淺談發展數學思維的學習方法

鄭先萍

摘 要：數學思維是數學活動的基礎，也是數學教育教學的關鍵條件。隨著教育的不斷改革，數學思維已經成為學生的必備素質。本文站在小學數學教育教學的角度，簡單闡述了數學思維的內涵及重要意義，分析了當前小學數學教育中發展學生數學思維的問題，重點討論了發展數學思維的方法，并提出了幾點發展數學思維學習方法的有效措施。

關鍵詞：小學 數學思維 學習方法

就小學生而言，他們的思維還處于發展的初級階段。而思維方面的差異決定了他們數學能力之間的差異，從某種意義上說，發展他們的數學思維就是發展他們的數學能力。在實際教學過程中，教師應當專注于發展學生的數學思維，指導學生深度挖掘數學知識的本質內涵以及其中存在的數學思想，教會學生多角度、全方位地看待并解決問題，從而促進學生數學水平與素質的提高。那么，怎樣發展學生的數學思維？發展數學思維都有哪些學習方法？以下就是筆者對此的分析與論述。

一、數學思維的內涵及重要意義

1.數學思維的內涵

學習數學、運用數學知識解決數學問題的過程就是進行數學思維的活動的過程。所謂數學思維，是主體對客觀數學對象的本質及規律的反映，并根據一定思維方式認識、理解并學習數學內容的理性活動。^[1]數學思維包含數學思想、數學品質以及數學方法，其具有主觀性、同一性、流動性以及能動性的特點。數學思維與數學思維能力有明顯的差異：數學思維是思維上的活動，而數學思維能力則是行為上的活動。在小學數學教學中，教師通過發展學生的數學思維培養學生的數學思維能力，使學生掌握歸納、類比、概括、推理、實驗、抽象、演繹等數學方法，從而辨明數學關系，進一步形成良好的數學品質。

2.發展數學思維的重要意義

在小學數學教學中發展學生的數學思維，對培養學生數學素養、發展學生綜合能力、提高學生數學水平等有著重要作用。從現階段小學生數學學習情況來看，他們雖然能夠通過課堂教學以及課后作業掌握一定的數學知識，但是他們中的多數并不具有銜接數學知識的能力，也不會全面地分析數學問題。^[2]其主要原因在于小學生的認識水平有限，只能進行相對簡單的數學思維活動。通過發展數學思維，他們就會對數學知識有全新的認識，也會從不同的角度看待數學問題，并以不同的方式解決同一數學問題，從而獲得銜接數學知識的能力，以及全面分析數學問題的能力。此外，數學思想是數學思維的結果，當學生進行了有效的數學思維活動之后，就會從中汲取到數學思想，從而形成自己的知識學習思路，這有利于提高課堂教學效率。

二、當前小學數學教育中發展學生數學思維的問題

筆者認為，當前小學數學教育中發展學生數學思維主要存在以下幾點問題：其一，思維多樣化問題。多數教師發展學生數學思維時過多地注重解題方法的多樣化以及過程的復雜化，偏向于解題的過程，而不是學生進行思維活動的過程。這就使得學生實際的學習效率并未得到明顯提升。^[3]其二，思維具體化問題。數學思維是一個抽象的概念，教師發展學生數學思維時需要充分考慮學生要進行怎樣的數學思維活動、要發展學生哪方面的數學思維以及發展數學思維能得到什么樣的結果。但實際上，多數教師容易忽略這個問題。其三，思維生活化問題。情境創設是當前教師發展學生數學思維常用的教學手段，但相當一部分教師在創設教學情境的過程中沒有注重情境的適用性，并未充分發揮出情境的功能與作用，從而使得情境與學生的實際生活相脫離，進一步導致了學生不會使用所學知識解決實際問題。其四，思維直觀性問題。數學知識與數學思維具有一定的抽象性，教師要給學生直觀的感受，使學生應用已知去學習未知，但這并非貫穿學生的整個學習過程中，這一點也容易被教師忽略。

