高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題思考與探究

趙淑賢

【摘要】在高中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容當(dāng)中，圓錐曲線屬于一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容，也是一項(xiàng)難點(diǎn)內(nèi)容.同時(shí)，圓錐曲線還是歷年高考一個(gè)必考內(nèi)容，通常以解答題這種形式出現(xiàn)，所占分值較大.因此，數(shù)學(xué)教師以及高中生都應(yīng)當(dāng)對(duì)圓錐曲線這一知識(shí)給予重視，對(duì)圓錐曲線相應(yīng)的解題方法與技巧加以掌握，這樣才能使得學(xué)生在高考當(dāng)中取得較好成績.本文在分析圓錐曲線命題特征的基礎(chǔ)上，對(duì)圓錐曲線的解題技巧加以探究，希望可以對(duì)實(shí)際教學(xué)有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;解題技巧

一、圓錐曲線命題特征分析

第一，縱觀近五年的高考數(shù)學(xué)試題，可以發(fā)現(xiàn)圓錐曲線方面問題設(shè)計(jì)多以下面三種形式出現(xiàn).首先，圓錐曲線性質(zhì)以及條件的簡單應(yīng)用.其次，考查直線和圓錐曲線間位置關(guān)系.最后，平面幾何與圓錐曲線間的關(guān)聯(lián)[1-2].

第二，思考問題的周密性.高中生在對(duì)圓錐曲線有關(guān)問題進(jìn)行思考期間，需要對(duì)下面三類問題加以關(guān)注.首先，過定點(diǎn)與x軸是否垂直或平行問題.其次，直線方程與曲線方程聯(lián)合以后需通過Δ來計(jì)算參數(shù)具體取值.最后，針對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.

二、圓錐曲線的解題思考

（一）范圍問題分析

求范圍這類問題是一類常見的圓錐曲線有關(guān)問題.例如，根據(jù)題干求離心率的具體范圍，或針對(duì)題干當(dāng)中某一參數(shù)范圍加以求解.對(duì)以上問題，高中生在解答期間存在不小難度，難以在題干當(dāng)中找到具體的突破點(diǎn)，進(jìn)而難以對(duì)問題進(jìn)行解答.此種情況之下，需要按照有關(guān)定理來對(duì)問題加以深入分析以及理解，進(jìn)而才能進(jìn)行有效解題.

例如，已知橢圓x22+y2=1上存在A和B兩點(diǎn)，其這兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+12對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m取值范圍.

分析 若想求出m具體范圍，需要得到m有關(guān)的不等式，這是解答范圍問題的基礎(chǔ)環(huán)節(jié).因此，解答此題主要是尋找一個(gè)滿足要求的帶有m的不等式.是橢圓和直線的相交問題，學(xué)生在解答之時(shí)需要設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，之后用點(diǎn)差法求出坐標(biāo)，進(jìn)而解相應(yīng)的不等式.

解 根據(jù)題意，假設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），那么AB所在的直線方程為yAB=-1mx+b（m≠0）.①

由已知橢圓方程是x22+y2=1.②

把①和②進(jìn)行聯(lián)立可得

12+1m2x2-2bmx+b2-1=0.

根據(jù)韋達(dá)定理能夠得出

x1+x22=2mbm2+2，y1+y22=m2bm2+2，

代入到y(tǒng)=mx+12中，得到b=-m2+22m2.③

由于直線yAB=-1mx+b（m≠0）和橢圓x22+y2=1存在兩個(gè)相異的交點(diǎn)，因此，有

Δ=2bm2-412+1m2（b2-1）=-2b2+2+4m2>0.④

將③和④聯(lián)立可得到m<-63或m>63.

（二）點(diǎn)坐標(biāo)的問題分析

在解答圓錐曲線有關(guān)問題之時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)屬于常見問題，在解答此類問題之時(shí)，需對(duì)點(diǎn)到直線距離加以設(shè)置，之后通過曲線定義加以求解，進(jìn)而得到點(diǎn)的具體坐標(biāo).

例如，如果橢圓x24+y23=1當(dāng)中存在一點(diǎn)P（1，-1），且右焦點(diǎn)是F，橢圓之上存在一點(diǎn)M，若使|MP|+2|MF|的值最小，求出滿足題意的點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo).

解 可先設(shè)M點(diǎn)到右準(zhǔn)線距離為|MN|，根據(jù)題意可知a=2，b=2，c=1，e=12，以橢圓第二定義為依據(jù)可知MFMN=e=12，所以|MP|+2|MF|，因此，|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|，之后過P點(diǎn)畫出右準(zhǔn)線的垂線與橢圓交點(diǎn)，即所求的M點(diǎn)，把y=1代入原橢圓方程x24+y23=1中，進(jìn)而得到x=263，y=-1，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為263，-1.解答此題之時(shí)，主要對(duì)定義知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用，把曲線變成直線進(jìn)行解答.

（三）方程問題分析

在圓錐曲線有關(guān)問題當(dāng)中，方程求解屬于一種常見題型，關(guān)于雙曲線、橢圓和拋物線等有關(guān)問題，如果使用相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程加以研究，會(huì)增加解題難度.所以，實(shí)際解題時(shí)，可通過參數(shù)方程進(jìn)行求解，這樣可以讓問題得以簡化.

三、結(jié) 論

綜上所述，圓錐曲線整體知識(shí)結(jié)構(gòu)當(dāng)中包含很多類型問題，與其他知識(shí)相比，圓錐曲線有關(guān)問題難度較大，對(duì)高中生數(shù)學(xué)能力以及綜合素養(yǎng)要求較高.所以，高中生除了要對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)加以掌握之外，同時(shí)還需對(duì)圓錐曲線具體命題特征加以了解，掌握?qǐng)A錐曲線有關(guān)問題相應(yīng)的解題技巧，這樣才能在高考當(dāng)中占據(jù)優(yōu)勢地位.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳淑賢.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（15）：137.

[2]唐雙榮.探討圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].高考，2018（17）：213.