解析幾何的本源方法與潛在的不變性

陳桂虎

摘? ?要：在解析幾何教學(xué)中，引入直角坐標(biāo)系后，學(xué)生就可以精確地刻畫(huà)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中的不變性恰好是運(yùn)動(dòng)所具有的性質(zhì)，這些不變性也可以稱(chēng)之為解析幾何中的潛在性質(zhì)。坐標(biāo)法就是研究解析幾何問(wèn)題的本源方法，也是挖掘解析幾何中“變”中的“不變”利器。解析幾何中的這些潛在的不變性也體現(xiàn)了事物“偶然”中孕育的“必然”，“特殊與一般”的哲學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解析幾何;坐標(biāo)法;不變性;定值;定點(diǎn)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2019）32-0027-03

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，這種研究幾何的方法稱(chēng)為坐標(biāo)法也叫解析法。具體地講，把幾何對(duì)象放置到直角坐標(biāo)系中，然后確定曲線(xiàn)的方程，這樣幾何對(duì)象就可以完全用數(shù)和代數(shù)術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)，幾何運(yùn)算也就轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。

解析幾何的產(chǎn)生是出于對(duì)數(shù)學(xué)方法的追求，學(xué)者可從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程以及Descartes和Fermat創(chuàng)立解析幾何的心路歷程來(lái)發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。比如Descartes研究數(shù)學(xué)的目的，是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法，他認(rèn)為歐氏幾何中沒(méi)有一種普遍適用的方法，幾乎每一種證明都是新的且具有一定的技巧性;而代數(shù)的方法雖然受制于許多公式和法則有些機(jī)械，但是具有一定的規(guī)律性和一般性。代數(shù)與幾何應(yīng)互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，他提出了一個(gè)計(jì)劃，“任何問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——代數(shù)問(wèn)題——方程求解”。其探索如何用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的過(guò)程，創(chuàng)立了解析幾何。Fermat在數(shù)論和代數(shù)方面成就卓著，他明確地使用了坐標(biāo)的概念，他提出只要在最后的方程里出現(xiàn)兩個(gè)未知量，就會(huì)得到一個(gè)軌跡。教師了解這些的目的，是為了在教學(xué)解析幾何時(shí)把握住解析幾何的精髓，解決問(wèn)題時(shí)更具有開(kāi)創(chuàng)性和思辨性，而不是做了許多問(wèn)題卻不知所云。

舉例，若問(wèn)AB=2，AC=BC，三角形面積的最大值是多少？（答案是2）

【分析】題目本身說(shuō)明了“變”中蘊(yùn)含著“不變”。單從代數(shù)方法上思考，可將面積表示成關(guān)于某一邊長(zhǎng)的函數(shù)，然后求函數(shù)的最大值，不過(guò)有一定的運(yùn)算量;若用解析法的思想去思考，三角形面積之所以有最大值，原因是三角形的形狀在變化，也即頂點(diǎn)C在變化，那么點(diǎn)C的軌跡是怎樣的呢？以線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)為x軸，其中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，求得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程，獲知點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，然后數(shù)形結(jié)合，問(wèn)題便迎刃而解。

學(xué)會(huì)用代數(shù)的方法（解析法）解決幾何問(wèn)題的方法，這是解析幾何的本質(zhì)所在，學(xué)習(xí)者應(yīng)該樹(shù)立這樣的意識(shí)。筆者在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，解析幾何問(wèn)題中有的題目也可以單從幾何的角度分析求解，因?yàn)榻馕鰩缀螁?wèn)題首先是個(gè)幾何問(wèn)題，故可以從所涉及的幾何圖形的性質(zhì)去做分析，比如圓的直徑所對(duì)圓周角是直角。但不要引導(dǎo)學(xué)生總是用幾何方法去思考解析幾何，因?yàn)閷W(xué)生的思維模式一旦形成，就對(duì)解析幾何有了一定的“偏見(jiàn)”，就背離了解析幾何的本質(zhì)。

引入直角坐標(biāo)系后，學(xué)生就可以精確地刻畫(huà)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中的不變性恰好是運(yùn)動(dòng)所具有的性質(zhì)。所以解析幾何中定點(diǎn)、定值以及最值問(wèn)題就成了解析幾何考試的重點(diǎn)問(wèn)題。換句話(huà)說(shuō)，解析幾何在高考中的經(jīng)典問(wèn)題多數(shù)是圍繞這些問(wèn)題去考查的。這些不變性也可以稱(chēng)之為解析幾何中的“潛在性質(zhì)”。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探索這些“潛在性質(zhì)”，這有助于學(xué)生深刻理解解析幾何，有助于拓展學(xué)生的思維。

