幾何模型教學研究

張軍

[摘? ?要]在幾何教學中建立幾何模型，類比遷移知識，能培養學生在復雜的問題中提煉出幾何模型，解決問題的數學意識，能培養學生的數學核心素養.

[關鍵詞]幾何模型;核心素養; 圓;相似

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0011-02

新課程的改革和教育要求的改變，要求教師在教學時不僅要教授學生數學知識，還要注重學生數學核心素養的培養.在初中的幾何教學中，建立幾何模型，可以把復雜的幾何問題變得簡明、形象，有助于學生探索問題的思路，培養學生的推理能力.

在平時幾何教學中，我們要有意識地幫助學生歸納、總結出一些平面基本圖形，提高學生的幾何直觀能力.本文以我市一堂初三復習課《圓中的相似》教學為例，談談在幾何教學中對學生數學核心素養培養的幾點啟示.

一、探究模型，培養模型意識

根據學生思維的“最近發展區”原理構建基本圖形框架，從最簡單的問題入手，幫助學生掌握基本的結論和方法，構建幾何模型.探究的問題不是學生所學知識的簡單重復，而是將學生已有知識建立聯系，形成體系，讓學生看到基本圖像，想到基本結論.

建立模型：如圖1，在⊙O中，弦[AB]，[CD]相交于點[P]，連接AC，CB，BD，DA，圖中的相似三角形有哪些？

生1：[△APC∽△DPB]，[△ADP∽△CBP]（說理略）.

師：這里的圓形給我們提供了什么條件？

生2：根據“同圓中同一條弧所對的圓周角相等”提供了相等的角.

師：“[△APC∽△DPB]”是哪一種基本相似模型？寫出對應線段的比例式.

生3：是我們前面學過的相似里的“斜[Χ]”型，比例式為[APDP=PCPB=ACBD].

（教師表揚該生的讀圖能力，并且板書基本圖形1.）

師：若點[A]為弧[CD]的中點時，與[△ADP]相似的三角形除了[△CBP]外還有嗎？

生4：[△ADP∽△ABD]（說理略）.

師：這里圓也提供了“等弧對等角”的條件，你能找出這是哪種相似模型嗎？

生4：斜母子型.

（教師板書基本圖形2）

師：若延長[DA，BC]交圓外一點[E]，如圖2（圖略）.與[△EAC]相似的三角形是? ? ? ? ? ? ? ?.

生5：[△EAC∽△EBD].這是“斜A”型相似.

師：太棒了！思維很嚴謹.我們來總結一下圓中的這些相似幾何模型.

（教師板書：基本模型——相似三角形——對應比例式）

評析：“授人以魚，不如授人以漁”，引導學生通過基本圖形的歸納與總結，理解圓作為問題背景的作用，抓住問題的本質，將圓的知識與三角形相似進行有機的結合，從而理解幾何模型的結構;讓學生經歷幾何模型的形成過程，重視培養學生思考和分析問題的能力，注重培養學生的模型意識，使學生能利用幾何模型把復雜的問題簡單化，發展學生的數學核心素養.

二、立足模型，培養推理能力

圓中的問題種類繁多，對學生的邏輯推理能力要求較高.教師設計的問題要能促進學生推理能力的發展.從幾何模型的本質屬性入手，在直角三角形和三角函數等知識點處設計問題，在類比、分析等合情推理的基礎上感悟幾何模型的內涵，培養學生的推理能力.

應用模型：在⊙O中，弦[AB]，[CD]相交于點[P]，[BD]是⊙O的直徑，已知[AC=1，BD=3]，求[cos∠BPC]的值.

生1：連接[BC].（解答略）

生2：也可以連接[AD]，[∠BPC=∠APD]，我發現只要利用直徑構造直角三角形，表示出三角函數就都可以求.

師：我們再來看“斜A”型的應用.在⊙O中弦[DA，BC]的延長線交于圓外一點[E]，[BD]是⊙O的直徑，若點[C]是[BE]的中點，[S△EACS△EBD=425]，求[cosE].

生3：根據基本圖形3的模型解答.（略）

評析：引導學生聯想幾何模型，直接利用斜[Χ]模型、“斜A”型等相似基本圖形將三角函數問題轉化為相似三角形問題，在學生的腦海中形成“求三角函數值——直角三角形——線段的比值——相似三角形的相似比”這條思維線.通過教師有意識地引導，培養學生的問題意識，提高學生的邏輯推理能力.

數學教學應以數學知識為載體，以數學思想方法為核心，以提高學生數學能力和素質為目的，著眼于學生數學核心素養的養成.培養學生的推理能力不能急于求成，可通過幾何模型的教學，讓學生在腦海中形成各種基礎的直觀圖形，再在復雜的圖像中找出這些基本圖形，加強分析訓練，逐步實現推理能力的提高.

三、感悟模型，提高解題能力

數學解題是一種創造性的活動，幾何推理題型更是靈活多樣，我們無法教會學生做所有的題目，但可以通過有限的幾何模型去引導學生感悟無數道題目的本質.圓中的問題雖千變萬化，但只要我們抓住問題的本質，在“變化”的題目背景下探究出“不變”的幾何模型，問題也就迎刃而解.

