淺談數學教學中的數形結合

邱映芬

摘要：“數形結合”是初中學生必須掌握的一種數學解題思想，是學好初中數學的關鍵所在。運用數形結合的思路，可以使初中數學中的復雜問題簡單化，抽象問題具體化，不僅能提高教學質量，還能提高學生學習能力，培養學生創新能力。

關鍵詞：數學教學;數形結合;幾何

八年級的數學，學習內容相對七年級更多更難了。八年級上學期，需要學習三章幾何，兩章代數。在幾何的學習中，沒有一章的內容是簡單的，八年級的幾何學習，需要更多的邏輯推理和空間想象，才能在遇到幾何綜合題時，能分析條件，找到條件和結論的關系，做輔助線解題;代數知識也比七年級的更加難，八年級上學期會結束有理式的學習、冪的運算、乘法公式和因式分解、分式的運算。為了讓學生更好的掌握數學知識，培養數形結合的解題思想很重要。

什么是數形結合思想？

數，指的就是代數;形，一般指的是圖形，也就是幾何圖形，常說的幾何圖形有直線、三角形等。“數”和“形”是數學中最基本的概念，也是最古老的研究對象，它們既是對立的，又是統一的，在一定條件下是完全可以互相轉化的。

數形結合就是指通過數和形的聯系來解決數學問題，也就是將抽象的數學語言、數量關系和直觀的幾何圖形、位置關系巧妙的結合起來，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義。在解決代數問題的時候，利用圖形找到解題思路;或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，是一種優化解題過程的重要途徑，是一種基本的數學方法。

著名的數學家華羅庚先生曾說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，割裂分家萬事非;切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫分離。”這充分說明了數形結合在數學學習中是非常重要的。

我們可以從“以數助形”和“以形助數”兩種情形來全面理解數形結合思想。

一、以數助形

“以數助形”就是借助數的精確性來闡明形的某些屬性，也就是給一些過于簡單、找不出規律的圖形賦值，這樣的話，有助于學生找到一些隱含的條件，利用這種隱含的條件找到解題思路。

（1）數軸、直角坐標系

數軸在數學教學中有著廣泛的應用，數軸上的點和數是一一對應的，可以幫助學生快速的分析數量之間的關系。利用數軸可以分析絕對值的概念、相反數的概念、有理數的加減乘除等運算。

例如華師版八年級數學上典型題：

已知實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，且|a|=|b|，化簡

解析：a<0，a+b>0，c-a<0，c<0，原式=-a+a+b-c-a-2c=-a+b-3c

零的左邊就是負數，右邊就是正數;相反數就是在原點兩旁到原點距離相等的兩個點所表示的數，零的相反數就是零的本身，也就是原點;絕對值就是這個數的點與原點的距離。題目中的圖片，可以讓我們很形象的看出，哪些是正數，哪些是負數，以及數與數之間的大小。

這道題目就是通過數軸的建立，結合負數、相反數、絕對值的概念，通過數軸的直觀描述，很容易找出兩點之間到原點的距離大小，找到數值的正確位置，使問題條理分明，印象深刻，極大的減少了學生學習的阻力。不等式也可以通過數軸簡化不等式的解法。

直角坐標系在初中數學教學中也占有非常重要的地位，可以看成是升級版的數軸，我們可以通過直角坐標系來解決一次函數、反比例函數、二次函數的難題，將一些復雜計算、概念化的問題簡單化。

（1）幾何圖形

我們所看見的一切都是由點、線、面等基本幾何圖形組合而成的，幾何圖形就是實物中抽象出的各種圖形。幾何知識的綜合運用是數學學習的難點，同學們往往不知道如何分析條件，如何找到條件和結論的關系。“以數助形“就是合理利用角度、距離、面積等幾何數據來解決幾何問題，例如利用勾股定理來證明垂直關系，就是一種比較常見的“以數助形”的方法。

例如經典案例題：

若等邊三角形的邊長是2，求此等邊三角形的面積。

解析：如圖，等邊三角形ABC，AD垂直BC于D，因為等邊三角形底邊上的高與底邊上的中線相互重合，所以BD=1/2BC，所以BD=1;在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，AD2=AB2-BD2=4-1=3，所以AD=， S?ABC=1/2*BC*AD=

由于缺少我們求三角形面積熟悉的高，我們可以先在圖上虛構一條輔助線，作為一條邊上的高，再跟進面積公式求值。其實也就是利用勾股定理，用數形結合的思維推導在幾何圖形中找出隱藏的條件。只要認真審題，全面分析，靈活運用相關的判定、性質和定理，熟練利用數形結合的解題思路，就能夠使相關幾何問題的求解得到極大的簡化。

二、以形助數

“以形助數”就是借助幾何圖形來闡明數據之間關系，也就是將一些比較單調或枯燥的數據置于圖形中研究。

一次函數及其圖像是初中代數的重要內容，是八年級教學本里非常難的一章，也是中考的重點考察內容。解函數題的關鍵就是要懂得看圖，一般就是自己能畫一個草圖來整理自己的思路，理解題目的意思，然后解答問題。

例如八年級期末備考經典題：

如圖，一次函數y=ax+b的圖象經過A/B兩點，則關于x的不等式ax+b<0的解集是？

解析：考查一次函數與不等式。Ax+b<0，即當x取何值時，函數值y<0;由圖象知，當x<2時，函數值y<0，即ax+b<0的解集為：x<2

這道題目就是一次函數常考的類型，是很明顯的看圖得信息。只要知道橫坐標和縱坐標分別代表什么，就可以得出答案了。一次性函數題目，一般都是借助圖象來求函數的解析式或交點的坐標，或者與坐標軸的面積。只要合理利用“以形助數”的思路來解題，就會發現數學其實也并沒有想象的那么難。

八年級上學期學習了一次函數之后，下學期會開始接觸反函數、二次函數，相對一次函數而言，題型會更復雜一點，但是如果掌握了數形結合的解題思路，學會分析題目、比較歸納，自我總結思路畫圖，充分利用幾何圖形的直觀形象，理解代數方法的一般性，從數與形的聯系中發現規律，了解代數知識的幾何背景，解題的過程中想必也不會有什么困難了。

參考文獻：

[1]王繁. 淺談初等數學教學中的數形結合思想 ? 成都教育學院學報 ?2016.06.

[2]張宏良. 淺談數學教學中的數形結合思想 ? 衡水學院學報 ?2005.03.

[3]張連延.談數形結合思想在解題過程中的巧用 ?學科探究.

[4]任慶娥，張萍. 數形結合思想在解題中的應用 ?渭南師范學院學報.

[5]《義務教育課程標準實驗教科書 數學 八年級上冊》 人民教育出版社.