以橢圓為例，看一下如何用代數(shù)術(shù)語(yǔ)描述橢圓的一些性質(zhì)。

回顧橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和（記作2a）等于定長(zhǎng)（2a>F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這種定義方法是通過(guò)數(shù)進(jìn)行度量描述橢圓。

以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1導(dǎo)出主要思路分析：

由定義可得

PF1PF2=2a

+=2a

a2-cx=a? ==e（這是橢圓第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（c，0）的距離與到定直線(xiàn)x=之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓）

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）令a2-c2=b2

+=1（a>b>0）

=1-=? ·=-

=1-=? ·=-

（斜率之積是常數(shù)）

從以上的運(yùn)算流程來(lái)看，通過(guò)理解每一個(gè)代數(shù)等式所表達(dá)的幾何意義時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)橢圓中的某些不變性。聯(lián)想圓的定義和圓的性質(zhì)，比如圓的直徑所對(duì)圓周角是直角。當(dāng)把圓視為橢圓的特殊情形時(shí)，那么在橢圓中，長(zhǎng)軸或短軸所對(duì)的“圓周角”顯然不是直角，也不是定值。但通過(guò)坐標(biāo)法可以發(fā)現(xiàn)，橢圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸（或短軸）兩端點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率的乘積是定值，這就是幾何性質(zhì)可用代數(shù)表達(dá)。

a）橢圓+=1（a>b>0）上的點(diǎn)P與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A1（a，0）、A2（-a，0）連線(xiàn)的斜率之積是定值，定值為-（=e2-1）即kPA1·kPA2（若a=b時(shí)，值為-1）（證明略）。

若將上述性質(zhì)的條件弱化，結(jié)論依然成立。

b）橢圓+=1（a>b>0）上的點(diǎn)P是異于橢圓上M，N的兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則有kPM·kPN=-，我們?cè)偃ヂ?lián)想圓中的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦（平分弦的直徑也垂直于弦）。在橢圓中，利用坐標(biāo)法相應(yīng)地有這樣的不變性。

c）設(shè)AB是橢圓+=1（a>b>0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB=-.（在圓中為OM⊥AB，kOM·kAB=-1）。

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）則有

+=1，+=1

作差得：+=0

+=0

kAB==-=-=-

kOM·kAB=-.

對(duì)于雙曲線(xiàn)是否具由類(lèi)似的性質(zhì)呢？

若橢圓改為雙曲線(xiàn)，相應(yīng)的性質(zhì)是kOM·kAB=-（焦點(diǎn)在x軸上）。

一般地，設(shè)是圓錐曲線(xiàn)E：mx2+ny2=1的弦，且P（x0，y0）是弦的中點(diǎn)，則kAB·kOP=-.

舉個(gè)例子說(shuō)明如何用以上這些潛在性質(zhì)思考解決問(wèn)題。

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，M、N分別是橢圓+=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k.

求證：對(duì)任意k>0，PA⊥PB

【分析】∵kBA·kPB=-=-易證kPA=2kAB，

∴kPA·kPB=-1故證得PA⊥PB

若取AB中點(diǎn)Q，kPB=kOQ可用性質(zhì)b）證得.

d）已知橢圓+=1（a>b>0）A，B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，M為橢圓上的任意一點(diǎn)，滿(mǎn)足=λ+μ且λ2+μ2=1，則kOM·kAB=-.

證明：設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）又=λ+μ，則x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2又點(diǎn)M在橢圓上，

則+=+=1

整理得到λ2（+）+μ2（+）+

2λμ（）=1

又點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上，所以+=1，+=1，則+=0

∴=-故kOA·kOB=-.

e）過(guò)橢圓（a>0，b>0）上任一點(diǎn)A（x0，y0）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)交橢圓于B，C兩點(diǎn)，則直線(xiàn)BC有定向且kBC=（常數(shù)）.

設(shè)AB：y-y0=k（x-x0）即y=kx+y0-kx0

y=kx+y0-kx0+=1（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x

+a2（y0-kx0）-b2=0

x0+xB=xB

B，同理C，

∴=.

坐標(biāo)法就是研究解析幾何問(wèn)題的本源方法，也是挖掘解析幾何中“變”中的“不變”利器。解析幾何中的這些潛在的不變性也體現(xiàn)了“特殊與一般”的哲學(xué)思想。教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生多發(fā)現(xiàn)和探索解決問(wèn)題的方向或思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。