數學畫圖“畫”在何處？

陳嬌嬌

摘 要：隨著《義務教育數學課程標準（2011版）》的出臺，一線教師越來越重視數學思想與方法的培養。在數學教學中能讓學生自主地應用畫圖策略解題，把問題呈現的信息“畫”出來，但對于“畫”在什么地方才合適呢？卻思考不多。本文將從畫在“思維困難”處—理清關系、畫在“思維困惑”處—拓寬思路、畫在“思維發散”處—發展能力三大方面進行論述。

關鍵詞：畫圖策略;數學思維;作用

數學期末測試結束了，筆者拿到測試卷，仔細翻閱學生的卷子，試卷有這樣一道題：林芳買了一張1平方米的大正方形紙，她折一只紙鶴需要用邊長2分米的正方形紙，這張大正方形紙最多可以折多少只紙鶴？對于這道充滿實踐性和探索性的題目，學生做題情況會是如何呢？筆者發現大部分孩子能利用畫圖來解題，從圖中可以看出學生具有初步的“畫圖解題”技能，更可以看出學生解題思路很清晰。（如下圖）這樣的結果出乎筆者的意料，但又在情理之中。三年來，筆者在執教的班級一直嘗試著“畫數學”的教學，嘗試讓學生慢慢地將“畫”深刻在腦海中，難以理解時“畫”，產生困惑時“畫”，無從下手時更要“畫”。教師在教學中有必要滲透學生的“畫圖”意識，這樣能讓學生在解題時“山窮水盡”又“柳暗花明”。但在什么時候畫才能落到實處，避免流于形式呢？筆者結合自身教學的所思所想，談談自己的見解。

一、畫在“思維困難”處，理清關系

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學會了畫應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題。”換種說法，兒童天生就喜歡涂鴉，他們總喜歡用圖畫表達自己的想法。教師可巧借這天性來幫助他們學數學，有意識地引導學生在解題思路不清晰的情路況下嘗試畫圖，將抽象的數學信息轉化為有形的圖式，理順復雜問題中的數量關系。這樣，抽象的數學語言就變得簡單、明了，清晰易懂了[1]。例如：教學“葉老師、小玲家、學校在同一條路上。葉老師家離學校672米，小玲家離學校250米。葉老師家離小玲家有多遠？有幾種情況？”時，由于學生的年齡小，生活經驗有限，再加上空間想像能力不足，絕大多數的學生都被這一長串的“離”搞暈了，結果是他們難以用語言將解題思路說出，甚至有一小部分的學生不理解題目意思直接放空。該怎么辦呢？研究表明，每個學生都有分析問題、解決問題和創造的潛能。那么，如何抓住學生的“最近發展區”，引導他們主動探索呢？這時教師適時跳出來，鼓勵、引導學生：“能不能試著用一種比較簡單的方式，將葉老師、小玲家和學校在同一條路上的情況表示出來？”于是有一大半的學生都想到了“畫”。通過畫，理清了三者間的關系，把抽象的文字語言變成直觀的圖形，葉老師到小玲家的距離有2種情況：在學校的同一側，在學校的兩側。這樣學生通過“跳一跳”就能摘到“果子”，理清思路，難題也就迎刃而解了。（如下圖）通過畫圖的方法，使學生在思維困難處，能從抽象到直觀，讓形象思維與抽象思維和諧共舞。這樣的過程，學生學得輕松又快樂，化復雜為簡單，很快就找到解決問題的方法。這樣的過程，相信學生對知識的理解和掌握是更為深刻的。