三、發展數學思維的學習方法

1.單向延展

所謂單向延展，以某一知識為起點，通過聯想、想象等思維活動將其他有關聯的知識與其縱向組合在一起，形成一種層層遞進的動態思維結構。單項延展法一般包括三種，分別是由因導果、從易到難逐層延展以及邏輯推理。例如，在《20以內的進位加法》教學中，教師先為學生創設如下教學情境：“學校馬上要舉辦運動會了，我們能夠參加的項目有賽跑、跳繩、拍球以及扔沙包等四項運動，我們班參加賽跑的有9人，參加跳繩的有7人，參加拍球的有8人，參加扔沙包的有6人。那么誰能告訴老師參加賽跑和扔沙包的一共多少人？”鼓勵學生口述自己的使用不同方法進行計算的過程，如擺小棒、打算盤、畫圖畫等，引入“湊十法”以及進位加法的概念，并逐次增加問題難度，如“我們班參加跳繩的人和打沙包的人一共比隔壁班少4人，隔壁班參加跳繩和打沙包的一共多少人？”“隔壁班參加賽跑的比我們班多3個人，參加扔沙包的比我們班少2人，那隔壁班參加賽跑和扔沙包的一共多少人？”在此過程中，教師有意識地創設教學情境，引導學生發散數學思維，幫助學生訓練數學思維能力，同時，逐次增加難度的問題也能在鞏固學生所學知識的基礎上，對其進行延伸。這既符合學生的認知能力，又能提高學生思維的邏輯性以及層次性。^[4]此外，教師還可以著重強調擺小棒以及畫圖畫的計算方法，逐漸滲入數形結合思想。需要注意的是，實際使用單向延展法發展數學思維時，教師可根據學生實際情況自由組合單向延展法的三種方法。

2.多向拓寬

所謂多向拓寬，就是以某一知識為中心，通過多角度、全方位的思維活動將其向多個方向擴展開來，形成一種多元化的動態思維結構。多向拓寬法一般包括敘述理解、轉化基準以及思路輻射。其中，思路輻射就是以不同的思維方式解決相同的問題，體現思維方式的多樣性、靈活性，從而發展學生的數學思維。例如，“有一個正方形池塘，四周種樹，每邊種8棵，每個頂點種一棵樹，每兩棵樹之間的距離都相等。四周一共種了多少棵樹？”方法1：根據條件可知，每邊種8棵，4邊就是8×4=32棵，但每邊起點的一棵樹算了兩次，所以一共是32-4=28棵;方法2：我們可以先數正方形的一組對邊，包括兩個頂點的，種8棵，再數另一組對邊的，將兩個頂點排除在外，每邊種8-2=6棵樹，所以一共是8×2+6×2=28棵;方法3：把正方形四邊拉直，每邊種8棵樹，就是把每邊分成了7等份，4邊共分成了28等份，每一等份對應一棵樹，所以共有28棵樹。這樣，學生就學會了從多角度看待問題，也明白了一個數學問題可以使用多種數學方法進行解答。此外，學生的思維也沒有被一道數學題限制住，而是在學習不同方法的過程中得到發展，從而實現提高學生數學水平、培養學生多元智能的目的。

3.反思延伸

所謂反思延伸，就是以某一知識為定點，通過反思這一思維活動將其向更深處延伸，形成一種深度學習的動態思維結構。就解決數學問題而言，反思延伸就是對解題方法、解題過程的回顧和思考。例如，在《長方形與正方形的面積計算》教學中，教師提出以下問題：“假如有16根長為1分米的小棒，你能擺出多少個不同邊長、同面積的長方形或者正方形？面積都是多少？”學生通過思維活動得出“4個，面積分別是1×7=7平方分米、2×6=12平方分米、3×5=15平方分米、4×4=16平方分米?！币话闱闆r下，學生認為題做到這里就完成了，不會再做進一步的探究了，這也是當前小學數學中普遍存在的現象。此時，教師需要引導學生進行再次思考：“你們有沒有發現這道題中還隱藏著一定的規律？邊長和面積之間有什么樣的關系？由相同小棒拼出來的長方形與正方形又有什么樣的關系？”學生再次思考之后得出結論“邊長之差為零的時候，面積最大;周長相等的情況下，正方形面積大于長方形的面積?！睘檫M一步延伸學生思維，教師可提出“假如農民伯伯有15m長的木材，他需要在墻邊圍成一個長方形或者正方形的羊圈，你有幾種圍法？怎么圍面積最大？這幾種圍法中邊長又與面積有什么關系？上一題的結論適用于這個題嗎？”在此過程中，教師以問題為導向，引導學生從題目中總結規律，并教導學生學習具體問題具體分析，學生數學思維得到發展的同時，也進行了深度學習。這既可促進學生進行數學思維活動，也在一定程度上提高了學生運用數學知識解決實際問題的能力。

