指向數學核心素養的“圓的面積”教學策略探析

夏嬋嬋

[摘 要]數學教學是以數學課程為載體，引導學生形成正確的數學價值觀念、思維品質和關鍵能力等學科核心素養。“圓的面積”作為“圖形與幾何”領域的重要課程內容之一，對培養學生的幾何直觀、推理能力和空間觀念等數學核心素養具有重要意義。結合“圓的面積”的具體教學案例，探尋指向核心素養的“圓的面積”教學策略：借助“數格子”法發展學生的幾何直觀能力，在“化曲為直”中發展學生的空間觀念，從長方形的面積推導圓的面積計算公式，發展學生的推理能力。

[關鍵詞]核心素養;教學策略;圓的面積;圖形與幾何

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0012-03

一、問題的提出

我國新一輪基礎教育課程改革十分關注核心素養和學科核心素養。新修訂的《普通高中數學課程標準》指出：“學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。”數學核心素養是數學素養中最重要的思維品質和關鍵能力，是人們通過數學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質與能力，通常是在人們與周圍環境產生相互作用時表現出來的思考方式和解決問題的策略。課程專家進一步指出，把《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中提到的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識，理解為數學核心素養是恰當的。在很大程度上，課程是教學的基礎，教學是課程的實施和體現。在以核心素養為指導的課程設置大框架下，學科教學必須緊跟課程設計的思想和步伐，課堂教學需要深入落實學科核心素養。那么，課堂教學究竟如何體現核心素養？到底什么樣的課堂才是素養課堂？是對以往非素養課堂的推倒和重建嗎？本文將以小學數學中“圖形與幾何”領域中的“圓的面積”一節內容為例，嘗試探析幾點指向數學核心素養的“圓的面積”教學策略。

二、關于“圓的面積”的學科理解與課程內容簡析

圓形作為最基本的平面圖形之一，在各個國家基礎教育數學課程中都是重要的內容。《課標》在“課程目標”中要求“探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題” 。根據課程標準的要求，學生既要理解圓的面積公式的推導過程，掌握圓的面積計算公式，又要能夠靈活運用其解決實際生產生活中的具體問題。

“圓的面積”作為小學數學幾何課程內容的重要組成部分，是平面圖形的認識和測量中由直線圖形變為曲線圖形的關鍵點。從研究直線圖形到研究曲線圖形，無論是思維層面還是行動實踐層面，對學生而言都是一個很大的跨越。因此，“圓的面積”一般安排在六年級上學期的課程學習中，是學生學習的第一種曲線圖形的面積計算，具體的教學內容包括對圓的面積概念的理解、公式的推導以及運用公式求圓的面積、環形的面積等。

我國2013年修訂的人教版教材首先通過計算圓形草坪占地面積的實際情境提出圓的面積的概念，一方面使學生在以前所學知識的基礎上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學生體會在實際生活中計算圓的面積的必要性。接著，直接給出了明確的提示——把圓分成若干等份，學生自主拼一拼，然后通過觀察看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊形），而且隨著均分的份數越來越多，拼出的圖形越來越接近長方形，這時再引導學生運用圓與長方形之間的關系推導出圓的面積計算公式，在隨后的練習題中讓學生通過實戰訓練來進一步體會圓的面積與半徑的平方之間的關系。

學生主要借助數學活動和動手操作，經歷人類發展中圓的面積公式的推導過程，借助已有經驗“數”出圓的面積的近似值，感受數學化的過程。面積是對二維平面物體大小的度量，學生學習長方形的面積時首先采用了“數格子”的方法，得出“長方形的面積=長×寬”這一公式，為后續學習奠定基礎：一方面可以繼續使用數格子的方法求平行四邊形、三角形、梯形等的面積;另一方面，可以將未知圖形轉化為長方形，進而推導其面積公式。對于圓這一“非直邊”圖形，學生在數格子的動手操作過程中，深刻體會到該方法的不適用性，進而產生探索更科學合理的計算方法的需求。這樣的教學已經體現出了數學學科的本質內涵，它與數學家常用的“印度圓”、“定積分”、極限、轉化等思想方法基本一致，雖然沒有從字面上強調數學學科核心素養，但已經培養了學生的數學學科核心素養。

