初中數學方程解法的導入策略初探

范英蘭

【摘要】 ?方程解法的導入，不僅承載著課堂激趣的功能，還引領著數學思維發展的作用。當前方程解法的課堂，大多停留在機械的程序化訓練上，忽視了數學思維的生成與發展;方程解法的設計重點是再現化歸思想，化歸思想的起點在課堂導入，但忽視對原理理解的課堂，常致使課堂導入環節干癟，甚至缺失。本文中，筆者結合自身從事初中方程解法的教學經驗，依托“最近發展區”理論，探究了四種方程解法的導入藝術和導入策略，希望能對初中數學方程教學的發展起到一定的促進作用。

【關鍵詞】 ?解方程 課堂導入 化歸思想 最近發展區

【中圖分類號】 ?G633.6 ?? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A?【文章編號】 ?1992-7711（2019）12-171-03

方程是重要的數學概念，學好方程是解決很多數學問題的基礎。解方程是方程教學的重要環節。初中階段主要研究四種基本的代數方程：一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程。一元一次方程是所有代數方程的基礎，立足一元一次方程，在“元”上推廣到二（三）元一次方程（組）;在“次數”上推廣到一元二次方程;在形式上推廣到分式方程。四種方程的解法一脈相承，都蘊含著“化歸”思想。

解方程是方程教學的重點內容，“解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解。”解方程的目的就是使方程恒等變形為（已知數）的形式，各種代數方程及其運算步驟都以此為目標。

方程的解法，因其程序化清晰，模式化穩定，指令明確，操作性強的特點，看起來似乎不是教學的難點。當前初中方程解法的教學課堂，大多是結合一道例題，講解每一步的做法，歸納程序清晰的解方程步驟，再讓學生套用步驟，按圖索驥，依樣畫葫蘆。

這樣的教學，只有操作，沒有思維;只有告知，沒有引導。方程解法過早形式化，過度形式化，對學生思維的形成與發展造成了不可逆轉的影響。

史寧中教授說：“方程解法的教學應著重于對原理的理解，而不是技能的過度強化”。教學的著眼點應看到學生長遠的發展，對于解方程而言，教師應重視方程化歸思想的形成與發展，并為這種思維的形成搭建好“腳手架”。方程解法的導入作為“腳手架”的第一層“支架”，應精心設計，合理搭建。

如何有效導入方程的解法，筆者主要從以下三個方面研究。

一、探究方程解法導入的理論基礎

維果茨基指出：“教學應當走在發展的前面“，只有走在發展前面的教學才能有效促進學生的發展。方程解法的導入，需要教師站在化歸思想形成與發展的前面，精心組織，層層推進。

解方程的核心思想是化歸，解方程的主要任務是把學生的“現有水平”轉化為學生可能達到的“潛在水平”。在進行方程解法的教學設計之初，必須弄清楚學生發展的兩種水平：一種是已經達到的發展水平，是指學生已有的經驗;另一種是學生可能達到的發展水平，表現為“學生還不能獨立地完成任務，但在教師的幫助下，能夠完成這些任務”。 這兩種水平的最佳結合點就是方程解法的課堂導入，這兩種水平之間的距離，就是“最近發展區”。

基于以上分析，筆者認為“最近發展區”是介于學生獨自所能達到的水平與教師給予協助后所能達到的水平之間的區域;方程解法的“最近發展區”是介于學生原有的解方程水平與教師給與協助后所能達到的解方程水平之間的區域。教師的協助，對學生順利跨越“最近發展區”起關鍵作用，而這起作用的關鍵階段，在解法教學的引入環節。依據“最近發展區”理論，巧設支架，有組織的引入，是促成學生達到“學習最佳期限”的必要途徑。

二、方程解法的導入策略

筆者依托“最近發展區”理論，結合自己的教學經驗，從四個方面探討初中數學方程解法導入的策略。

1.用“化歸思想”牽引導入，對接“章”與“章”之間的“最近發展區”

史寧中先生指出，“在中小學數學中，三元一次方程可以化歸為二元一次方程，二元一次方程可以化歸為一元一次方程，一元一次方程最終化歸為（已知數）的形式”。此外，分式方程可通過“去分母”轉化為一元一次方程，一元二次方程可通過“降次”轉化為一元一次方程。

