們解決問題時的自覺行為.

反思：此題是2017年江蘇高考第18題，當年該題得分率很低，原因有兩個：一是很多考生第一眼看到是倒置的棱臺，而棱臺的內容高考基本上是不考的，平時復習也不會作為重點，所以學生心里會就有陌生的感覺;二是學生將空間問題轉化為平面問題的意識差，若在原來的立體圖形中畫輔助線，這對空間想象能力的要求比較高，很多人因此無功而返. 因此，我們在解決空間問題時需要有強烈的轉化為平面問題的意識和策略，化空間為平面，降低緯度，簡化圖形. 而目前立體幾何的教學顯然在這些方面是欠缺的，這就要求教師在新課講授和習題教學環節強化這種意識的教學.

另外，在轉化為平面圖形問題后，利用建系的方法將煩瑣的解三角形運算轉化為求直線方程和兩直線交點問題，確實比較簡便. 這體現了將幾何問題轉化為代數問題的方法.

秉持化歸轉化思路，揭示本質，化未知為已知

高考中常常出現“新情境”問題，所謂新情境問題就是給出了一個新的描述，刻畫了一個新的概念，所要解決的問題是在描述這種新情境下求解的問題. 解決這類問題的關鍵是理清新定義所描述問題的內涵與外延，既要關注字面意思又要注重深層理解. 這時尤其需要靜下心來，先弄清楚問題的本質，仔細分析已知條件到底告訴了我們哪些關系，問題到底要求什么，將模糊的網狀關聯關系轉化為清晰的因果關系，一步步轉化為我們熟悉的常見題型，使問題得以解決.

反思：問題的求解過程正是一步步地轉化與化歸的過程，先由新情境描述的存在“S點”問題轉化為方程組有正解問題，進而轉化為其中一個方程有正解問題，從而確定該正根的范圍，再回到原方程組，消去一個參數轉化為根的分布問題，也可以轉化為求函數的值域問題，在求值域時又利用換元不斷轉化為我們熟悉的常見函數問題. 該題是2018年江蘇高考第19題，難度層次分明，（1）（2）兩問變量單一，學生比較容易解決，第（3）問變量較多，而且各變量之間相互影響，命題者還在變量的身份上做了一點變化，這就有悖于學生的思維習慣，加大了難度，對學生思維的條理性和轉化能力要求較高. 需要學生靜下心來分析條件，發現突破口，理清思維方向，一步步轉化才能完成. 這就要求教師在教學中要通過各種途徑，各個角度不斷滲透化歸和轉化的意識，使之成為解題的自覺思考行為.

數學是一門培養學生思維能力的學科，高考也在逐步由應試教育考核轉變為素質教育考核，對學生思維能力的要求越來越高.數學的解題過程就是一個學生思維的呈現過程，中檔題正是考查學生思維能力的很好載體. 對學生來講，中檔題之所以難，主要是因為陌生、未知、不確定、抽象等，因此對于中檔題的突破，除了機械的模仿和記憶以外，更需要學生能真正讀懂條件，明確問題，這就需要學生具有一定的轉化能力.而化歸的思想作為數學解題的思想方法其實施途徑是多樣化的，“化高為低、化虛為實、化整為零、化異為同，文字與符號、圖形間的轉化……”都是解題中常用的方式，作為一線高中數學教師，在講解中檔題時不僅要幫助學生積累常見的化歸方式，更應該注重引導學生對化歸途徑的有效探尋，善于從題目中捕捉到化歸的突破口，讓學生在探尋中發揮自身的創新思維，化陌生為熟悉，化未知為已知，化不定為確定，從而達到化難為易、化中檔為簡單的目的.