三、指向數學核心素養的“圓的面積”教學策略

“圓的面積”這一教學內容中不僅蘊含著豐富的數學思想方法，更是發展學生數學學科核心素養的重要素材，具體地說，至少可以培養學生的幾何直觀能力、空間觀念和推理能力。基于以上對課程內容與學科理解的分析，探討指向核心素養的“圓的面積”的幾點教學策略。下面就結合某教師關于該內容的常規教學案例展開具體分析。

1.借助“數格子”法發展學生的幾何直觀能力

【教學片段1】

學習任務：想辦法得到圓的面積。

師：如果想得到圓的面積，有什么方法？畫一畫、寫一寫，把你的思路表達出來。想一想：你的辦法有什么優點？有什么不足？你還有哪些困惑？

師：請大家討論匯報交流，不僅要匯報方法，也要評價自己的方法。

生1：數格子的方法。

生2：我認為數格子的方法有局限性，如果圓太大，畫格子不方便，計算也不精確。誤差來自于不完整的格子，曲線圖形拼湊不完整的格子的時候誤差大。

生3：可以把格子變小，完整的格子就會變多，雖然不完整的格子也會變多，但是它們所占的面積會變小，這樣可以提高計算的精確性。

師（演示格子圖逐漸細分的過程，如圖1）：如果無限細分下去，會得到什么樣的結果呢？

生4：小格子會完全占據圓。

生5：小格子的面積會無線接近于圓，但也沒辦法等同于圓的面積。

生6：我覺得不會有誤差了。

師：如果一直分下去，得到的小格子面積就接近于甚至等同于圓的面積了。

此教學片段體現了“幾何直觀”這一數學核心素養。

“幾何直觀”是解決“數與代數”領域問題的常用方法和思維方式，似乎是數與代數的“專利”。例如，分數的乘法中“計算[45]×[23”]時，往往借助幾何直觀進行教學，如圖2所示：

事實上，不僅是“數”需要以幾何圖形的形式加以直觀呈現，幾何本身也要依靠直觀、重視直觀。不妨重新審視《課標》中的闡述：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”

《課標》規定，幾何直觀指的是利用圖形描述和分析問題。教學片段1中，教師通過讓學生動手在圓上畫一樣大小的小方格，1個小方格的面積為1個面積單位，用多個小方格來填充或排滿整個圓，進而用小方格的個數來表示圓的面積大小。在這個運用圖形來描述和分析問題的過程中，小方格和圓的面積分別與圖形和問題一一對應。因此，上述“數格子”法有利于培養學生的幾何直觀能力，發展學生的數學核心素養。

2.在“化曲為直”中發展學生的空間觀念

【教學片段2】

生1：看到這個圓，我就想到了吃比薩，每次都會把比薩切成好幾塊，我因此受到了啟發。首先，我把圓平均分成四份，拼得的圖形像平行四邊形，如果分得再小塊一點是不是會更像呢？我把圓分成了8等份，拼得的圖形更像平行四邊形了;我把圓分成了16等份，如圖3，看上去有點像個長方形了。我猜測，如果分得更細的話，可能會得到一個長方形。

師：把圓的面積轉化為已學過的長方形的面積，即把未知變成已知。剛才說拼成的這個圖形像長方形但不是長方形，怎么才能讓它變成長方形呢？

生2：像數格子一樣，一直一直分下去，可能會變成一個長方形。

師：到底能不能達到分割的理想狀態呢？ 請小組合作學習。信封中有三個圓片，剪一剪、拼一拼，拼完后仔細觀察得到的圖形。

師（多媒體演示）：我們發現，分的份數越多，拼出來的圖形就越像平行四邊形。如果無限分下去，就會變成長方形。

生3：我覺得拼成的圖形的邊（兩條長邊）是彎曲的。

……

《課標》指出：“空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言的描述畫出圖形等。”史寧中教授則明確強調：空間觀念的本質是空間想象力。空間觀念并非是一個特別抽象的術語，它在日常的數學學習中常有體現。

