高中數學數列試題的解題方法與技巧

陳富貴

【摘 要】 現如今，許多高中數學教師受教育體制改革的影響，在課堂教學的過程中不僅尊重學生的主體地位，根據學生的實際情況和個體差異性傳授有關的數學知識，還將自身的教學方法進行改變和創新。尤其是在講授數列試題時，教師運用有效的教學方式和解題技巧，能夠激發學生的學習興趣，提升學生學習的主動性和積極性，使其更好地進行相關內容的學習，在為學生營造良好學習氛圍的同時，還能夠提高課堂的教學效率和教學質量。因此，本文根據高中數學教學現狀，對其中數列教學的解題方法與技巧進行深入的研究和分析。

【關鍵詞】 高中數學 ?數列試題 ?解題方法與技巧

引言：

數學學習對于高中階段的學生來講是十分重要的，有效的數學學習，不僅能夠為學生日后的高考打下良好的基礎，還能夠促進學生物化生的學習，從而有效地提升學生的學習成績。數列在數學教學中占有重要的地位，有效的數列教學方式和解題技巧，在提升學生的學習能力的同時，還能夠使學生的數學思維得到有效的提升，使其更好地進行數學學習。本文根據高中數學教材中數列的知識，介紹了與數列有關的重點知識和解題技巧，以供教師參考。

一、高中數學數列的基本含義

通過教師以往的教學經驗和教材的有關內容可知，所謂的數列以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。其中在數列中每一個數被稱為數列的項，排在第一位的是第1項，排在第二位的是第2項，排在第n位的則是第n項，用an表示。根據數列的含義將其分為三類，它們分別是等差數列、等比數列、等和數列。雖然數列是比較綜合的知識點，具有重要性，且數列知識體系中的每一個知識點都具有密切的關系，在眾多習題中考核到的內容包括等差數列、等比數列以及等和數列的相關知識點，并且都是學生所要學習和掌握的重點知識。因此，數列學習的好壞，對學生今后的數學學習和發展具有重要的意義。

二、高中數學數列試題的解題方法與技巧

（一）根據數列本身的定義進行解題

教師在高中數學數列教學中不難發現，一些基礎的數列習題可以直接利用數列本身的定義進行解題，在解題時直接將通項公式帶入，經過運算得出結果。學生在解決這些問題時，由于解題方式較為簡單，所以不用采取較多的解題技巧，主要考查的是學生對于數列定義的掌握。例如，各項都為正數的等比數列{b}中，首項b1=3，b1+b2+b3=21。提問：b3+b4+b5=？這一試題中，首先學生要知道是對正向數列定義和等比數列的通項公式、求和公式的考查。檢查學生對于數列基礎定義的掌握。其次，需要我們掌握通項公式與求和公式的應用。公比求和q不等于1，結合學過的等比數列前項和公式進行公比方程列舉，即：3（1-q3）/（1-q）=21。針對其方程式，首先選擇運算形式;其次，學生在日常學習中能夠把高次方程轉化為低次方程計算。

（二）根據數列的性質進行解題

教師根據以往的高考試題和學生平時練習的試卷不難發現，大部分的數列試題要求學生能夠使用變化的方法來掌握數列性質，繼而掌握數列知識內容。例如，已知等差數列{an}中，存在a3+a7=37，求a2+a4+a6+a8=？在學習等差和等比數列的時候，學生就清楚地知道數列含有這樣一個性質，如果m+n=p+q，那么就可得出am+an=ap+aq（am·an=ap·aq）。根據題意就能夠得出3+4=2+5=1+6，由此便可將其應用到題目中，這樣就可得出a2+a4+a6+a8=2（a3+a7）=2×37=74。這一類題目，主要考查學生對數列問題的綜合理解與掌握。但是在教學活動開展的過程中，教師應重視對知識的推理，加深學生對性質的了解和掌握。

（三）根據數列的通用公式進行解題

1. 分組求和法

在數列解題的過程中，有時會出現一些特殊的數列，并且數列與數列之間還存在著一定的聯系。遇到這種數列時，僅靠數列的本身公式和性質是無法解決的，這時就需要運用一種較為常用的解題方式為分組求和法，在解題時進行合理的分拆，并且進行求和，最終實現合并，達到解題效果。

2. 合并求和法

并不是所有特殊的數列都可以利用分組求和的方法得出答案，學生在解決數列問題時，要根據其特點選用合理的解題方法。例如，學生在解決“cos1°+cos2°+cos3°+……+cos178°+cos179°值，或是數列{an}：a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an，求S2002。”時，就可以運用合并求和法，在解題中可以充分地對數列的特殊性進行挖掘，找出其中的組合項，首先將特殊項進行結合，進而整體求和，最后實現化難為易。

3. 錯位相減法

學生在遇到等差數列、等比數列前n項和的求和時，可以運用錯位相減法進行解題。例如，已知{Xn}為等差數列，前n項和為Sn，{yn}為等比數列，x1=y2=2，x4+y4=27，s4-y4=10。問題1：求出{xn}和{yn}的通項公式。問題2：Tn=xny1+xn-1y2+……+x1yn，n∈N證明Tn+12=-2xn+10yn，n∈N。問題1解答：xn=3n-1，yn=2n。問題2，Tn=2xn+22xn=+23xn-2+……+2nx1，2Tn=22xn+23xn+……+2nx2+2n+1x1。通過計算得出：Tn=2（3n-1）+3×22+3×23+……+3×2n+2n+1=12（1-2n+1）/（1-2n+2n+2-6n+2）=10×2n-6n-10-2an+10bn-12=-2（3n-1）+10×2n=10×2n-6n-10。因此，Tn+12=-2xn+10yn，n∈N。通過錯位相減法多應用在an=bn-cn，也就是等差數列、等比數列中。在數列求和計算中，其解題技巧在于：列出等差數列和等比數列的前n的和，即Sn。隨后，把Sn兩端同時乘等比數列的公比q，得出qSn。最后，錯一位，把兩端公式進行相減。

三、結語

綜上所述，高中數學教師要想有效地提升學生的學習能力，使其更好地掌握數列相關的知識，就要對傳統的教學模式進行改變，根據教材中的內容和學生的學習情況制定合理的教學計劃，為學生傳授有效的解題技巧，以此提升學生的學習興趣，使其積極地參與到數列學習中。不僅能夠為學生營造良好的學習環境，還能夠提高課堂的教學質量和效率，從而為學生日后解決此類數列難題提供切實的保障，為學生全方面地掌握數學知識奠定良好的基礎。

參考文獻

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