淺議初中數學實際問題中的最佳方案選擇問題

羅明建

摘 ?要：題型特點方案設計型問題，是指根據問題所提供的信息，運用學過的知識和方法，進行設計和操作，然后通過分析、計算、證明等，確定出最佳方案的一類數學問題。

關鍵詞：初中數學;方程;不等式

解題思路解題時可以根據題中蘊含的等量或不等關系，列出方程（組）或不等式（組），通過解方程（組）或不等式（組），并結合題意確定方案，通過計算不同的方案的盈利情況，確定最優的方案。

例1 某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知該廠家生產三種不同型號的電視機，出廠價分別是：甲種電視機每臺1500元，乙種電視機每臺2100元，丙種電視機每臺2500元，若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機共50臺，恰好用去9萬元

（1）請你設計進貨方案;

（2）若商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機的方案中，為使銷售獲利最多，則該選擇哪種進貨方案

【分析】：抓住題中的數量關系：①兩種不同型號的電視機的臺數和=50;②買兩種不同型號的電視機花去的費用=9萬元，按購進的兩種電視機的型號分別是甲、乙;乙、丙;甲、兩三種情況進行討論，設計出合理的方案后，分別計算出各方案的利潤，然后判斷出獲利最多的方案.

解析 （1）分三種情況討論：① 當購進甲、乙兩種型號的電視機時，設購進甲種電視機x臺，則購進乙種電視機（50-x）臺，根據題意列方程，得1500+21000（50-x）=90000，解得 x=25 ∴ 50-x=25

②當購進乙、丙兩種型號的電視機時，設購進乙種電視機y臺，則購進丙種電視機（50-y）臺，根題意列方程，得2100y+2500（50-y）=90000解得=87.5（不合題意，含去）③ 當購進甲、丙兩種型號的電視機時，設購進甲種電視機z臺，則購進丙種電視機（50-z）臺，據題意列方程，得1500z+2500（50-z）=9000解得：=35∴50-z=15 所以有以下兩種方案：

方案一：購進甲、乙兩種型號的電視機各25臺。

方案二：購進甲種電視機35臺，丙種電視機15臺。

（2）因為商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售一臺乙種電視機可獲利200元，銷售一臺丙種電視機可獲利250元。方案一的利潤為150x25+200x25=8750（元）。方案二的利潤為150×35+250×15=9000（元）因為8750<9000，所以選擇方案二獲利最多。答：為使銷售獲利最多，應該選擇購進甲種電視機35臺，丙種電視機15臺的進貨方案。

例2、某中學計劃從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板，經治談，購買一塊A型小黑板比購買一塊B型小黑板多用20元，且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元，求（1）購買一塊A型小黑板，一塊B型小黑板各需多少元？（2）根據這所中學的實際情況，需從榮威公司購買A、B兩種小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費用不超過5240元，并且購買A型小黑板的數量應大于購買A、B兩種型號黑板總數量的三分之一，請你通過計算，求出該中學從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板有哪幾種方案？

解析，設購買一塊A型小黑板需x元，則購買一塊B型小黑板（x-20）元，根據題意，得：5x+4（x-20）=820解得：x=100∴ x-20=100-20=80

答：購買一塊A型小黑板需100元，一塊B型小黑板需80元。

（2）設購買A型小黑板m塊，則B型小黑板購買（60-m）塊，根據題意，得{100m+80（60-m）≤5240，m>2O解這個不等式組得：20<x≤22∴ x取正整數為21、22.所以有兩種方案：方案一：購買A型小黑板21塊，購買B型小黑板39塊;方案二：購買A型小黑板22塊，購買B型小黑板38塊。

【點評】本題是方程（組）和不等式的應用，認真審題，理清題目中的數量關系，結合實際問題來確定，一般通過函數的增減性或所有方案再做出決策.難度中等.

例3 ?為了抓住梵凈山文化藝術節的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術節紀念品.若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要950元;若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元.

（1）求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？（2）若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于7500元，但不超過7650元，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

【解析】（1）設該商店購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元，根據題意得方程組

{8a+3b=950，5a+6b=800解方程組得{a=100，b=50 ∴購進一件A種紀念品需要100元，購進一件B種紀念品需要50元.

（2）設該商店購進A種紀念品x個，則購進B種紀念品有（100—x）個，根據題意，得7500≤100x+50（100-x）≤7650解得50≤x≤53 ∵ x為正整數，

∴x的取值為50、51、52、53?！喙灿?種進貨方案。（3）因為B種紀念品利潤較高，故B種數量越多總利潤越高，因此選擇購A種紀念品50件，B種紀念品50件。總利潤=50×20+50×30=2500（元）

∴當購進A種紀念品50件，B種紀念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元.

【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用和二元一次方程組的應用，是一道綜合性試題，難度較大，此題找到相應的關系式是解決問題的關鍵，應注意第二問應求得整數解。列二元一次方程組解決實際問題的關鍵是能正確分析出題目中的等量關系，題目內容往往與生活實際相貼近，與社會關系的熱點問題相聯系。

參考文獻

[1] ?黃小霞.初中數學列方程或不等式解應用題教學難點突破策略[J].數學學習與研究，2016（12）：21.

[2] ?宋青. 初中方程內容的教材比較研究[D].南京師范大學，2015.