微課在“阿貝爾定理”教學中的運用

青梅 額爾敦布和

摘要：微課是一種“短小精悍”新的教學模式，也是一種較為有效的教學方式。文章以“數學分析”課程中的阿貝爾定理為例，介紹了微課教學中的教學過程和具體的內容設計。微課為學生課前自主學習和課后鞏固復習提供了教學資源，進而提高學習效率。

關鍵詞：微課；數學分析；阿貝爾定理；應用

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）26-0185-03

一、引言

2008年美國新墨西哥州圣胡安學院的高級教學設計師、學院在線服務經理戴維·彭羅斯首次提出“微課程”（Micro-lecture）概念。在國內，胡鐵生提出：微課是根據新課程標準和課堂教學實踐，以教學視頻為主要呈現方式，反映教師在針對某個知識點或環節的教學活動中所運用和生成的各種教學資源有機結合體[1]。根據文獻[2-6]所述，微課就是針對某個知識點或教學環節而精心設計，以短小精悍的微型流媒體教學視頻為主要載體的數字化學習資源包。簡言之，微課是一種新媒體、新技術、新工具和新教學模式。隨著“微時代”的到來和當代教育發展的趨勢，微課在國內高等教育領域內得到了迅速發展。其特點主要有如下幾點。

（一）教學時間短

教學視頻是微課的主要部分，其時間一般5—10分鐘，不超過20分鐘。微課教學時間比傳統課堂教學的時間短。

（二）教學內容少

微課是圍繞某一個知識點或課堂教學中的重點、難點作為講解內容的主題突出、指向明確、內容精簡、相對完整的微小課堂。也可以理解為微課內容是傳統課堂教學內容的相對完整的部分內容。

（三）隨時、隨地學習

因資源容量較小，學生可將教學視頻下載或保存至終端設備上，隨時學習、隨地學習、可反復播放教學視頻加強重點學習。這是傳統課堂教學模式無法實現的。微課也適合學生課前自主學習和課后鞏固復習，是有效提高學生學習效率的教學模式。

二、微課在“數學分析”課程教學中的運用

《數學分析》是高等院校數學系各專業的重要基礎課程之一，為后續課程的學習起鋪墊作用，如復變函數、實變函數、常微分方程和偏微分方程等課程。因數學分析內容的抽象性、嚴謹性、精確性及邏輯性，對學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力等都有較高的要求。又基于數學分析的重要性，不僅迫使學生學好數學分析，也迫使教師們不斷地探索新的教學模式[7]。那么教師們如何引起學生學習數學分析的興趣并提高學習效率呢？

提高教學效率方法多種多樣，微課是一種提高教學效率的手段。根據實際教學，教師們可將微課與傳統教學有機結合，激發學生學習數學分析的興趣并提高學習效率。教師在課前設計并制作微課，即制作課前預習、課堂學習、課后鞏固內容的教學視頻。微課制作注意以下幾點：

1.短時間內抓住學生的注意力，激發學生學習興趣。注意力的集中可以大大幫助學生提高學習效率。

2.數學分析內容較抽象、邏輯性強，講解法應簡單易懂。很多定理可以由已知結果一步一步推導出來。如此，不僅將新舊知識聯系起來，達到知識的系統化，也簡化或突破定理證明這一難點。

3.講解要有直觀、生動、形象的效果。用數學的角度看待生活中的現象，運用數學知識解釋這些現象（或用數學知識解決實際問題），可利用數學軟件（Matlab、Maple、Mathematica等）將其模擬出，達到直觀、生動、形象的效果。

