“以形輔數(shù)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

譚艷霞 陳秋月

摘要：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！绷攘葦?shù)語，將數(shù)形之妙說得淋漓盡致。以形輔數(shù)可以達(dá)到圖文并茂的效果，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容更直觀和生動化，從而讓學(xué)生在解題的過程中得出最精確的答案，潤物無聲。

關(guān)鍵詞：以形輔數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)與形是兩大模塊，可轉(zhuǎn)化，相輔相成。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較常用的一種方法，是數(shù)學(xué)的靈魂，通過數(shù)與形的相互結(jié)合，可以達(dá)到圖文并茂的效果，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容更直觀和生動化，從而讓學(xué)生在解題的過程中得出最精確的答案，潤物無聲。教師在日常的教學(xué)中，應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生熟練地掌握數(shù)形結(jié)合的思想與方法。近些年，各地市也悄然興起“用形輔數(shù)”的數(shù)學(xué)題。

一、 通過幾何圖形達(dá)到數(shù)形結(jié)合

例1：在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求12+122+122+123+123+124+……+12n的值（結(jié)果用n表示）。設(shè)計(jì)如圖所示的幾何圖形。

（1）請你利用這個(gè)幾何圖形求12+122+122+123+123+124+……+12n的值為。

（2）請你利用下圖，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求12+122+122+123+123+124+……+12n的值的幾何圖形。

解：（1）設(shè)總面積為：1，最后余下的面積為：12n

故幾何圖形求12+122+122+123+123+124+……+12n的值1-12n。

故答案為：1-12n。

（2）如圖：

評注：這是一個(gè)等比數(shù)列求和問題，用代數(shù)方法難懂且計(jì)算量偏大，通過巧妙地構(gòu)圖求解，讓學(xué)生體會了數(shù)學(xué)的和諧美，感受以形輔數(shù)的強(qiáng)大魅力，同時(shí)還考查了學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新解題意識。

例2：結(jié)合“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學(xué)生學(xué)習(xí)了一般的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，探索具有特殊結(jié)構(gòu)特征的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘——平方差公式，（a+b）（a-b）=a2-b2。在這一部分的教學(xué)上也可以采用數(shù)形結(jié)合法，借助幾何方法進(jìn)行驗(yàn)證：在長為（a+b）、寬為（a-b）的矩形上剪下一個(gè)寬為b的小矩形，拼成如下圖（a>b>c），請用不同的方法表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系。

（a-b）（a+b）=a2-b2

在教學(xué)中，由學(xué)生思考如何驗(yàn)證平方差公式，引導(dǎo)學(xué)生能夠從不同角度來思考問題?？梢杂枚囗?xiàng)式乘法計(jì)算驗(yàn)證其公式的正確性，也可以激發(fā)學(xué)生小組合作完成剪拼游戲，利用剪拼前后圖形的面積不變這一關(guān)系，從幾何面積的角度得出等式，進(jìn)一步驗(yàn)證了平方差公式的正確性，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生體會到數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系。

二、 借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合

例：學(xué)生基本都知道，|6-（-1）|表示6與-1差的絕對值，|6|表示6到原點(diǎn)的距離。試想|6-（-1）|表示哪兩點(diǎn)之間的距離呢？

請從代數(shù)和幾何的角度探索：

（1）|6-（-1）|=。

（2）同理|x+6|+|x-1|在數(shù)軸上表示有理數(shù)x所對的點(diǎn)到-6和1所對的點(diǎn)的距離之和，是否存在這樣的有理數(shù)x，使得|x+6|+|x-1|=7成立？這樣的有理數(shù)有什么特點(diǎn)？

（3）借助以上探索并猜想：對于有理數(shù)x，|x+6|+|x-1|是否有最小值？如果有，請直接寫出最小值；如果沒有，請說明理由。

評析：絕對值是初中數(shù)學(xué)教材中的重要概念之一，同時(shí)也是學(xué)生難以掌握的問題之一。在教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，將初看是代數(shù)的最值題，轉(zhuǎn)化成線段長度的探討，利用數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離公式的幾何意義解決，達(dá)到數(shù)形結(jié)合以形輔數(shù)的效果。這些源于教材又異于教材的創(chuàng)新設(shè)計(jì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了活力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性。

三、 通過函數(shù)達(dá)到屬性集合

例：利用函數(shù)圖象解方程組y-2x=1，x+2y=2.

解：方程組的解為函數(shù)y=2x+1與y=-12x+1圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，如圖所示，∴方程組的解為x=0，y=1。

例：若方程有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，則m的取值范圍是（）

A. m>12

B. m<12

C. m>-12

D. m<-12

評析：按常規(guī)，這道題應(yīng)該按照方程的判別式，韋達(dá)定理列出不等式組解答。現(xiàn)在我們可以將它轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，用以形解數(shù)的數(shù)學(xué)方法來解決。

數(shù)學(xué)，嚴(yán)謹(jǐn)而需要創(chuàng)意。贊科夫說：“教會學(xué)生思考，這對學(xué)生來說，是一生中最有價(jià)值的本錢”，因此要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考解決問題的能力，滲透思想方法：如數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化，整體思想等，這些都是解決眾多數(shù)學(xué)問題的行之有效的數(shù)學(xué)思想。具有將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，直觀性強(qiáng)，易理解、易接受的特點(diǎn)。在教學(xué)活動中，教師可采用多種方式引導(dǎo)學(xué)生思考，讓數(shù)形結(jié)合運(yùn)用到實(shí)際的數(shù)學(xué)問題解決中，真正地理解和領(lǐng)悟以形解數(shù)的真諦。

參考文獻(xiàn)：

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[2]施獻(xiàn)慧.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，云南教育[J].2003（35）.

作者簡介：

譚艷霞，陳秋月，福建省漳州市，廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)。