立足核心素養，探究項目化教學模式

王有茂

本文系江蘇省宿遷市中小學教學研究重點課題“基于核心素養達成的高中數學項目化課堂教學模式研究”的階段性成果，立項編號為SQ2017JK01-Z01。

摘要：隨著新課標的逐步實施，核心素養的理念已深入人心，對于如何改革課堂教學模式以適應新時期的要求，本人借助課題研究做了一些探索。本文以一道高考題的講評為例，詮釋項目化教學模式中的講評課教學模式。

關鍵詞：高中數學 核心素養 項目化 教學模式

核心素養作為育人的中觀目標，必然依靠微觀目標在教學中的逐步達成。因此，課堂教學就必須要以問題解決的過程為基礎，發展“四基”“四能”為要務，長時期、連續性地培養學生，才能形成核心素養。以往“就課論課”的教學設計已不能滿足新課標理念的要求，從“課節”教學到“主題”教學勢在必行。對新形勢下課堂教學模式的探索，迫在眉睫，這既是一線教師的責任，也是一線教師的義務。

項目化課堂教學模式就是教師對照課程標準，研究教材設計思路及特色，考慮到現有的教學資源及可用的教學方式方法，將核心素養理念與教學行為相結合，把學習內容設計為一個項目任務。學生在已有的認知基礎上，獨立或組成小組，從任務入手，借助軟件、網絡，利用課程資源，通過實驗觀察、抽象概括、推理探究等形式進行主題化學習，從而獲得知識、技能和思想方法的教學模式。教師自始至終是組織者、參與者、交流者、輔導者、評價評估者。項目化教學更有利于整體把握教學內容，揭示教學內容的本質、蘊含的思想，關注學生素養的培養，此時的“課節”教學只是項目化教學的一個環節。

項目化教學操作流程：

[XC2019-10-29.EPS，JZ;P]圖1

子項目教學環節：

項目化課堂教學模式，針對各種課型探究了各自的操作模式，分為概念課、復習課、講評課、探究課四種教學模式。本文就以一道高考題的講評為例，介紹一下講評課教學模式。

一、課前

（一）項目化設計

教師要準確地將教學內容項目化，包括教學內容分析、重難點分析、學情分析與教學方式分析。我校為四星級高中，學生基礎較好，具有一定的探究能力，所以選擇的是2017年高考全國新課標Ⅰ卷理數第20題。本題有兩個功能：一是方法研究，二是拓展研究。本節課的主要任務是探索解決該類問題的一般方法，及方法優選。

例題：已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1）、P2（0，1）、P3-1，32、P41，32中恰有三點在橢圓C上。

（1）求C的方程;

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A、B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

設計意圖：第（1）問，C的方程為x24+y2=1，基本沒有錯誤，雖然簡單，但考查了橢圓的重要性質——對稱性，還訓練了學生選擇與批判思維;第（2）問，難度適中，解法典型多樣，選擇不同解法差異較大，有利于培養學生的甄別能力，同時還包含著更一般的結論，便于探索和推廣，切合項目化課堂教學模式研究。針對第（2）問，評講之前設計解法研究任務：找出本班同學所有解法，分析各種解法的特點，比較其優勢和不足。

設計意圖：讓學生在搜集解法、比較解法的過程中相互交流，相互學習，并進行優選，從而獲得思想方法和活動經驗，同時培養概括能力，讓他們在講評課前就有所收獲。

二、項目化學習

學生在課前以個人或小組為單位，進行探究學習，將成果在課堂上進行匯報。

教師適當提供課程資源、研究的操作規范、思維方法和研究的邏輯性，但不能控制學生的思維，要大膽放手，真正相信學生。

二、課中

（一）課堂展示

小組爭相匯報研究成果，給出了以下三種解法，并小結了解法的特點、難點和易錯點：

解法一：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2（k1≠k2），則P2A的方程為y=k1x+1，

