淺談初中數學教學中的反證法

王偉

摘 要：在初中數學教學活動中，反證法是常用的間接證明方法之一。本文重點闡明反證法的概念、反證法的一般步驟、運用反證法應該注意的問題和反證法的適用范圍。

關鍵詞：初中數學教學 證明 反證法

一 引言

數學命題的證明分為直接證明和間接證明，反證法屬于間接證明的范疇。它是數學學習中的一種極為重要的方法，特別是對于一些直接證明難于入手的問題，用反證法能起到事半功倍的效果。

二 反證法的概念、一般步驟和相關實例

（一）反證法的概念

反證法是從反面的角度來思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類。即先肯定題設而否定結論，從而推導出與公理、定理、題設、臨時假定相矛盾或者自相矛盾，從而斷定命題判斷的反面不成立，即證明了命題的結論一定是正確的。當不易直接證明時，改證它的逆命題的這種方法就叫做反證法。

（二）反證法的一般步驟

1、反設：假設所要證明的結論不成立，而題設的反面成立；

2、歸謬：由“反設”出發，以通過正確的推理，導出矛盾—與已知條件、已知的公理、定理、定義、及明顯的事實相互矛盾或自相矛盾；

3、結論：因為推論正確，產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論的成立。

（三） 相關實例

例1. 已知：一個整數的平方能被2整除，

求證：這個數是偶數。

證明：設整數a的平方能被2整除.

假設a不是偶數，

則a是奇數，不妨設a=2m+1（m是整數）

∴a2=（2m+1）2=4m2+4m+1=4m（m+1）+1

∴a2是奇數，與已知矛盾。

∴假設不成立，所以a是偶數。

例2.求證：等腰三角形的底角必為銳角。

已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B、∠C必為銳角。

證明：假設∠B、∠C不是銳角，則可能有兩種情況：

（1）∠B=∠C=90°（2）∠B=∠C>90°

若∠B=∠C=90°，則∠A+∠B+∠C>180°，

這與三角形內角和定理矛盾。若∠B=∠C>90°，則 ∠A+∠B+∠C>180°， 這與三角形內角和定理矛盾。

所以假設不能成立。

故∠B、∠C必為銳角。

三、中學數學中宜用反證法的適用范圍

反證法雖然是在平面幾何教材中出現的，但對數學的其它各部分內容，如代數、三角、立體幾何、解析幾何中都可應用. 那么，究竟什么樣的命題可以用反證法來證呢？當然沒有絕對的標準，但證明命題的實踐告訴我們：下面幾種命題一般用反證法來證比較方便。

（一）否定性命題

即結論以“沒有、、、、”“不是、、、、”“不能、、、、”等形式出現的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。

（二）限定式命題

即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。

（三）無窮性命題

即涉及各種“無限”結論的命題。

（四）逆命題

某些命題的逆命題，用反證法證明時可利用原命題的結論，從而帶來方便。

（五）基本命題

除了以上幾種常見題型宜用反證法，還有以下幾種情形的命題可用反證法：

1、基本定理、公理以及一些定理的逆定理；

2、條件較少，且又無公理、定理可用；

3、直接證法較難，命題結論的反面更易于反駁。

四 運用反證法應該注意的問題

（一）必須正確否定結論；

（二）必須明白推理特點；

（三）了解矛盾的種類。

五 結論

大家都知道反證法是數學中的一種重要的證明方法，在許多方面都有不可替代的作用。它以其獨特的思維方式對培養學生的邏輯思維能力和創造力有著重大的意義。在以后的日常教學活動中，我將繼續深挖其精髓，帶領學生研究其奧秘。

參考文獻

[1]周春荔編著.數學觀與方法論[M].首都師范大學出版社；

[2]胡適耕編著.大學數學解題藝術[M].湖南大學出版社。