“數的認識與運算”與數感培養

李露紅

[摘 要]作為基本數學素養之一的數感，其培養的關鍵時期是小學階段，特別是小學低學段?！皵档恼J識與運算”這部分內容對于數感的培養尤其重要。教師可通過研究眾多研究者對數感內涵的分析，準確把握數感的內涵，并結合“數的認識與運算”，探索培養學生數感的手段與途徑。

[關鍵詞]數感;數的認識;數的運算;具體形象;抽象

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0075-03

一、問題的提出

在信息技術高速發展的今天，計算機的身影隨處可見。在日常生活和工作中，我們似乎不再需要為了減少運算步驟而苦思簡便運算方法，也不再需要抄起筆桿子在草稿紙上埋頭苦算……毋庸置疑的是，數及其運算，無論是對數學這門學科還是對人本身的發展（比如智力），都是至關重要的。因此，我們應該理性認識“數的認識與運算”，不能隨波逐流地去否定它，同時也不能閉門造車，要響應時代的召喚，思考如何才能做到符合學生發展、符合時代發展的有效教學。

2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出，“要使學生經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維”。自此，我國學者才開始重點關注數感，并開始對此進行比較系統的研究。 2011年，“數感”作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》中十個核心概念之一被再次重點提出?？梢园l現，在這兩個版本的數學課程標準中，數感的概念都與“數的認識與運算”這部分內容緊密關聯。

二、數感的內涵

數感（Number sense）這一術語自1954年提出后就受到教育研究者和一線教師的強烈認同，并逐漸成為國際普遍接受的概念。其提出者將數感描述為：在個體沒注意到的情況下，在一小堆物體中增加或者移除一個物體后，個體能夠意識到這堆物體發生了變化的能力。也就是說，最初的數感可以理解為是個體對現實事物數量變化的一種感知能力。1992年，麥金托什等人進一步提煉了數感的定義：數感指的是一個人對數字和運算的一般理解力，以及靈活應用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數學判斷，并開發出應用數學和運算法則的有效策略。在這種定義下的數感已經不僅僅是對現實事物量的變化的感知，而是對數與數的運算的進一步理解，并且能夠將這種理解運用到相關的問題情境中去。

自2001年“數感”這一術語進入我國學者的視野以來，大量學者就對數感的內涵進行了一系列探究。張奠宙通過分析英文“Number sense”的含義并結合實際最終指出，“數感”指的就是能夠用數量的意識考察事物發展的數量規律，并且善于用符號加以表示和運算。他對“數感”的理解并沒有局限于“感覺”，而是強調了“意識”與“規律”，上升到了思維的層次。馬云鵬和史炳星認為，數感是人們主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度與意識，建立數感可以理解為會“數學地”思考。這進一步明確了數感含有“思維”的成分，數感并不僅僅是“感覺”，更是“思維”。葉蓓蓓提出，對于數感的培養在某種程度上可以認為是直覺思維的培養，同時還指出，數感作為公民的一種數學素養，更多地體現在一定情境中人們對于現實問題的數學化反應。這在明確數感是思維的基礎上，強調了數感即是將面對的現實問題轉為數學問題。2007年，徐文彬和喻平指出，數感并不是什么神秘的東西， 它只是我們對數字關系和數字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數字問題的能力。他們企圖將數感這個陌生而又熟悉的術語去神秘化，強調了“意識”和“解決問題的能力”，這也是在強調數感就是用數學的思維來解決數字問題?？追舱芎驮鴯樛ㄟ^具體的例子明確了數感是建立數概念和有效地進行計算等數學活動的基礎，是將數學與現實問題建立聯系的橋梁。他們進一步肯定了數感這個基本數學素養的重要性，不僅僅體現在數學活動中，更體現在實際運用中。

盡管研究者們對于數感內涵的理解各不相同，但很多研究者都認為培養學生數感更深層次的內涵不僅僅體現在數學這門學科中，更要讓學生有意識地將接觸到的現實問題與數量關系建立起聯系，學會數學地思考，能夠用數學的眼光來看世界。

三、小學階段的數感

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將中小學階段的數感具體描述為：關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。這將數感形成的具體表現給描述了出來，更加有利于教師對于教學效果的把握。史寧中和呂世虎明確指出，數感發展的關鍵期是小學低年級?；粲昙训热送ㄟ^對國外的相關研究成果進行整理，同樣發現數感發展的關鍵期在小學低年級。

根據皮亞杰提出的認知發展階段理論，我們知道在小學1-3年級的學生，他們正處于具體運算階段，也就是說這個階段的學生還需要借助外界具體的實物來幫助理解和運算。同時，在日常學習中，很大一部分知識都是學生通過間接學習獲得的。間接學習需要建立在一定的知識經驗或者生活經驗的基礎之上，而小學低年級學生的知識經驗匱乏，所以無論是從學生認知思維發展的角度出發，還是從實際出發，這個年齡階段的學生主要依賴自己的生活經驗或者具體而豐富的情境來進行數學學習，特別是最初對于“數的認識與運算”的學習。并且，數感強調的正是將現實問題與數量關系聯系起來，那么小學低年級確實是培養和發展學生數感的關鍵時期。