解方程就是求出“使方程左右兩邊都相等的未知數的值”，因此，四種方程解法的導入，都可以用同一個問題過渡引領：如何將方程恒等變形為的形式？這種統領性的問題會激活學生的原有經驗，會指引學生向合理的方向思考：與目標形式（已知數）作對比，原方程含括號，因目標形式中沒括號，所以要去括號;原方程含分母，因目標形式中沒分母，所以要去分母等;原方程是二次的，目標形式為一次，所以要把二次降為一次;原方程含有兩個未知數，要消掉一個未知數，才能轉化為之前學過的一元一次方程。

這種統領性的導入，要因材施教，立足學生已有的發展水平。如果學生覺得困難，教師要建立多個遞增的“最近發展區”，使教學組織有一定的坡度。例如一元二次方程解法，初學者有難度，可引導學生類比“二元”轉化為“一元”的消元法，思考能否將“二次”轉化為“一次”。

初中代數方程的解法是一個有機整體，四種方程的解法，一脈相承。搭建同一個問題支架，用“化歸思想”統一引領，便于實現方程“圖式”的自然擴充。

2.用“變式練習”巧妙導入，打通“節”與“節”之間的“最近發展區”

方程的解法，“節”與“節”之間關聯緊密。為了洞悉學生現有的能力水平，可以采用復習法導入。通過“課前小測”檢測學生水平，鋪就新知學習的基礎。

純粹的小測，不足以體現新舊知識之間的聯系，有經驗的教師會把小測題適當改編一下，變成當堂所講的類型，實現一題多用，進而降低新課學習的難度。

“一題多用” 可以打通“節”與“節”之間的“最近發展區”。例如學習“去括號-----解一元一次方程”，課堂導入設計為：先解方程 “3x-6=2x-2”，復習“移項”解方程;再稍作改變，把前面的方程加上括號：“3x-6=2（x-1）”變成新課所學的方程，因勢利導引出含有括號的方程。

小測題目作為“腳手架”，不著痕跡地溝通了新舊方程的聯系，降低了學生跨越 “最近發展區”的難度。

3.用“趣味材料”激趣導入，激發學生學習愿望與心理機能的“最近發展區”

依據最近發展區理論，在最佳期限內進行的教學，才是促進學生發展的最佳教學。學生已有的發展水平與潛在的發展水平之間的動力狀態是由教學決定的，動力狀態的啟動，要靠課堂導入。因此，方程解法的導入，不能忽略學生發展的內部心理過程。初中生心里機能還不夠成熟，其學習熱情，離不開教師激趣導入的帶動。

與方程解法相關的趣味材料有很多，例如：教材的插圖、“閱讀與思考”、與方程有關的影視片、數學史實故事等。

合理利用趣味材料，是對教師教學智慧的考驗。

筆者曾嘗試了一些做法，例如一元一次方程解法的引入，筆者將浙江衛視《奔跑吧兄弟》中包貝爾智解“雞兔同籠”的節目剪輯成短片，播放短視頻導入，能極速點燃學生學習解方程的熱情;再比如，一元二次方程公式法解法教學，筆者簡短呈現了人類解方程的完整歷程，其中，陰差陽錯的卡丹公式、坎坷曲折的五次及五次以上的方程沒有公式解的論證歷程，使學生沉浸在跌宕曲折的數學史中，感受到解方程不只是追尋淺層次的趣味性和急功近利的實用性，而是體驗數學本身內在邏輯的獨特魅力，而這種內在邏輯的需要，恰是推動數學發展的主要動力;用故事導入，可以教師講述，也可以制成視頻播放，還可以寫成劇本，讓學生演繹。筆者曾把方程解法的歷程編成劇本《方程史話》，讓學生在全校面前，生動演繹，再錄成視頻，供更多老師日后作為導入材料播放。以方程解法為載體的課堂激趣導入，已在我校數學科組全面推廣。

方程解法的能力發展，取決于課堂導入能否啟動學生正待成熟的心理機能。以生動的趣味材料導入，能有效激發學生學習方程的興趣，能鏈接符合學生心理機能的“最近發展區”，能讓枯燥無味的方程變得妙趣橫生。

4.用“生活背景”誘發導入，建立符號數學與生活數學的“最近發展區”

維果茨基最近發展區理論認為：學習與發展是一種社會與合作的活動。學生頭腦中的數學離不開學生已有的社會經驗。解方程要充分考慮生活實踐的矛盾性。應用的現實體驗，激發學生學習成就感和自信心。