感悟模型：（2016年蘇州中考第26題改編）在⊙O中弦[DA，BC]的延長線交于圓外一點[E]，[BD]是⊙O的直徑，若點[C]是[BE]的中點，若[AC=4，cosE=25]，取弧[BD]的中點[F]，連接[FD，FC]，設直線[FC]交直線[BD]于點[G]，求[FG?FC]的值.

生1：由上面引入的問題可知[BD=10]，[F]是弧[BD]的中點，可算出[DF=52]，再利用“斜母子型”相似，[△FDC∽△FGD]，[FD2=FC?FG=50].

生2：也可以證明[△FBC∽△FGB]，[∠FBG=∠FCB=135°].

生3：點[F]可以是弧[BD]下面的中點嗎？

師：這是個好問題，你能畫出圖形，解決一下嗎？

生4：（補充另一種情況）我取的點[F]是弧[BD]下面的中點，如圖6（圖略），同理[△FDC∽△FGD]，[FD2=FC?FG=50].

生5：我發現這種情況下連接[BF]也可以解答.

評析：隨著探究的深入，圍繞相似幾何模型進行類比分析，可逐漸掌握解決圓中問題的策略，形成基本的數學經驗，完善思維結構.引導學生大膽嘗試、探究，在探究圖形變化規律的體驗中，化陌生為熟悉，化復雜為簡單，深入對幾何模型的認識.經過對問題的“再思考”，反思如何在復雜的圖形中提煉出基本圖形，引導學生發現題中的“變”與“不變”，進而理解蘊含在幾何圖形中的數學本質，達到舉一反三、觸類旁通的作用.問題的設計有梯度，層次感強，體現了根據學生的認知基礎、認知心理及認知障礙來設計教學環節的特點.

四、亮點展現，教學感悟

1.問題引入，經歷構建幾何模型的過程，模型再認識

雖然學生之前分別學習過相似三角形和圓，但學生對它們的認識基本上停留在“碎片化”的“就題論題”的淺表層次，缺乏對兩者之間相互聯系的深入研究.由圓中常見的相交弦的問題引入，在問題不斷演變的過程中，幫助學生建立相似三角形知識與圓中知識的聯系，理解圓作為題目的背景只提供了“相等的角”這一條件，抓住問題的本質，將圓中的“曲線形”問題轉化為相似三角形的“直線形”問題來解決.在幾何模型的再認識過程中，提出新的探究問題，實現了新舊知識相互滲透聯系，同時也增強了學生分析與思考問題的能力，優化了學生的認知結構，提高了學生的思維素質.

2.添加條件，應用幾何模型解決問題，模型再運用

依據幾何模型的背景添加特殊條件，創設一個不變的學生較易解決的問題，獲得一個解決問題的方法，再創設一個新的問題，變化的問題置身于不變的模型之中，通過類比遷移方法思路，抓住基本圖形來解決，深刻領悟本質特征，揭示規律，擺脫題海戰，引導學生學會以“幾何模型之不變”來應“題型之萬變”.通過對簡單的模型的再運用，體驗圓中涉及的相似三角形這一幾何模型再認識、再創新、再完善和提高的過程，為模型的再發展做好鋪墊，讓學生體驗數學學習的成就感.

3.開啟智慧，構造幾何模型，模型再創造

以中考試題為背景進行改編，設計巧妙，拓寬了學生的視野，給學生的思維創設了更廣闊的空間.仔細分析中考試題，發現解決問題的關鍵在于動手找到弧[BD]上的兩個[F]點，構造“斜母子型”相似來解決問題，著眼于問題的數學原理、結構，利用“斜母子型”相似將問題轉化為探求“[FD2=FC?FG]”關系，從陌生到熟悉、從無到有、從未知到已知的信息轉化，領悟其中的模型思想，使其逐漸內化為自己的經驗，形成解決問題的自覺意識.經過學生自己的動手作圖、探究問題的求解過程也是學生對相似模型再創造的過程，需要學生具有創新思維和開拓精神，同時也正是通過這種學習過程來培養學生的開拓、創新意識，提高學生的數學核心素養.

新課標將數學模型思想正式列為課程內容的核心概念，也是數學核心素養之一.在幾何教學中教師要善于挖掘出幾何圖形的本質規律，注重引導學生體驗一個幾何模型的形成過程，通過“變式教學”挖掘幾何圖形的功能，提升學生數學模型的綜合運用能力，幫助學生認識問題的本質.通過幾何模型來促進學生對幾何問題的“深度理解”，從復雜的問題中找到幾何基本圖形，達到做一題、通一類的效果.弗賴登塔爾認為，數學知識不是教師教出來的，而是研究出來的.而在這種研究中，數學模型意識的養成是數學核心素養提升的一大特征.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]? 郭敏. 再認識、再構建、再運用：基于數學建模核心素養的立體幾何復習教學[J]. 中學數學，2017（13）：16-18.

[3]? 水菊芳.基于數學核心素養的課堂數學意識的構建[J]. 數學通報，2016（11）：6-9.

（責任編輯 黃桂堅）