四、“數的認識與運算”和“數感”

通過分析“數的認識與運算”在教材中的分布情況，也就是學生學習這部分內容的順序，可以發現內容是循序漸進的，但知識體系并不是呈直線式分布。比如并沒有要求在某一個時間段就把1～10000的數全部認識完，而是呈螺旋式分布，十分符合學生特別是小學低年級學生的認知規律，讓他們能有一個將生活情境中的數學和課堂中的數學內化為自己的數學知識的過程。與此同時，該部分內容還特意穿插在一些“問題解決”的章節中，既讓學生聯系實際生活來理解了“數”與“數的運算”，又讓他們初步運用“數”和“數的運算”解決了現實生活中的相關問題，自然而然地開始培養學生的數感。接下來具體分析“數的認識與運算”對于數感培養的重要性。

1.“數的認識與運算”源于生活

通過分析小學數學教材可以發現，小學數學知識是抽象概括的，也是生動形象而具體的，這非常符合前面分析的關于這個階段學生的認知特點和思維水平。我們知道，小學生的思維模式正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，并且具體形象思維占優勢，這一點在小學低年級體現得尤其明顯。通過分析小學低年級具體學習內容也可以發現這一點。我們對此進行進一步分析，學生依賴具體形象思維學習的內容，正是學生需要借助具體情境來學習的內容。例如，對于比較小的數，學生主要是通過現實生活中或者具體情境中的事物的“量”來認識的，雖然仍然依賴于具體形象思維，但是認識數的過程包含了從“具體”到“抽象”的過程，學生在此過程中也能體會從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡。這只是初步的過渡，還沒有實現完全的過渡。同樣地，在學習“1～5的加減法”時，學生仍然需要借助具體的情境對事物的外部特征進行概括，如通過“1個蘋果加上2個蘋果，一共有3個蘋果”“1個手指頭加上2個手指頭就是3個手指頭”來理解為什么“1+2=3”。這可以說是學生從具體形象思維到抽象邏輯思維過渡的過程，但仍然處于具體形象思維階段，因為學生只是能夠對數學事物的外部特征進行概括，并沒有涉及其本質特征或者屬性特征。

正是由于這個階段學生的學習依賴于具體形象思維，所以我們需要設置豐富的情境以便學生從中發現數學，并將生活經驗遷移到數學學習中來，初步建立數感。

學生在進入小學階段之前，對于簡單的1個（蘋果），2個（人），3個（皮球）、4只（小狗）……這樣的“量”的多少已經有了一定的認識，那么要讓學生認識數字“5”，就可以讓學生通過5本數學課本、5支鉛筆、5棵樹來體會“5”的含義，還可以通過“一一對應”思想來培養學生的數感。例如，在比較“2”和“3”這兩個數字的大小時，教材就創設了小兔和小豬搬木頭建房子的情境，并通過“一一對應”，讓學生先體會“同樣多”與“同樣大”，再體會“誰更多”與“誰更大”。比如：一只小豬對應一根木頭，最后還剩下一根木頭沒有小豬與之對應，學生由此就可以比較容易得出結論——木頭比小豬多。同樣地，在教學過程中，教師可以就地取材，讓學生數一數、比一比，然后和同桌說一說課桌上的鉛筆有多少支、書有多少本，是鉛筆多還是書多。這樣一來，教師甚至不需要再點撥，學生自己就可以認識到“3”比“2”大。讓低年級學生在豐富的情境、生活中認識數，這樣不僅能讓學生順利實現從學前到小學的過渡，體會到數學學習的樂趣，而且能讓學生輕松地將數字“1、2、3”與身邊事物的量結合起來理解，為數感的培養創造良好的“思維”環境。

同樣地，在教學“2+3=？”時，教材也是循序漸進的：先是設置了5個人在售票窗口排隊取票的情境，讓學生能夠比較直觀形象地理解“第幾”的含義，隊伍的最前面是“第1個人”，隊伍的中間是“第3個人”;又設置了大家一起分花朵的情境，一共有4朵花，把這4朵花分為兩堆，可以怎么分……同時，教師也可以讓學生“動”起來，讓他們數一數自己在教室里的第幾排，使其初步體會到“1”“2”“3”不僅可以代表“量”的多少，還可以代表“順序”，比如“第1個位置”和“第3個位置”，而通過分花朵活動，學生發現可以將4朵花分為一堆1朵、一堆3朵，也可以分為一堆2朵另一堆同樣是2朵。這時，教師就可以自然而然地引出“數的加法”。在學生已經通過很多情境熟悉了“數的加法”之后，教師重現類似的情境。比如：有兩個學生，學生甲有1只千紙鶴，學生乙有2只千紙鶴，放在一起一共有3只，將這3只千紙鶴放在桌子上，然后學生甲帶著其中1只千紙鶴離開了，桌子上還剩下2只;小丑手里本來有4個氣球，但是被風吹跑了2個，現在手里只剩下2個氣球了。通過這樣貼近生活實際且生動形象的情境，告訴學生可以用“數的減法”來描述上述場景中“量的減少”的變化過程。

