一題多解與多題歸一

郭魏麗

【摘要】初中數(shù)學(xué)課本里的習(xí)題是專家們經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲和琢磨選定的，這些題目充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的精神和數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想的典型性、示范性，題目本身具有很強(qiáng)的遷移性。本文對(duì)2018年廣州市中考題里的其中一道題進(jìn)行深入研究，結(jié)合課本中的習(xí)題，進(jìn)行一題多解、多題歸一的分析。

【關(guān)鍵詞】課本習(xí)題；初中數(shù)學(xué)；一題多解

課本中的一些典型習(xí)題是命題專家們青睞的對(duì)象，通過(guò)對(duì)題目的條件、圖形、提問(wèn)方式等改編，可以衍變出豐富多樣的題目。但在信息技術(shù)推動(dòng)的多媒體教學(xué)環(huán)境下，教師經(jīng)常直接用課件和課堂學(xué)案代替課本內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生也忽略了課本的重要性。這樣舍本逐末的教法和學(xué)法，對(duì)中考備考的系統(tǒng)復(fù)習(xí)是很不利的。筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視課本的例題和習(xí)題，對(duì)習(xí)題進(jìn)行不同角度的改編、拓展和延伸，充分發(fā)揮這些題目的示范作用。下面結(jié)合2018年廣州市中考第23題中的第二問(wèn)和課本上與之相關(guān)的習(xí)題，探討一題多解與多解歸一、一題多變與多題歸一的問(wèn)題。

一、鏈接中考，一題多解與多解歸一

題目：在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB+CD（見(jiàn)圖1）。

（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件證明：AE⊥DE。

第一問(wèn)省略，第二問(wèn)解題思路如下：

方法一：利用平行線的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形三線合一等知識(shí)。

證明：延長(zhǎng)DE、AB交于點(diǎn)F（見(jiàn)圖2）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵∠B=∠C=90°

∴CD∥AB

∴∠CDF=∠F，∠ADF=∠F

∴AD=AF

∵AF=AB+BF，AD=AB+CD

∴CD=BF

∵在△CDE與△BFE中，CD=BF，∠EBF=∠C=90°，∠DEC=∠FEB

△CDE≌△BFE（AAS）

DE=FE，又△ADF為等腰三角形

AE⊥DE

運(yùn)用方法一解題時(shí)，有些學(xué)生審題不清，沒(méi)有系統(tǒng)理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致出錯(cuò)。例如：延長(zhǎng)AB，在AB上截取BF=DC，連接EF，默認(rèn)點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F三點(diǎn)共線，直接證△CDE≌△BFE；默認(rèn)CE=BE；錯(cuò)誤利用等腰三角形的三線合一等。

方法二：利用截長(zhǎng)補(bǔ)短、全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)、平角為180°等知識(shí)。

證明：在AD上截取點(diǎn)F，使DF=DC（見(jiàn)圖3）（注：在AD上截取點(diǎn)F，使AF=AB亦可）

∵DE平分∠ADC，∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE

∴△FED≌△CDE（SAS）

∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°，∠DEF=∠DEC

∵AD=AB+DC=AF+DF，且DF=DC

∴AF=AB

∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）

∴∠AEB=∠AEF

∴∠AED= ∠AEF+ ∠DEF=∠CEF+∠BEF

∴AE⊥DE

這里截長(zhǎng)補(bǔ)短有兩種方式，選擇在AD上截取DF=DC的方法可以直接得到△FED與△CDE全等的條件，不容易走入誤區(qū)；選擇在AD上截取AF=AB，不能直接證△AFE與Rt△ABE全等，要先由AD=AB+DC這個(gè)條件，得到DF=DC，證明△FED與△CDE全等，得到EC=EF，再證△AFE與Rt△ABE全等，這樣證明比較復(fù)雜，也容易出錯(cuò)。

方法三：利用直角三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定等知識(shí)。

證明：作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F（見(jiàn)圖4）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵在△FED和△CDE中，DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF

