高中數(shù)學中解答應(yīng)用題的教學思路探究

【摘 要】應(yīng)用題是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，通常作為壓軸題出現(xiàn)，學生在解答時普遍存在畏難情緒，得分較低。本文從解答應(yīng)用題的常規(guī)步驟、阻礙學生解答應(yīng)用題的常見因素、幫助學生突破解題障礙的常用方法三個方面進行闡述，并結(jié)合當前高中數(shù)學教學，探究如何利用建模思想引導學生解決實際問題，從而提高教學效果和質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;應(yīng)用題;教學方法

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0202-03

數(shù)學學科具備三大特點：高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛應(yīng)用性。應(yīng)用題是數(shù)學學科的重要組成部分，更是這三大特點的集中體現(xiàn)。數(shù)學課程基本理念中指明：注重提高學生的數(shù)學思維能力，發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識。應(yīng)用題的教學是提高學生分析問題、解決問題能力的途徑之一，同時也是培養(yǎng)學生應(yīng)用能力、創(chuàng)新精神的平臺之一。在被譽為“千軍萬馬過獨木”的高考中，應(yīng)用題是必考內(nèi)容，通常作為壓軸題出現(xiàn)。部分學生的應(yīng)用題存在得分較低、存在畏難情緒的情況，如果學生能順利攻克應(yīng)用題，會為后續(xù)應(yīng)試考試帶來積極的影響。因此，教師必須高度重視高中數(shù)學應(yīng)用題的教學。筆者結(jié)合多年的教學實踐，從教授解答題應(yīng)用題的常規(guī)步驟、阻礙學生解答應(yīng)用題的常見因素、幫助學生突破解題障礙的常用方法三個方面進行探究。

1? ?解答應(yīng)用題的常規(guī)步驟

經(jīng)過多年的教學實踐，筆者將解答應(yīng)用題的一般步驟總結(jié)如下：（1）審題;（2）設(shè)變量;（3）求出變量的取值范圍;（4）列出關(guān)系式;（5）求解;（6）檢驗并作答。結(jié)合例1給予詳細闡述。

例1.某賓館在裝修時為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計成半徑為的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域，其中四邊形為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計劃將矩形區(qū)域設(shè)計為可推拉的窗口。

（1）若窗口為正方形，且面積大于（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍;

（2）若四根木條總長為，求窗口ABCD面積的最大值。

第一步：認真審題。已知圓的半徑為，第（1）問中，四邊形ABCD為正方形，所以四根木條的長度相等，要求的是木條總長度的取值范圍。第（2）問中，四邊形為矩形，四根木條總長為，所以AB、BC所在木條的長度之和為，要求的是矩形ABCD面積的最大值。經(jīng)提煉應(yīng)意識到，兩小題都是對圓的弦長的考查。

第二步：設(shè)變量。第（1）問中可以直接設(shè)其中一根木條長為，也可間接地設(shè)點到AB的距離為，還可以設(shè)為（點為點在AB上的射影）。第（2）問中可以設(shè)兩個變量，即設(shè)AB，BC所在的木條長分別為，，則。也可只設(shè)一個變量，即AB所在的木條長為，則BC所在的木條長為。

第六步：檢驗并作答。檢驗所得結(jié)果是否符合實際問題的要求，是否正確。如：現(xiàn)實生活中長度、時間總是非負的，人數(shù)、車輛數(shù)總是整數(shù)，存款按單利計息而貸款按復利計息等。例1第（1）問中如果開始只是求出，這時就是一個補救的機會。作答其實就是再次回到實際問題的步驟，用簡潔、明確的語言給出清晰的結(jié)論。

這幾個步驟相互依賴、相輔相成。審題是關(guān)鍵，如果讀不懂題意、誤解題意，就不能將實際問題轉(zhuǎn)化為恰當?shù)臄?shù)學問題，變量的設(shè)立會影響關(guān)系式的建立，關(guān)系式的建立又會影響求解的方法。因此，在解答應(yīng)用題時應(yīng)將實際問題正確地轉(zhuǎn)化為所學的數(shù)學問題，選擇恰當?shù)淖兞拷⑶‘數(shù)年P(guān)系，以便于快速求解。檢驗是對解答過程的反思，作答是對解答過程的總結(jié)，由數(shù)學問題再次回到實際問題中去。

2? ?阻礙學生解答應(yīng)用題的常見因素

審題時學生閱歷淺，而應(yīng)用題的背景具有社會性和生活性，學生很容易產(chǎn)生懼怕心理，有時連題目都沒看完就置之不理。應(yīng)用題文字敘述長，直接、間接條件、問題、結(jié)論不太明朗，學生容易產(chǎn)生煩躁心理。有時急于求成，盲目下筆導致解題出錯。