可以發現，在最初的學習中，學生就是在具體的情境中依賴形象思維來學習和理解抽象的數與運算的。學生在這個過程中能夠比較深刻地體會到數的一個含義——數可以用來表示量的多少，也可以用來表示順序，由此實現對數的初步認識。所以說，“數的認識與運算”的學習是源于生活的。

2.“數的認識與運算”歸于生活

對小學低年級中的“數的認識與運算”進行整理分析可以發現，雖然學生的認知水平和思維水平比較低，使得大部分內容的學習都需要借助生動形象的具體情境來進行，但考慮到數學本身具有抽象性、概括性的特點，加之小學階段正是學生思維模式由具體形象向抽象邏輯思維過渡的時期，所以教材在具體內容的安排中，也著重體現了通過運用數的相關知識來解決實際應用中的簡單問題，以此初步發展學生的抽象邏輯思維。同時，借助具體情境，從“現實”到“數學”，又從“數學”到“現實”，真正將“數學”與“現實”聯系了起來，有效促進了學生數感的形成。

例如，創設生活情境：學校有1000名學生，今天二年級學生去春游，已知二年級一共有200人，那么今天還有多少學生在學校里呢？此處，由于1000和200這兩個數字比較大，而且剩下在學校里的學生人數也比較多，要實際去數一數顯然比較麻煩。此時，就要注意將之前通過身邊事物的具體數量及其變化來認識數及進行數的加減運算的思維過程倒過來，把對數的認識以及對數的加減法的理解，應用于實際生活問題的解決中來，進一步體會生活和“數的認識與運算”之間的聯系。

又如，在“測量”這一章節的學習中，教材給出了一個有趣的情境：四只可愛的小動物要過河，但是河上的橋限重1噸，這四只小動物的體重由輕到重分別是300千克、400千克、500千克和1000千克。通過教師的適當引導，學生的思維被調動起來，主動地思考這些小動物到底應該怎么過河呢？這是在學生掌握了“1噸=1000千克”的基礎上進行的思考討論，教師只需啟發學生明白，解決這個問題需要提煉出這個情境的本質，即小動物過河關鍵是看它們各自的重量，而不是看它們的身高或其他因素，這也是一個進行抽象思維的過程。一方面，這個過程是將“數的認識與運算”的相關知識運用于解決生活問題，進一步將”數的認識與運算”和生活聯系起來，促進學生數感的培養;另一方面，學生數感的發展又會反過來促進學生運用“數的認識與計算”解決現實問題。

再如，在進行“十進制”的相關學習時，要理解各個數位上的數所代表的含義，這是比較抽象的。比如“26”，要理解這里的“2”代表的是2個十，“6”代表的是6個一，需要依賴抽象邏輯思維，同時在已經初步建立的數感的基礎上進行理解，就比較容易了。

可見，學生對“數的認識與運算”的學習與學生的數感形成，其實是相互促進、相互影響的。

數感作為人的基本數學素養之一，不僅是學習數學這門學科的基礎，而且能促進學生將現實問題與數量關系建立起聯系。小學低年級是學生數感形成的關鍵階段，教師要充分利用“數的認識與運算”的教學培養學生的數感。在教學中，要注意設置豐富而生動的情境幫助學生學習，促進形成和發展數感。學生一旦形成了數感，反過來又可以促進“數的認識與運算”的教學。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 數學課程標準研制組.劉兼，孫曉天.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[2] 戴維·A.蘇澤.人腦如何學數學[M].趙暉，等譯.上海：上海教育出版社，2016.12.

[3] 朱莉婭·安吉萊瑞.如何培養學生的數感[M].徐文彬，譯.北京：北京師范大學出版社，2007，6.

[4] 張奠宙.對《全日制義務教育數學課程標準》理念部分的意見[J].數學通報， 2005（12）：1-4.

[5] 馬云鵬，史炳星.認識數感與發展數感[J].數學教育學報，2002（2）：46-49.

[6] 葉蓓蓓.對數感的再認識與思考[J]. 數學教育學報， 2004（2）：34-36.

[7] 徐文彬，喻平.“數感”及其形成與發展[C].中國高教學會高等師范教育研究會數學教育會會議論文集，2006：521-527.

[8] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[9] 史寧中，呂世虎.對數感及其教學的思考[J].數學教育學報，2006（2）：9-11.

[10] 霍雨佳，郭成，楊新榮.國外數感研究評析及啟示[J].課程·教材·教法，2015（2）：117-121.

（責編 吳美玲）