高中三角教學中有效滲透數學思想方法的案例分析

樂小良

【摘要】在高中三角內容的教學中，從內容上看紛繁復雜和靈活多變，但進行教材分析之后我們發現較多有章可循的地方，不是零散而無序的，而是完整的知識體系。還有貫穿整個體系的脈絡，也是體系的精髓——數學思想方法。數學思想方法不是以具體的教材內容出現，卻是統領學生學習三角知識的指揮棒，也是衡量學生數學學習能力的重要標志。筆者在現有的教學經驗基礎上依托中學數學教育教學規律，探討教師在三角內容的教學實踐中怎樣實現全面有效滲透數學思想方法。結合教學實例分析各種數學思想方法在三角內容中的應用，證實三角教學中滲透數學思想方法的研究價值。

【關鍵詞】高中數學；三角教學；數學思想；有效滲透

一、研究的背景

高中教材中的三角部分系統性強，有相對完整的知識體系，可以根據學生的特點在三角學習的過程中加強思想方法的訓練。眾所周知，思想引領著知識，學生在學習知識的時候，如果不始終貫穿思想，學生學習的知識是零散無效的，學生的思維能力也得不到發展。因此在研究高中三角內容的教學時，應從教學中如何滲透數學思想方法著手。在三角教學中較好滲透數學思想方法不僅解決學生學習三角困難而且可以發展學生的數學思維能力，為學習其他數學知識打下堅實的基礎，建立學生學好數學的自信心。同時也是發展教師專業能力的良好途徑。另外對三角內容的考查一直是高考的關注點，研究近幾年高考試題我們可以發現，考查內容主要是運用三角函數的函數內含解決數學問題和運用解三角形知識進行三角形邊角關系的推算。弱化了繁難巧的三角變換考查，符合《新課程標準》提出重視對基本概念的教學，以及培養學生數學思想和數學核心素養的要求。

數學思想是數學本質的思維形式，它是在提高學生數學思維能力中獲得的。數學思想不僅引領知識，也啟發思維。隨學生思維的成熟和知識的積累，學生逐漸掌握數學思想方法并將其轉變為知識的遷移能力，學生具備了知識的遷移能力才可能應對靈活多變的問題。所以在教學實踐中，教師應逐步滲透數學思想方法，并在教學活動中幫助學生建立數學思想方法引領數學思維的學習模式。

二、數學思想方法在三角教學中的應用案例分析

三角函數是體現數學思想的經典案例，在解不等式，比較大小，最優化的問題時常常將三角函數作為媒介達到解決問題的目的。在三角教學中滲透函數思想主要體現在以下兩方面：其一，運用三角函數特殊性質解決求值、證明、不等式、方程等問題；其二，用三角代換將其他問題通過轉移到三角問題上來，利用三角知識靈活性和多變性解決原有問題。

高中常見的數學思想有：數形結合思想，分類討論思想，函數與方程思想和化歸轉化思想。下面結合三角教學案例來分析如何有效滲透各種數學思想方法。

1.數形結合思想

恩格斯說過：“研究客觀世界里物質之間量的關系和空間關系的科學是數學。”數形結合有兩個方面。一方面，“以形助數”是以圖的直觀性指導思維方向，得到解決問題的思路。另一方面，“以數解形”是在解決問題時通過計算的數量來解決具體幾何問題，這表明了“數和形”巧妙結合。實現數與形之間來去自如的轉變，需要理解數所含的形，形所需的數。

代數的可運算和幾何的可操作都集中在數形結合思想之中。在高中數學教學中運用廣泛，以下進行舉例說明。

在三角教學中滲透數形結合思想解決問題類型如下：

1.求值域（取值范圍）中的數形結合思想

例1 求函數 的值域。

圖4

分析：原函數可以改寫成，我們可以把該式視作定點A（3，-2），和動點連接的斜率，設，則由： ，x2+y2=1知，動點B表示的是單位圓。則y表示連接定點A與單位圓上任意一點B的直線的斜率，如圖4所示，設直線1的方程為y+2=k（x-3）即kx-y-3k-2=0圓心到直線l的距離不大于半徑得 ，解出k的值即為函數的值域。

解：由知，y表示定點A（3，-2）和動點連線的斜率，設，則由：，s2+y2=1知，動點B為單位圓。則y表示連接定點A與單位圓上的任意一點B的直線l的斜率，如圖1所示設直線l的方程為y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0。圓心到直線l的距離不大于半徑得，解之得，所以函數的值域為

注意在運用數形結合求解三角函數的問題時，應時刻牢記動點（acosd，asind）表示圓，遇到分式想斜率，遇到平方和想距離。

2.證明或求值中的數形結合思想

求證：

分析：，直線l：ax+by=1，則點A與點B均在直線上也均在單位圓上，即它們是直線與單位圓的交點，如圖5所示設圓心o到直線l的距離為d，由平面幾何知識知，代入數據化簡即可得到要證明的結論。證明設，直線l：ax+by=1，則點A與點B是直線與單位圓的交點，如圖2所示圓心到直線的距離為d，由平面幾何有