三、“阿貝爾定理”的微課教學設計

下面我們以《數學分析（二）》中阿貝爾定理的講解為例[8]，分析微課教學過程與內容設計。

（一）教學內容

阿貝爾定理：若冪級數■anxn在x=x■≠0處收斂，則對滿足不等式xx■的任何x，冪級數發散。

如下為該內容的教學思路：

1.導入新課：由生活中的現象導入冪級數概念，并講解冪級數在微積分中的地位，激發并增強學生的學習興趣。

2.由已知推導未知：利用等比級數的收斂域（已知結果）推導出冪級數的斂散性（未知結論），即阿貝爾定理。

3.深入探究：分析阿貝爾定理，圖形分析，得出冪級數的收斂域的結構特征。

4.鞏固練習：講解例題，加強該內容的理解。

5.總結與思考：為鞏固該內容的記憶，總結并留兩個思考題。

（二）教學過程及其設計

1.導入新課：播放小朋友跳蹦蹦床的動畫，提出在數學中怎么模擬蹦蹦床的表面震動？

學生對問題進行思考、分析、討論，可培養學生獨立思考能力，增強學生學習興趣，推動學生學習動力；也將生活中的現象與數學聯系起來，達到學生以數學角度分析生活中的種種現象；教師引導學生分析該問題，引出冪級數定義。在Matlab中畫出兩條曲線（0階和3階貝塞爾函數）如圖1，將其繞y軸旋轉，得到以小朋友的落腳點為中心的兩個模擬的曲面，見圖2、3；兩條曲線的解析表達式是貝塞爾函數，正是一類特殊的函數項級數——冪級數；進而給出冪級數的嚴格定義。冪級數是多項式的推廣也是一類特殊的函數項級數，在微積分的研究中起重要作用。

利用貝塞爾函數在Matlab中模擬蹦蹦床的震動，圖形分析，引出冪級數定義，給學生留下直觀、生動、形象的認知；同時也能培養數學專業學生們利用Matlab解決實際問題能力。

2.由已知推導未知：利用等比級數■qx■=■，q≠0的收斂域（-1，1）和逆向推導法，定性地刻畫冪級數■anxn的斂散性，即阿貝爾定理。比較等比級數與冪級數，區別在于它們的系數。若冪級數的系數構成的數列a■有界，則可利用等比級數的斂散性與正數項級數的比較判別法，得到冪級數在區間（-1，1）內收斂；此時，可逆向推導出滿足該結論的條件為冪級數在x=1處收斂；將x=1換為x=x■≠0，同理得到的結論——冪級數在區間（-x■，x■）內收斂；進一步，若冪級數在點x=x■≠0發散，則利用反證法思想得到冪級數在區間（-∞，-x■）∪（x■，+∞）內發散。換句話說，若冪級數在一點處收斂，則在以零為中心的一個對稱區間內收斂；若冪級數在一點處發散，則在兩個區間內發散。

比起先給出阿貝爾定理結論，再進行證明，利用等比級數的斂散性（已知結果）推導出阿貝爾定理（未知結論），更讓學生容易接受。

3.深入探究：分析阿貝爾定理的結論，利用動畫展示其分析結果。阿貝爾定理定性地刻畫出冪級數收斂域的結構特征——以零為中心的某一個對稱區間。冪級數在x=a點收斂，在x=b點發散，則有下圖情形（圖4）：

若收斂點遠離零點，發散點接近零點，最終收斂點與發散點相遇，即有下圖情形（圖5），重點可能收斂亦可能發散。

4.鞏固練習：再通過簡單的例子幫助同學們更好地理解冪級數收斂域的結構特征，并檢驗自己的學習成果。

5.總結與思考：冪級數是多項式的推廣，也是特殊的函數項級數。阿貝爾定理定性地刻畫了冪級數的收斂域的結構特征，即以零為中心的某一個對稱區間。

留思考題：

1.定量地怎么求出冪級數的收斂域呢（可引出下一個知識點——收斂半徑及其求法）？

2.查閱資料，找出貝塞爾函數的其他應用（培養學生的查閱資料能力并激發學生學習興趣）。

四、總結

綜上所述，微課是一種新媒體、新技術、新工具和新的教學模式，也是一種較為有效的教學方式。它能夠很好地將理論與實踐結合起來，加深學生對理論知識的理解，提高學生對教學內容的更直觀、生動、形象的認知。微課教學模式不僅能有效激發學生學習數學分析的興趣，也能更好地培養學生運用數學知識解釋生活中現象的能力（或解決實際問題能力），最終達到提高學生學習效率的效果。

參考文獻：

[1]胡鐵生.“微課”：區域教育信息資源發展的新趨勢[J].電化教育研究，2011，（10）：61-65.

[2]肖安慶.關于微課教學的幾點思考[J].青年教師，2013，（2）：42-43.

[3]焦建利.微課及其應用與影響[J].中小學信息技術教育，2013，（4）：13-14.

[4]肖安慶.關于微課教學的幾點思考[J].青年教師，2013，（2）：42-43.

[5]呈嵐，肖貴橋，王英，朱莉.微課教學設計思路探討[J].江西職業技術學院學報，2013，（26）2：79-81.

[6]周根嬌，蔡崗，袁小平.微課在《數學分析》教學中的應用[J].現代企業教育，2014，（22）：432-432.

[7]額爾敦布和，劉修路，王靜宇，白秀.關于“數學分析”課程的教學對策探析[J].大學教育，2013，（5）：109-113.

[8]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）下冊[M].北京：高等教育出版社，2010.