淺談數形結合思想在高中數學教學中的滲透

占方印

摘 要：數學基礎知識與數學思想方法貫穿于數學教學之中，是長期的數學發展所積累下的精髓。基于此，本文結合高中數學教學特征，對如何挖掘和滲透數形結合思想方法，以及指導學生理解和運用做簡要分析。

關鍵詞：高中數學;數形結合;數學思想方法;滲透

數形結合思想是高中階段數學知識中最基本的思想方法之一，教師應根據學生的實際認知水平和特點，來選擇恰當且有效的方法完成數學思想的滲透，長此以往，促進學生內在掌握知識與方法的遷移，使數學素養在潛移默化中得以提高。

一、數形結合思想的應用原則

1、等價性

等價性指的是“數”本身的代數性質與“形”的幾何直觀之間在進行轉化時，必須是等價的。換言之，問題的數與形所反映的數量關系必須具有一致性，構圖粗糙或者不準確都有可能對問題的解決造成影響，從而導致結果出錯。例如，方程1/3x=2sinx有（）個實根，分別有3、5、7、9四個選項，如果作y=x1/3和y=2sinx的見圖，由于兩個函數均為奇函數，所以只需要作x≥0的部分即可。即∵當x>8時，x1/3>2≥2sinx∴只需要取[0，3π]上這一段即可。根據圖像還可以發現，除了原點之外有3個交點，再根據奇偶性還可以得知其余的7個交點，所以答案為7。從解題過程中可以發現，在解題時沒有遵循等價性的數轉形原則而導致了錯誤，其實當x=1/8時，（1/8）=1/3>1/2×1/8>2sin1/8，因此，在[0，3π]內還有一個交點，所以正確答案是9。

2、雙向性

雙向性原則指的是將幾何圖形的直觀性與代數的抽象性進行聯系，從而利用代數表達運算比幾何圖形和結構所具有的優越性，來加以彌補，二者相互融合，體現出數與形的和諧統一。例如，設變量x，y滿足x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0這三個約束條件，那么目標函數z=2x+3y+1的最大值是多少？四個選項分別為11、10、9、8.5。接著道題，首先要明確不等式組所表示的可行域，然后將z=2x+3y+1簡化為y=-2/3x+z/3-1/3，再聯系圖像可以知道z=2x+3y+1在點A處可以取得最大值，進而由x+2y-5=0和x-y-2=0得出x=3，y=1，所以z=2×3+3×1+1=10。故答案為10。

3、簡單性

所謂簡單性，指的是數與形在轉換過程中要盡可能確保幾何圖形的清楚和美觀，代數計算過程的簡潔和明白。例如，如果函數f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，那么實數a的取值范圍是多少？首先，令g（x）=ax（a>0且a≠1），h（x）=x+a，就需要討論01這兩種情況，接著只需要在同一坐標系中分別畫兩個函數的圖像，如果函數f（x）=ax-x-a有兩個不同的零點，那么就說明函數g（x）和h（x）有兩個不同的交點。同樣，經過觀察圖像也能夠看出來，只有在a>1時，才能夠實現題中的要求，所以實數a的取值范圍就是a>1。這道題的自變量x在指數位置，如果直接用代數方法，很難著手，而采用畫圖的方式來將代數式圖形化，既體現了簡單性原則，也使結果自動浮出水面。

二、數形結合思想的滲透途徑

1、學習新知，初探數形結合

數學知識分為表層知識與深層知識兩種。表層知識指的主要是概念類的基礎性知識，而深層知識則主要指的是思想方法等一些內隱性知識，兩種知識之間的關系是相依相隨的。其實，在概念的形成、公式的推導以及問題的發現等過程中，到處都蘊含著數學思想方法以及向學生滲透數學思想方法的機會。這需要教師在新知的教學過程中遵循學生的參與原則，長此以往使學生自主養成思考的習慣，從而在探索與發現中感受數學思想方法的存在。

2、解決問題，鞏固數形結合

解決問題的過程是滲透數學思想方法一個不可錯失的重要環節。在高中階段的數學教學中，數與形是最常見的探究對象，許多問題的求解都離不開數形結合思想的運用。但教師需要明確的是，數形結合思想作為一種解決問題的指導思想，它只能存在與人的思維當中，因此只能讓學生在親自參與到探索問題的求解方法這一過程中，才能夠加深對數學思想方法的理解。例如，在求解不等式丨x-2丨+丨x+3丨≥7中，一般地，教師給出問題后，先讓學生自己做，當然，教師需要對絕大多數選擇的方法做到心中有數，在學生求解過程結束后，教師再從絕對值的幾何意義入手，引導學生發現能夠借助數軸來求解不等式，這樣不僅保證每個學生都參與到了探索解題方法的過程中，也使其對數形結合思想有了更進一步的了解。

3、知識歸納，概括數形結合

數學思想方法的存在形式是以數學知識為載體，滲透并依附于其中。考慮到數學教材的安排是遵循知識發展規律進行的系統化編排，呈螺旋上升式結構，因而其中所涉及到的數學思想方法都是不具有連續性的。這就需要教師在固定時間范圍內衣專題復習的形式來及時引導學生進行歸納總結，從而將其真正融入到學生的知識系統當中，發揮其價值和作用。

綜上所述，數形結合思想可以實現抽象代數問題與直觀幾何問題之間的相互轉化，使復雜的問題變得直觀且簡單易解，作為組織教學和引導學生的教師，應選擇多種方式滲透數學思想方法，通過其獨特的魅力來吸引學生，從而認識到數學思想方法的重要性，在解決問題的過程中加以靈活運用。

參考文獻：

[1]馬正勛.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[J/OL].學周刊，2019（31）：87[2019-10-17].

[2]楊克利.探析高中數學解題中數形結合思想的應用[J].中國校外教育，2019（27）：118.