設(shè)變量，求變量的取值范圍，列出關(guān)系式是建模的三個步驟。設(shè)變量的目的是便于用數(shù)學中的數(shù)字、字母表示實際問題中的各個量，進而再用數(shù)學中的等式、不等式表示實際問題中各量之間的關(guān)系。學生對數(shù)學知識的記憶、理解、掌握程度不高，不能選擇恰當?shù)淖兞俊Ｈ缋?的第（1）問既可以選擇長度為變量，又可以選擇角度為變量，設(shè)長度時既可以直接設(shè)其中一根木條的長度又可以間接設(shè)弦心距;第（2）問既可以設(shè)兩個相關(guān)變量又可以僅設(shè)一個變量。第（1）問中變量的選擇對解題難度和速度影響不大;第（2）問中變量的選擇對解題難度和速度影響較大。求變量的取值范圍是為了明確研究范圍。學生容易抓住顯性的約束條件而忽視隱性的約束條件。隱性約束條件有的就在題目中，只是學生視而不見，如例1中的“四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域”，還有的題目中沒有明確指出，但會受到客觀事實制約，如例1中的木條長度必然大于零。列出關(guān)系式即：用數(shù)學語言描述變量間的關(guān)系。當關(guān)系復雜時學生容易手忙腳亂，不會分層分步處理。單位的不統(tǒng)一也會導致關(guān)系式建錯。

求解即解模。有的學生解模方向不明確，如例1的第（2）問是最值問題的研究，可以用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，可以用基本不等式及其變形，還可以用導函數(shù)。用基本不等式及其變形解模運算量小但思維量大，用導函數(shù)解模思維量小但運算量大，用基本初等函數(shù)的單調(diào)性又需要等價轉(zhuǎn)化。學生受運算能力、思維能力的影響，比較習慣朝自己擅長的方向去嘗試，因而不一定能找出適合這個問題的最優(yōu)方向。

3? ?幫助學生突破解題障礙的常用方法

首先，教師要耐心指導學生細致地讀題，讀懂問題的實際背景。遇到較長的語句就在關(guān)鍵詞、數(shù)據(jù)下作出標記，弄清每一個名詞、概念，分析每一個已知條件和要求結(jié)論的數(shù)學意義，挖掘?qū)嶋H問題對所求結(jié)論的限制等隱含條件。其次，教師要給予學生充足的訓練機會，鼓勵學生說出已有的認識，教師在此基礎(chǔ)上給予引導、糾正、優(yōu)化，以鍛煉、發(fā)展學生的審題能力。不能因為審題能力與閱讀理解能力相關(guān)，而閱讀理解能力與語文學科關(guān)系密切而不作為，也不能為了節(jié)省講解時間而直接將學生的注意力鎖定在關(guān)鍵詞、句上。否則，學生容易在平時養(yǎng)成依賴心理，當他們孤軍奮戰(zhàn)時信心不足、能力不夠。

就建模而言，當學生審清題意后，就會在腦海里提取相關(guān)的數(shù)學知識，應(yīng)用到實際問題中。因此，要注重學生基礎(chǔ)知識的學習和掌握，為基礎(chǔ)知識的應(yīng)用做好充分準備。一般教師會從概念、性質(zhì)、應(yīng)用三個方面講解數(shù)學知識，如果這個知識經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，不妨在講應(yīng)用題時強調(diào)該問題在實際問題中的應(yīng)用，編制一個應(yīng)用題微專題，以培養(yǎng)和強化學生的應(yīng)用意識。高中數(shù)學中與解答應(yīng)用題關(guān)系密切的知識有：函數(shù)、導數(shù)、不等式、三角、數(shù)列、直線、圓、拋物線、線性規(guī)劃等。學生接觸大量應(yīng)用題后，教師可以指導學生將遇到的應(yīng)用題分類整理，形成模型，這些模型會增強學生的信心，正所謂“手中有糧，心中不慌”。

就解模而言，學生對已經(jīng)整理出來的數(shù)學模型進行化簡、運算、抓住問題核心，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學問題。常見問題有以下兩類：一是求最值;二是研究方程、不等式的解。求最值的方法包括：①借助基本初等函數(shù)的圖像確定單調(diào)性;②借助導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)性;③借助基本不等式及其變形;④有時會遇到分段函數(shù)的最值問題，需分別研究每一段的最值，再確定整個定義域上的最值。

研究方程、不等式的解的方法包括：①直接使用基本初等函數(shù)的圖像、性質(zhì)解方程、不等式;②用導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像上的特殊點確定方程、不等式解的情況;③有時方程的解也表現(xiàn)為對應(yīng)函數(shù)的零點，兩者本質(zhì)上是一樣的。在解模過程中若能有效結(jié)合四大數(shù)學思想方法（函數(shù)與方程，分類討論，等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合）會事半功倍，大大提高解模效率。

應(yīng)用題不僅在高考中占較大分值，而且具有較強的實用價值。通過科學合理的訓練可大幅度提升應(yīng)用題解答能力，因此，教師有必要加強對應(yīng)用題教學方法的研究，提升學生分析問題、解決問題的能力。

【作者簡介】

張顧晶（1982～），女，江蘇如皋人，本科，中學一級教師。