數學創造性思維及培養途徑探索

摘 要：創造性思維具有新穎獨特、突破常規和靈活變通的特征。文章探索了在數學教學過程中培養學生創造性思維的途徑：引發興趣，激起創造誘因;創設問題情境，引導學生大膽猜想、合理驗證;鼓勵創新，提倡競爭，重視學生差異性培養。

關鍵詞：數學教學;創造性思維;問題情境

中圖分類號：O1-0

一、思維的創造性與“再發現”

創造性思維與它的結果，即發現、發明或創造，是人類智慧的花朵和文明的結晶。所謂創造，一般是指發現新事物、揭示新規律、獲得新成果、建立新理論、創造新方法、發明新技術、研制新產品、作出新成績或解決新問題等。因此創造所涉及的范圍（或外延）是非常廣泛的，包括科學發現、技術發明、藝術創造和其他物質文化方面的創新。從這種意義上講，創造性思維就是“創新過程中的思維活動”，即只要思維的結果具有創新實質，則它的思維（過程）就是創造性思維。

思維結果的創新性是有客觀標準的。一方面表現為這種結果的自身價值和社會意義，通常應對人類社會的物質或文化的發展具有一定的社會效應和促進作用。另一方面是思維結果的創新程度和它的相對性。在這方面，我們可以按照創新的相對意義從兩種不同的角度把創造性思維分成兩類：“創造”（嚴格意義，社會意義）與“再發現”（廣義、教育意義）。

創造是指相對于人類認識史而言第一次產生的、前所未有的，具有社會價值或社會意義的思維活動。但是這種活動不能嚴格地按照時間順序唯一地確定。由于地域或通信條件等其他因素的作用，創造性的判定要根據實際情況給予評價。例如，在數學科學發展史上，牛頓和尼布萊茲在17世紀后半期幾乎同時發現了微積分;勾股定理為我國商高（約公元前11世紀）與希臘的畢達哥拉斯（約公元前540年）先后獨立發現;已知三邊計算三角形面積的公式是屬于希臘的海倫（約公元前60年）和我國的秦九韶（約公元前1202—1261）分別獨立發現的。

“再發現”是指相對于思維主題而言，具有一定的自身價值或認識意義的新穎獨創的思維活動。著名的荷蘭教育家、數學家佛羅登塔爾（HansFreudenthal）就是用這個概念一Reinvenion來看待學生的數學創造性思維的。美國心理學家布魯納所倡導的“發現法”，其用意也在于使學生成為知識的發現者，培養學生的發現性思維，這里的發現也是指教育意義上的廣義創造性。通常意義上的創造性思維是上述兩種類型的總括。嚴格意義下的創造并不能一蹴而就，它是“再發現”式創造性思維的積累和發展。只有“再發現”式的創造性思維得到充分的發展之后，才有可能產生從量變到質變的飛躍，達到真正的發明、創造的高度。在這種理解下，創造性思維對于一切正常人來說就都是可能產生的，特別是對數學教學具有重要的現實教育意義。

例如，雞兔同籠問題，即已知籠中雞兔共有60個頭，160條腿，問雞和兔各有多少只？在解決這個問題時，對于一個未學過方程解法的學生來說，他想到若所有的雞都單腿獨立，而所有的兔子都雙腿站立，則腿的總數只有原來的一半，即80條。但因總頭數保持不變，且此時雞的頭數等于雞的腿數，于是用80-60=20，得到兔子單腿站立數，即為兔子頭數，剩下的雞就是40只。這種富有想象力的思路顯得新穎獨特，別出心裁，就是一種“再發現”式的創造性思維，也是一種突破常規的創造性思維。

二、培養學生數學創造性思維的途徑

在數學教學中，大量的所謂創造性思維應是指“再發現”式的，是學生通過自己的獨立思維活動解決問題的過程。數學創造性思維的培養，關鍵在于激發學生創造性思維的發生機制，可采取以下途徑。

1.引發興趣，激起創造誘因

教師要注意在日常教學中活躍學生的數學思維，經常地選擇一些發散性強的典型數學知識或問題。如逆向思維常表現為逆用定義、定理、公式、法則，逆向進行推理，反向進行證明，從反方向形成新結論。

例如，已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0，x∈R}，B={x| x<0，x∈R}，且A∩B≠φ，求實數的取值范圍。

分析：由條件A∩B≠φ，可知方程x2-4ax+ 2a+6=0的實數根組成一個非空集合并且此方程至少有一個負根。即有兩個負根、一負根一零根、一負根一正根三種情況，分別求解比較麻煩，我們可以從反面考慮，先求出方程x2-4ax+2a+6=0有實根的全集U，然后考慮方程x2-4ax+2a+6=0有兩根均非負時a的取值范圍，最后利用補集求解。

解：設全集U={a|△=（-4a）2-4（2a+6）≥ 0}={a|a≤-1或a≥—}。

若方程x2-4ax+2a+6=0的兩根x1，x2均非負，則

解得a≥ 0，又因為a∈U，所以a≥—。

全集U中{a|a≥—}的補集為{a|a≤-1}，所以實數a的取值范圍是a≤-1。

2.創設問題情境，引導學生大膽猜想、合理驗證

學生對事物的認識，總是通過觀察接觸該事物，了解該事物的某些已知部分，從而對該事物產生一些感性認識，并以此為素材根據有關知識對該事物進行推論判斷，產生一些推測性的看法，這就是猜想或者叫假說，猜測雖然未必是真理，但它卻是激起學生創造性思維的火種，是學生發現真理進入新的學科領域的必要征程，然后對猜想進行驗證，判斷猜想是否正確。在數學教學中的許多解題過程，常常是先對題設進行認真觀察思考，然后對可能出現的結果做一個初步的猜想，最后進行嚴格論證。這樣可以幫助我們打破解題時無從下手的僵局。

例如，判斷數列xn=sinn是否有極限，并證明你的結論。

解：對于這個問題，通過觀察和分析，可以猜測答案只有存在或不存在兩種，關鍵在于對猜測進行理論驗證。

假設limsinn=a，有limsin（n+1）=a，limsin（n-1）=a。

因為sin（n+1）-sin（n-1）=2cosnsin1，

這與limcosn=0矛盾。因此limsinn不存在。

3.鼓勵創新，提倡競爭，重視學生差異性培養

創新是人類發展與進步的源泉，學生本身也可以通過創新不斷獲得能力提升。在數學教學活動中要體現競爭性，使每個學生都想表現自我。另外，教學中要重視學生個體差異性，允許學生在認識問題上存在差異。

參考文獻：

[1]熊惠民.數學思想方法通論[M].北京：科學出版社，2010.

[2]宮玉榮.數學文化與大學生思辨能力的培養[J].數學學習與研究，2012（19）：14-15.

作者簡介：袁德有（1960—），男，教授，研究方向：函數論、高等數學教學。