解方程組y=k1x+1，x24+y2=1，

得A-8k14k21+1，-4k21+14k21+1，同理B-8k24k22+1，-4k22+14k22+1。

當AB的斜率不存在時，xA=xB，易得k1=k2=-12（不合題意），

所以l的方程為y--4k21+14k21+1=14k1k2-1x--8k14k21+1。

將k2=-1-k1，代入并按k1降冪整理得

16k41（y+1）+16k31（y+1）+4k21（x+2y）+4k1（y+1）+x+y-1=0，

因為k1有無數多個值滿足該方程，所以y+1=x+2y=x+y-1=0，

解得x=2，y=-1，所以過定點（2，-1）。

小結：先設出P2A、P2B的方程，聯立求出A點的坐標，類比出B點的坐標，得到AB方程，找出定點。

[]

立足核心素養，探究項目化教學模式

[][XC課題成果.EPS，JZ;P]

[XC安徽教育科研G.TIF;%10.8%10.8;Z2mm，JZ]2019年12月下 第24期 （總第40期）

難點：得到AB方程后找定點的方法。

易錯點：計算太煩瑣，多數同學無法做到底。

1.討論與反思1

教師：該解法對計算能力要求較高，如何優化？

生1：先找后證，先找出AB的兩條特殊直線，求出其交點即為定點，然后代入驗證;

生2：極端化找定點，再驗證。由幾何學的“連續性原理”知，兩種極端情況必然滿足要求：①當A、B重合時，k1=k2=-12，直線AB方程為x=2;②當A與P2重合時，k1=0，k2=-1，直線AB方程為y=-x+1，由x=2與y=-x+1的交點（2，-1）即為定點。

解法二：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2。

若l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知|t|<2且t≠0，易得A、B的坐標分別為t，4-t22、t，-4-t22，由k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1，得t=2（不合題意），

從而可設l：y=kx+m（m≠1），代入x24+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，由題設知Δ=16（4k2-m2+1）>0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2，由k1+k2=-1，得（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，

即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0，解得k=-m+12，

代入Δ=16（4k2-m2+1）>0得m>-1，

所以，當且僅當m>-1時，Δ>0，于是l：y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2），

所以l過定點（2，-1）。

小結：該解法是設出AB方程，代入橢圓方程，利用韋達定理進行化簡，求出k、m的關系，從而找出定點。

難點：方向要明確，要轉化成關于橫坐標或縱坐標的和與積的形式。

易錯點：容易漏掉討論斜率不存在的情況和使用韋達定理時判別式大于零的驗證，計算較煩瑣。

解法三：由于直線l不經過P2點，所以l可設為mx+n（y-1）=1（m、n不全為0），

設點A（x1，y1）、B（x2，y2），直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1、k2，

則k1=y1-1x1，k2=y2-1x2，且（x1，y1），（x2，y2）是方程組mx+n（y-1）=1，（a）x24+y2=1，（b）的解，

將（b）式化為x24+（y-1）2+2（y-1）=0，將（a）式代入得

x24+（y-1）2+2（y-1）[mx+n（y-1）]=0，

整理得x24+2mx（y-1）+（1+2n）（y-1）2=0，因為x≠0，上式兩邊同除以x2得（1+2n）y-1x2+2my-1x+14=0，

設k=y-1x，則當判別式Δ=（2m）2-（1+2n）>0時，k1、k2為方程（1+2n）k2+2mk+14=0（*）的兩個根，

又因為k1+k2=-1，由韋達定理得-2m1+2n=-1，即m=n+12，

代入（a）式整理得n（x+y-1）+12x-1=0，令x+y-1=0，12x-1=0得x=2y=-1，

又當m=n+12時，由方程（*）的判別式Δ=（2m）2-（1+2n）=2n（2n+1）>0得n<-12或n>0，

即當n<-12或n>0時，直線AB表示與橢圓相交且不經過點P2、滿足k1+k2=-1的所有直線，所以定點為（2，-1）.

小結：該解法巧妙，計算簡單，設出不過定點的直線系方程，代入橢圓方程，轉化為關于斜率的一元二次方程，利用韋達定理，求出參數間關系，代入直線方程得出定點坐標;

難點：不經過一點的直線方程的設法，對思維層次要求較高.