在教學片段2中，學生通過將圓等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們從中心沿半徑剪開（此時，扇形的圓弧仍然連著），展開以后，得到兩個相同的鋸齒條形，再把兩個鋸齒條形相互嵌入，即構成一個近似平行四邊形，如圖3。細心的學生能夠發現，由于圓弧的存在，近似平行四邊形的兩個長邊略微彎曲，所以教師需要利用信息技術等進一步細分小扇形的弧長，呈現多個不同等分（由少到多）的拼組轉化圖，動態演示等分圓拼組的逼近過程，即份數分得越多，其形狀越接近長方形。這一過程中，教師引導學生經歷觀察、抽象、想象和轉化的思維活動，學生體會到“化曲為直”的思想，在圓形和平行四邊形（長方形）的轉化中發展了空間想象力，逐漸養成了空間觀念。

3.從長方形的面積推導圓的面積計算公式，發展學生的推理能力

【教學片段3】

生1：我發現長方形的寬是圓的半徑，長方形的長是圓的周長的一半。（如圖4）

師：因此圓的面積是πr2。實際上，科學家在研究圓的面積的時候也是經歷了這樣的過程，所以數學探索實在是太重要了。圓的周長與圓周率有關系，今天學習的圓的面積也與圓周率有關系。那么，圓的周長與面積有什么關系呢？我們采用的是轉化為長方形的方法求得圓的面積，也有人用分解為三角形的方式求得面積，下課感興趣的同學可以進一步研究。

《課標》指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定律、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。”教學片段3中，學生通過空間想象和動手操作，將圓先分成若干份全等扇形，繼而又轉化成長方形，進一步求得圓的面積。學生在觀察、比較、分析中，探尋圓的周長和半徑與轉化而成的長方形的長和寬之間的關系，結果發現“新得的長方形的長相當于圓的周長的一半，寬相當于圓的半徑”，然后根據已有知識，即“長方形的面積=長×寬”“長方形的面積=圓的周長的一半×圓的半徑=[12]π×2r×r=πr2” ，得出“圓的面積=πr2”。回顧整個圓的面積計算公式推導的過程，學生在長方形與圓形的轉化關系基礎上，將已有事實和確定的規則即已經掌握的長方形的面積計算公式，遷移應用于圓的面積求解中，按照數理邏輯進行具體數值的計算，進而發展了數學推理能力。

四、結語

數學學科核心素養看似一個新名詞或新概念，但實際上并非是一個新事物，它的本質內涵及其教育價值一直都客觀存在。以往的課堂教學雖然未提“學科核心素養”，但在很多具體的教學方式方法上也體現出了學科核心素養導向：旨在培養學生的數學思維品質和關鍵能力，促進學生的終身發展。這與課程專家所提出的“數學核心素養是數學素養中最重要的思維品質和關鍵能力，是人們通過數學的學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質與能力，通常是在人們與周圍環境產生相互作用時表現出來的思考方式和解決問題的策略”是準確對接的。因此，在這個關注學科核心素養的“新時代”，指向核心素養的課堂教學方法并不是對以往教學的推翻與重建，而是一個對已有學科理解和經驗做法的批判、繼承與去粗取精的過程。在接下來的數學課程與教學研究中，不管我們如何開展多樣化的探索，還是應當回歸到一個基本方向上來，即用數學的眼光看待問題、用數學的思維思考問題、用數學的方法解決問題，這是我們需要秉持的基本思想。當然，在實踐層面，指向數學學科核心素養的教學策略探尋，既需要學界進行充分的理論推演和學理思考，還需要一線教師扎實的經驗摸索和實踐總結。總之，期待我們以集體智慧去發現、歸納和凝練。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社， 2018.

[2] 馬云鵬.小學數學教學中核心素養的培養：以吳正憲老師“小數除法”教學為例[J].小學數學教育，2016（21）：3-5.

[3] 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社， 2001.

[4] 史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社， 2013.

（責編 金 鈴）