二、畫在“思維轉折”處，拓寬思路

在數學王國里，最難的就是把文字信息準確轉化為數學語言。數學家華羅庚先生說“數無形時不直觀，形無數時難入微”，而波利亞也曾說過：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使他們看得見、摸得著。”而“畫圖”就是一個很好的載體。教師可巧借這載體，引導學生在思維轉折處畫，幫助他們拓寬思路較好地解決問題。[2]例如：教學“有兩杯飲料，姐姐喝了其中一杯的，弟弟喝了另外的，結果發現兩人喝的飲料一樣多，誰喝的那杯飲料多？”時，理解“喝的飲料”和“剩下的飲料”這兩部分之間的關系是這道題的關鍵，但對剛接觸分數的他們來說卻是一大難點，是他們思維容易產生困惑的地方，有一部分學生直接利用分數的大小來進行比較，“因為>，所以弟弟剩下的多。”可在課堂上筆者也發現有相當一部分學生因為>，結果卻是姐姐的飲料多。從實例中可以看出，學生的困惑出就在于和的一份，如果能把抽象的文字轉化成生動的圖畫，看著圖進行思考，難度就大大降低了。筆者順勢一帶：“要是能把這和畫出來，那……”在教師的啟發下，學生對畫圖有了強烈的認知需求，紛紛動筆畫、想，最后在“看圖”思考中有了重大的發現“這一份必須相等。”學生在交流中解決了自己的困惑，在觀察、比較中得出正確答案，即知其然，又知其所以然。（如圖1）又例如：教學“兩個一樣大小的長方形，長都是10厘米，寬都是5厘米，拼成一個正方形或者長方形，周長和面積各是多少？”時，由于三年段的學生空間想像能力較差，如果讓他們直接在頭腦中建構圖形然后直接計算，有些困難。針對這一問題，筆者采取分步教學，先讓學生利用學具擺2個長方形，直觀感受拼擺后的新圖形。在學生有了實際操作的經驗基礎上，筆者話鋒一轉，引導學生思考“那如果沒有實物或平面圖形讓你拼擺，該怎么辦呢？”稍加沉默后，學生紛紛想到了“不能擺，那就畫出來”。在“畫”中學生頓悟到大長方形的長、寬和原來的小長方形的長、寬之間的關系，這樣的深刻頓悟是在“畫”的基礎上產生的，沒有“畫”，理解是淺顯的，沒有“畫”，語言是蒼白的。（如圖2）只有“畫”在學生的思維困惑處，通過用圖想事，借圖促思，據圖說理，才能把抽象的數學語言化成形象的圖形、語言，從而幫助學生思考、探索，突破學習瓶頸，提升解決問題的能力。

三、畫在“思維發散”處，發展能力

數學家羅素說：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”《義務教育數學課程標準（2011版）》把發展學生的符號意識作為重要的學習內容，強調建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。因此，學生的符號意識的建立能發散學生的邏輯思維。[3]例如：在教學《有余數除法的解決問題》中，筆者是這樣處理的。出示主題圖，讓生從圖中找到信息和問題后：有22人去劃船，每條船最多坐4人，至少需要幾條船？筆者試著讓學生大膽討論可以用什么方法來試著解決“他們至少要租多少條船？”這個問題。學生各抒己見：擺一擺、畫一畫、算一算……在學生都有了想法的基礎上，筆者大膽放手讓學生自己動手解決“他們至少要租多少條船”這個問題。學生有的用學具擺一擺，有的畫一畫，還有些則是動筆算一算，都用了自己所喜歡的方式來解決這道題。匯報時，筆者有意識地將收集到的作品分層次呈現，再引導學生對比，在對比中優化畫圖策略，解決問題。（如下圖）在孩子稚嫩的“畫”中，我們可以看到畫圖的不同形式，有“О”、“〡”、還有可愛的簡筆畫小船，學生的思維象插上想像的翅膀，不斷發散自己的思維，他們在“畫圖”、“看圖”、“想圖”的過程中融入自己的靈感、頓悟：“剩下的2人，該怎么辦呢？”他們積極思考主動尋找解決問題的策略，在與同學的交流中，思維得到擴展，活力得到釋放。這時，筆者再結合學生的感悟講解“進一法”就水到渠成，體驗解決問題策略的多樣性的教育也就“潤物細無聲”了。通過這道題不難看出，讓學生畫圖，其實是在有意識地挖掘并喚醒學生的符號意識，架起文字、符號與圖形語言之間的橋梁，通過思維的碰撞，讓那些顯得刻板的文字或符號變成鮮活的圖形，讓學生在交流中理解，在應用中辨析，在反思中提升，從而有利于釋放學生思維的活力，培養學生的創造能力。

總之，“畫數學”能畫出師生的“新”世界，已經成為教與學的一種方法，成為解決數學問題的一種思想方法。在數學教學中，教師要啟發學生在畫中思考，看圖中探究，在想圖中釋疑，才能使教師教得簡單，學生學得輕松。才能使學生在知識與思維的軌道上更好的交匯融合，達到事半功倍的效果。

參考文獻

[1]曹培英.小學數學問題解決的教學研究（四）.小學數學教育，2013，10

[2]《義務教育教科書（教師教學用書）》北京：人民教育出版社，2013：137～141

[3]楊豫暉.義務教育課程標準（2011版）案例式解讀（小學數學）.北京：教育科學出版社，2012：42～43

[4]葉建云等.可以這樣教數學.上海：華東師范大學出版社，2012：98～111