易錯點：容易忽略韋達定理使用的條件.

2.討論與反思2

生3：方程mx+n（y-1）=1（m，n不全為0）能表示不經過（0，1）點的任意一條直線嗎？

生4：能！m（x-x0）+n（y-y0）=1可以看成是截距式xa+yb=1（a、b∈R且ab≠0）的一個推廣，截距式可表示不與坐標軸垂直和不經過原點的所有直線，若推廣為mx+ny=1（m、n∈R且m、n不全為0），則可表示不經過原點的所有直線，若進一步的推廣為m（x-x0）+n（y-y0）=1（m、n∈R且m、n不全為0），則可表示不經過點（x0，y0）的所有直線了（也可以嚴格證明，證明略）。

3.評價與提煉

教師：比較以上三種解法的差異，它們可以解決哪一類問題？哪一種方法最優？

生5：三種方法都運用了數形結合和方程思想。不同之處是，解法一直接求出了交點坐標，而解法二、三都間接設出了直線AB的方程，運用了設而不求的思想，這三種解法對解決與一定點連線的斜率和為定值相關的問題都是有效的方法，其中解法三最優。

教師：你能整理一下方法三的解題步驟嗎？

生6：

S1：設出不經過定點（x0，y0）的直線方程：m（x-x0）+n（y-y0）=1（m、n不全為0）;

S2：將曲線化為關于（x-x0）和（y-y0）的二次齊次式;

S3：兩邊同除以（x-x0）2，轉化為關于斜率的一元二次方程;

S4：運用韋達定理解題。

（二）檢測提升

（1）變式練習：本題其他條件不變，將“和為-1”變為“積為-1”。

圖3

（2）已知曲線的方程為x2+y2m2=1（m>0，且m≠1）。過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值;若不存在，請說明理由（2012·湖北理21題改編）。

（3）設橢圓C：x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A、B兩點，點M的坐標為（2，0）。設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB（2018·全國新課標Ⅰ理19題改編）。

設計意圖：變式練習既是為了鞏固方法三，又是為拓展研究埋下伏筆;選擇兩道高考題，以上三種解法都可使用，（2）是直接用，（3）可轉化后再用，更好地鞏固提升。

三、課后

設置拓展探究任務：從變式練習思路出發，和學生一起探索拓展方向，布置課后探究任務，以便下一節課展示匯報。

方向一（變化數值）：由靜到動、由定到變：

（1）（0，1）→橢圓上的任意一點→平面上的任意一點;

（2）k1+k2=-1→k1+k2=λ（定值）;

（3）x24+y2=1→x2a2+y2b2=1（a>b>0）。

方向二（變化形式）：由和到積（差、商等），將方向一中的k1+k2=λ變為k1k2=μ（μ≠0）;

方向三（變化曲線）：方向一、二中的橢圓→雙曲線→拋物線。

最終得出圓錐曲線的統一的結論：

①若對于給定的圓錐曲線C上的一點，與C上的兩動點（不與定點重合）的連線的斜率和（積）為定值（存在且不為0），則兩動點的連線過定點，反之也成立。

②若對于給定的不在圓錐曲線上的點[不為原點且不在頂點（橢圓指長軸頂點）處的切線上]，與C上的兩動點的連線的斜率和（積）為特定的值，則兩動點的連線過定點（一個或兩個定點中的一個），反之也成立。

由此就將一道題變成了一類題，收到了融會貫通、觸類旁通的效果，避免評講課對答案的現象，真正達到評講課培養學生“四基”“四能”的目的。

項目化教學便于突出主題，有利于學生開展深度學習，不僅僅教給學生知識和方法，而且還能給學生以更多數學思想、精神的浸潤，讓學生在嘗試活動中獲得知識和技能，發現和提出問題，在協作探究中獲得思想和方法，學會分析和解決問題，在分享成果、完成任務中，獲得活動經驗。不管將來他們從事什么工作，數學的精神、思維方法、推理方法和著眼點，都在隨時隨地發生作用，使他們受益終身，這就是數學素養。

責任編輯：黃大燦