2.分類討論思想

將復雜多變的問題按一定可行的標準對關鍵要素進行分類，分類要注意做到不重不漏，在每類情況中這個要素是確定的，所以每類的問題變得簡潔可行，達到解決原有問題的目的。三角函數知識中蘊含了豐富的分類討論的思想。三角函數的周期性、正弦余弦平方關系中符號的確定、三角變換中的誘導公式都是常見的討論點。在解決該類型的題目時，要時刻記住注意對相關角及參數進行分門別類的討論。

例3 化簡：

解析：原式=

（1）當n為偶數，即時

原式

（2）當n為奇數，即時

原式

所以。

分類討論思想往往不是單獨使用，和其他數學思想方法一起被綜合運用，例如在復合函數的單調性和最值問題中，應結合整體思想進行分類討論。

例 4 求函數的最小值.

分析：本例考查了學生的整體代換、分類討論的數學思想，以及函數圖像如對勾的函數的單調性 。其中k 是個待定常數，“對鉤”函數的最值與常數k 的取值有關， k的取值范圍確定了“對鉤”函數的單調區間，求最值點需要依據單調區間的確定，為了解題的方便一般用整體代換法，因為整體代換是通向數學本質的一座橋梁，它能夠將復雜問題簡單化。

3.函數與方程思想

函數思想是將遇到的問題通過觀察、聯想構造成已經掌握的函數模型上來，再研究這個函數的性質達到解決原有問題目的。方程思想是將數學問題中的數學關系用含未知數的等式表達出，達到解決問題的目的。三角的學習過程中函數思想和方程思想非常常見，例如初中學習的二次函數和一元二次方程經常是被用來研究含三角函數的復合函數問題的突破口。將剛學習的三角問題用熟練的函數性質來解決，方程方法也是解決三角問題的較好途徑之一。

例5 函數的最大值

分析： 為求函數的最大值，需轉化為某一個角的同一種三角函數，從而需建立 與之間的關系，為此，自然想到，引入輔助函數，設，則

所以

利用二次函數的性質可求最大值為。

例6 設為銳角，且

求證：

證明：將已知的等式整理成以為變量的一元二次方程：

其判別式

所以

又為銳角，，于是有

又因為

所以，即

4.化歸轉化思想

化歸轉化思想將遇到的問題通過邏輯推理轉化到已掌握的知識和能力上來。在學習新知的過程中經常是題目的已知條件和題目的問題存在較大距離，只能借助已有的知識或解決模式來分析面對的新問題，將面臨的問題轉移到已掌握的方法上來。從而順利解決棘手的問題。三角函數中常見的轉化問題有“切化弦”“統一名稱”“統一大小”“整體代換”等。化歸轉化思想的關鍵是要從表象看本質，通過適當的轉化來解決問題。在三角教學中我們可以經常看到化歸轉化思想的運用，例如體現在兩角和差公式推導出倍角公式中，研究一般三角函數性質和與其他函數性質的關聯中。

例7 已知，求 的取值范圍。

分析：由可得

因為，所以

解得或

故

令，則，（轉化為二次函數）

因為的對稱軸為，所以

即的取值范圍是

點評：本題的解法體現了化歸轉化的數學思想方法，把困難的函數問題轉化為簡單的二次函數的定義域，值域問題。但在轉化過程中要注意三角函數的范圍問題，此題中的最小值不是-1。

再如比較常見是將三角函數依題意代入已知條件中，利用三函數值的封閉性確定其他參數的范圍，也可將參數視為含三角函數的復合函數并以此來求值域，從而確定參數的范圍，順利完成化歸轉化。

例8.關于x的方程有實數解，求實數m的取值范圍。

解：原方程可化為

所以

故所求范圍是

點撥：例題利用三角代換，轉換參數x成，快速解m，跨度較大，但巧妙靈活。

解決三角問題的過程是在三角函數定義、圖像及性質理解基礎上對角的值、函數名稱和代數結構進行變換的過程。題型有化簡、求值及證明等不同的形式，但其中包含的數學思想方法還是有章可循的，運用以上轉化、化歸思想，可以幫助學生將面臨的問題進行轉化到自己的能力范圍內，從而提高學生學習的自信心和內驅力，引導學生走進創新思維的殿堂中。

作為數學教育的核心內容——數學思想的培養是一個廣泛而深刻的課題，本文只是對三角內容隱含的數學思想方法進行了案例分析方面的研究，整個高中數學應如何滲透數學思想方法的教學研究需要廣大數學教育工作者們更深入地探討，為突破高中數學教學中的重難點問題提供更多更好的方法。

參考文獻：

[1]吳開年.三角函數中的數學思想方法[J].數理化學習（高中版），2006（10）：32-33.

[2]曹一鳴，張生春.數學教學論[M].北京：北京師范大學出版社，2010：167-168.

[3]劉路海.三角函數問題中的數學思想[J].考試周刊，2011，06（4）：41-42.

[4]顧沛.數學基礎教育中的“雙基”如何發展為“四基”[J].數學教育學報，2012，21（1）：12-13.

[5]孔令偉.數學教學中如何滲透新課標理念[J].教育教學論壇，2011，11（1）：21-22.