4.破思維定式

所謂破思維定式，就是以某一問題為定點，對其進行變化，通過解決不同的問題打破常規的思維習慣，形成一種具有較強靈活性的動態思維結構。就小學生解題情況而言，他們以某種思維方式解決多種相同類型的數學問題之后，就容易形成思維定式。這種思維定式雖然會在一定程度上幫助他們解決數學問題，但是也會對他們思維的發展產生阻礙作用。因此，教師要發展學生思維，就需要以多變的數學問題幫助學生打破思維定式。例如，在有關分數的計算問題教學中，教師出示基礎題以及相應的變式題：“一袋大米100kg，吃了，吃了多少？”“一袋大米100kg，第一次吃了，第二次吃的比第一次少，第二次吃了多少？”“一袋大米100kg，第一次吃了，第二次再多吃5kg就和第一次吃的一樣多，第二次吃了幾分之幾？”“一袋大米，連袋共重100kg，先拿送給幼兒園，再拿出剩下的送給敬老院的老人，連袋共剩下24.5kg，大米和筐各重多少千克？”借助這類題組，提高學生思維的靈活性，防止學生固定于某種結構的題型而產生思維定式，從而發展學生的數學思維。

5.常規求異

所謂常規求異，就是以常規的思維為突破口，從全新角度入手，通過創新性的思維活動獲得問題的答案，形成一種理性的動態思維結構。例如，在長度單位的教學中，教師布置如下任務：“在不使用卷尺的情況下，你能得出學校操場的近似邊長是多少嗎？”如果學生按照常規思維思考這個問題，那么學生很難不去思考不使用卷尺。由此，學生很有可能將其當作不可能完成的任務。此時教師引導學生思考問題的解決方法，發展學生的數學思維：“一般情況下，人的手臂張開的長度約等于他的身高。那么，了解到這個知識之后，你會怎么測量呢？你還能借助哪些不是卷尺的工具測量呢？”學生的思路就容易被打開，從而找到借助手臂或者腳步長度測量操場周長的方法。又如在三位數的減法教學中，教師設置如下問題：“從小青家經小紅家和小強家到學校有450米，從小青家到小強家有390米，從學校到小紅家有320米。那么，從小紅家到小強家多少米？”在常規思維下，學生通常使用450-390=60米，320-60=260米這樣的算式得到結果，得出之后就不再進行思維活動。此時教師列出390+320=710米，710-450=260米，要求學生合作討論算式的含義以及這么列式的理由，從而刺激學生發展數學思維。

四、實施發展數學思維學習方法的有效措施

1.掌握課標要求

上文提到，數學思維包括數學思想、數學品質以及數學方法。而這些不僅體現在數學知識當中，也是新課標對教師確立三維教學目標的要求。因此，要有效實施發展數學思維的學習方法，教師應當掌握課標要求。^[5]在充分了解學生實際情況的基礎上，對教材進行深度剖析，以教材內容為主制定階段性的教學計劃，確定個性化的數學思維發展目標，并強調知識之間的銜接以及學生課前、課堂、課后學習的反饋跟進，從而為學生找到與其自身發展相適應的思維方式、思維習慣以及數學學習方法。

2.遵循學生認知規律

小學生的認知一般可分為四個狀態：無知無能、有知無能、有知有能、無知有能。開始學習數學知識時，學生一般處于無知無能的認知狀態，此時教師應當充分發揮自身引導者、指導者的身份激發學生進行數學思維活動的興趣，如以問題為導向激發學生質疑、創設教學情境增強學生對數學知識的感悟、從生活中的數學現象引入教學等。當學生不斷學習很多新知識的時候，容易發展自己不會使用數學知識解決實際問題，此時學生的認知就處于有知無能的狀態。這一狀態下，教師應當以多元化的方式提高學生思維的靈活性，幫助學生建構數學知識學習框架，使學生學會多角度、全方位地看待數學問題，并掌握個性化數學學習方法，從而促進學生數學思維的發展，進一步使學生進入有知有能的認知狀態。學生具備良好的數學思維時，就會進入無知有能的認知狀態，無意識地進行數學思維活動，主動解決數學問題。而要使學生認知狀態進入無知有能，教師應當遵循學生的認知規律，逐漸發展學生的數學思維。

結語

綜上所述，發展數學思維對小學數學教育教學具有十分重要的現實意義。雖然當前教育界的不少專家學者以及教育工作者已經認識到了發展學生數學思維的重要性，但實際教學中仍舊存在思維的多樣化、具體化、生活化以及直觀性問題。要發展數學思維，小學數學教師應當在充分了解教學中存在的思維問題的基礎上，了解并學習單向延展、多項拓寬、激疑促思、破思維定式以及常規求異等發展數學思維的學習方法。值得注意的是，在發展數學思維的過程中，教師需要掌握新課標的要求，遵循學生的認知規律，并調動學生的內在思維，從而使學生形成個性化的數學思維習慣。

參考文獻

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