∴△FED≌△CDE（AAS）

∴DC=DF

∵AD=AB+DC=AF+DF

∴AF=AB

∵在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，AF=AB

∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）

∴∠FAE=∠BAE

∵∠B=∠C=90°

∴∠B+∠C=180°

∴AB//CD

∴∠CDA+∠DAB=180°

∴∠ADE+∠EAD= ∠CDA+ ∠DAB=90°

∴∠AED=180-（∠ADE+∠EAD）=90°

∴AE⊥DE

運(yùn)用方法三解題時(shí)，部分學(xué)生誤用了角平分線的性質(zhì)定理，沒(méi)有抓住“一分兩垂得線等”的關(guān)鍵是確定誰(shuí)是角平分線上的點(diǎn)，錯(cuò)誤地認(rèn)為可以直接得到DC=DF；有些學(xué)生把EF=EB=EC當(dāng)做已知條件用，但卻并沒(méi)有證明。

以上三種解法中發(fā)現(xiàn)，輔助線做法不同，過(guò)程難易程度也不盡相同，但本題的核心考點(diǎn)仍然是全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵的思路是構(gòu)造全等三角形。

下面來(lái)看一下課本上通過(guò)改變已知條件、圖形、設(shè)問(wèn)方式等延伸出來(lái)的與上題相似的題目。

二、重視課本，一題多變與多題歸一

題目一（人教版8年級(jí)上冊(cè)P52第7題）：已知∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線。

證明：作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F（見(jiàn)圖5）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵在△FED和△CDE中，

DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF

∴△FED≌△CDE（AAS）

∴EC=EF

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴EC=EB

∴EF=EB

∵∠B=∠AFE=90°，在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，EF=EB

∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）

∴∠FAE=∠BAE

∴AE是∠DAB的平分線

本題的圖形跟上題一樣，都是直角梯形模型，本題將上題中的已知條件AD=AB+CD變成了E是BC的中點(diǎn)，這樣線段之間的相等關(guān)系更容易找到，實(shí)際上降低了題目的難度，解決本題的關(guān)鍵也是構(gòu)造全等三角形。另外本題還可以改編成求證：AD=AB+CD，方法和思路同上。

題目二 （人教版9年級(jí)上冊(cè)102第11題）：如圖6，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的長(zhǎng)。

證明：連接OE，OF，OG（見(jiàn)圖6）

∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G

∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD

∵OE=OF，OE⊥AB，OF⊥BC

∴BO是∠ABC的平分線

∴∠OBE=∠OBF

同理可證∠OCG=∠OCF

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠OBF+∠OCF=90°

∴OB⊥OC

∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm

∴ cm

本題將直角梯形和圓結(jié)合在一起，圖形看上去相對(duì)復(fù)雜，但只是將上題中的直角條件以圓的切線的形式呈現(xiàn)，實(shí)質(zhì)上，解題思路跟上題類似，關(guān)鍵還是證明OB⊥OC。

三、研究課本習(xí)題對(duì)教學(xué)的啟示

第一，關(guān)注教材，充分發(fā)揮教材中題目的示范作用。課本是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的直接載體，在教學(xué)實(shí)踐中，教師要?jiǎng)?chuàng)造性地運(yùn)用課本，重視課本中具有代表性的習(xí)題或例題——它們是中考命題的參考，既有知識(shí)的堅(jiān)守又有考點(diǎn)的創(chuàng)新，所提供的解題策略是求解同類問(wèn)題的重要模型。在教學(xué)中，教師應(yīng)深入研究課本，充分發(fā)揮教材中題目的示范作用。

第二，關(guān)注學(xué)生，注重培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。對(duì)課本中典型例題和習(xí)題的研究是中考復(fù)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生改變題目中的條件、結(jié)論、圖形等進(jìn)行變式教學(xué)，讓學(xué)生的思維活躍起來(lái)，不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行多角度、多層次的思考，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。與此同時(shí)，教師也要不斷地學(xué)習(xí)，提高自身的綜合業(yè)務(wù)能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)保駕護(hù)航。

第三，關(guān)注方法，培養(yǎng)學(xué)生一題多解和多題歸一的數(shù)學(xué)思維。一道好題的解題方法和出題方式往往千變?nèi)f化，但歸根結(jié)底是萬(wàn)變不離其宗。求“變”可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，追“宗”可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過(guò)對(duì)核心知識(shí)的歸納和整理，學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)與技能“由厚到薄”，使知識(shí)結(jié)構(gòu)更系統(tǒng)化。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷總結(jié)做題的方法和技巧，學(xué)生只有認(rèn)清題目本質(zhì)、理解題目?jī)?nèi)涵，才能真正地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]池旭.一題多解尋求多種解題方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（3）：70-72.

[2]張寧.一道課本習(xí)題在中考中的堅(jiān)守與創(chuàng)新[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2017（7）：15-18.