史寧中教授在《方程思想及其課程教學設計》數學教育熱點問題系列訪談錄之一中提到：以往的方程教學設計思想的一個誤區，在于把思路搞反了，方程的教學本應該“先是進行生活中的提煉， 然后到數學表達，也就是形式化的過程，再到最終解決方程問題”，而不是“先給出形式化的方程定義， 然后解形式化的方程，最后再進行方程的應用”。

在實際教學中，教師往往把方程的解法與方程的實際應用完全割裂開，純粹解方程，然后再集中解決實際問題。這樣的割裂性操作，導致學生根本體會不到方程是從現實生活到數學的一個提煉過程。不利于學生符號表達的能力提煉和發展，不利于學生理解方程解法的功能性與合理性。因此，方程解法的導入環節，有必要拉近符號表達與生活問題的距離。

在實際教學中，如何無痕植入生活問題呢？

筆者曾嘗試以“雞兔同籠”為主線，將小學里所學的算術法和一元一次方程、二元一次方程組統一編排，在一元一次方程和二元一次方程組的單元起始課導入環節，均引入“雞兔同籠”的問題，對比算術法，引入一元一次方程、二元一次方程組。要求未知量，自然聯想怎樣解方程。求未知量的矛盾，引起解方程的心理饑渴。同時，學生在一題多解中既感受到“方程思想”思維簡單的優勢的同時，又溝通起兩種方程解法上相互轉化的聯系。當然，在實際教學中，我們也可以采用其他的實際問題（例如“順水航行、逆水航行”的問題），在學生生活經驗與數學知識之間架起一座無形的橋梁，溝通方程解法與實際問題的聯系。

中學的許多數學問題來源于人們的實際生活，而這些問題經過提煉，又比原來具體的生活抽象得多，所以在解方程的教學中，我們要設法引導學生把生活經驗嫁接遷移到方程模型的提煉上，以激活他們解方程的愿望。

通過課堂導入，把學生解方程的“潛在水平”轉化為新的解法的“現有水平”。新的“現有水平”的基礎上又出現新的“思維潛在水平”，并形成新的“最近發展區”。于是教學又從新的思維潛在水平開始…… 這種循環往復不斷轉化和思維發展區層次逐步遞進的過程，就是學生不斷積累方程解法和推進化歸思想發展的過程。

三、對方程解法的進一步思考

1.程序化與解法多樣性的關系

程序化解方程，既要看到它的局限性，也要看到它積極的一面。對于學優生，自然不能僅僅教會他們機械解方程，更應讓他們理解方程的核心本質----化歸。圍繞化歸思想，發展其思維的靈活性，提倡解法多樣化;但對于學困生，程序化按圖索驥的辦法，能有效幫助他們正確解出方程，能增強他們信心。因此，在實際教學中，要依據學生所接受的程度，控制程序化的強度，設計課堂導入的開放程度。

2.一元一次方程與其他代數方程的關系

一元一次方程是其他代數方程的基礎，其他代數方程都要轉化為一元一次方程來求解。但有時，一元一次方程的解法經驗，也會對其他方程產生干擾。一元一次方程都有解，而且都有唯一解。如此一來，學生始終會有一種錯誤的認知：認為所有的方程都有解，且都有唯一解，因此當他們遇到分式方程無解，一元二次方程重根或無實根時，就難以認同。像“3x=3x-1”是不是一元一次方程，這種無解的矛盾方程能否適當引入？分式方程無解，一元二次方程有重根、無實根，怎樣導入才能達到學生的”最佳學習期限”，都是值得進一步探討的。

綜上，方程解法教學，不能只有操作，沒有思維。正如杜威所說：“純粹的模仿、采用制定的步驟、機械式的練習，均可能最快地取得效果，然而，對反省思維能力的增強，卻可能鑄成不可挽回的錯誤。”因此，方程解法的教學，不能停留于讓學生機械得解出來，更要思考為什么這樣解，還要思考為什么要這樣教。

方程解法的導入，是知識的生成點，思維的源頭，能彰顯方法的合理性和能力延伸的方向。教學時，找準學生的“最近發展區”，要生動導入，無痕導入，而不是采用簡單的“告知”。只有這樣，方程解法的教學，才會成為“使大腦建立新結構并由一個思維水平向另一個思維水平發展的階段”。

[ 參 ?考 ?文 ?獻 ]

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[5]伍曉焰.《2018年廣州市初中畢業生學業考試年報》，廣州市教育研究院，南方出版傳媒，2019年3月.