例談概念教學中培養學生數學思維品質

摘 要：如何設計數學概念教學，如何在概念教學中有效地培養和開發學生的數學思維品質，是教師在教學中經常考慮并必須解決的問題。文章試圖以“數學歸納法”一課的教學為例，談談在概念教學各階段中如何培養學生思維能力，優化學生思維品質的一點粗淺體會。

關鍵詞：概念教學;數學思維;數學學習

一、展現概念背景，激發數學思維的主動性

數學思維的主動性，反映了學生對數學學習的熱情和好奇的程度，是否以學習數學為樂趣，并在獲得知識時能產生一種愜意的滿足感。

本課 “數學歸納法”對于學生來講，是一個陌生的、抽象的，甚至難以理解的數學概念。因此，筆者在設計概念導引階段時，考慮的是如何展現“數學歸納法”出現的背景。

概念導引階段：教師與學生一起從熟悉的“歸納法”入手。

教師提問：什么叫做歸納法？

學生交流：就是從一個或幾個特殊情況得出結論的思想方法。

教師啟發：同學們在過去的數學學習中，是否用過歸納法這一思想方法？

學生紛紛表示經常用到，并回憶了許多在數列學習中的情景。

教師提問：在推導數列求和公式1+3+5+...+（2n- 1），n∈N時，有兩個人用了不同的做法。誰運用了歸納法的思想求和？誰的解法是正確、有依據的？誰的解法不完善，所得結論只能屬于不完全歸納？

小明同學：令Sn=1+3+5+...+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1）

又Sn=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+...+5+3+1

∴Sn=n2，（n∈N）

小紅同學：當n=1時，S1=1=12;

當n=2時，S2=1+3=4=22;

當n=3時，S3=1+3+5=9=32;

……

所以，Sn=n2，（n∈N）。

學生開始爭論，有說兩種做法都是正確合理的;有人懷疑小紅的做法有問題……

在學生激烈地辯論交流后，教師順勢推出“數學歸納法”的由來。

這樣引入新課，可以使學生沉浸于對新知識的期盼、探求的情境之中，積極的思維活動得以觸發。

二、創設概念情境，培養數學思維的靈活性

如何理解“數學歸納法”兩個步驟的數學原理，是本課的重點和難點。因此，筆者在設計概念理解階段時，重點放在創設一個有助于理解“數學歸納法”的情境上。

概念理解階段：師生共同創設一系列生動、形象的“數學歸納法”的情境。

教師提供第一個“數學歸納法”的情境：一位畫家收了三個徒弟。一天，畫家為了測試一下徒弟們對繪畫奧妙掌握的程度，他把三個徒弟叫來，給每人一張紙，要他們用最經濟的筆墨，畫出最多的駱駝。第一個徒弟在卷子上密密麻麻地畫了一群駱駝;第二個徒弟為了節省筆墨，只畫出許多駱駝頭;第三個徒弟在紙上用筆勾出兩座山峰，一只駱駝從山谷中走出，后面還有一只駱駝只露出半截身子。三張畫稿交上去，最后一幅畫被認定為佳作——構思巧妙、筆墨經濟、以少勝多！前兩幅畫雖然畫了許多駱駝（或駱駝頭），卻都是有限的;第三張則不同，在一只駱駝后面帶出半只駱駝使人想象到山谷中行進著的一只又一只駱駝，似乎無法盡數。

教師啟發：數學歸納法的原理，類似于第三個徒弟的巧妙構思。數學歸納法的第一步是論證命題的基礎，相當于畫中領頭的第一只駱駝;數學歸納法的第二步是判斷命題的正確性，能否從特殊推廣到一般的依據，相當于畫中所要表達的事實，即如果有一只駱駝，背后也帶有另一只駱駝。這樣，有了第一只駱駝，便有第二只駱駝，有了第二只駱駝，便有第三只駱駝，如此下去，以至無窮。

教師提供第二個“數學歸納法”的情境：同學們玩過多米諾骨牌嗎？誰能說出樹立的多米諾骨牌能全部倒下的原理嗎？

學生在說理交流的同時，也正在一步步走進“數學歸納法”。

教師啟發：受上面兩個情境的啟發，你們也來創設一則具有“數學歸納法”思想的情境，與大家一起來分享“數學歸納法”的神奇吧。

學生活動：學生積極展開思維、浮想聯翩、暢所欲言：有人想到了古時的“烽火臺”;有人發現了“拉鏈的構造原理”;有人為大家說了一個說也說不完的“老和尚給小和尚講的故事”，甚至還有人突發奇想為大家描述了一頂“哈里波特的神奇魔法帽”……

任何一個概念形成的過程，都需要一定的思維情境來展現和碰撞，因而在教學過程中必須根據數學概念，創設思維情境，讓學生在生動、直觀、具體、特殊的思維情境中敏銳地感知概念，迅速提取有效信息，進行“由此思彼”的聯想，簡捷地了解概念、進而理解概念，同時學生思維的靈活性得以有效地開發。

三、解剖分析概念，培養數學思維的深刻性

數學思維的深刻性，反映了學生在分析問題與解決問題時能抓住問題的實質以及問題間的相互聯系的一種思維品質，能對具體的數學條件進行抽象概括，能在推理過程中進行深度地思考。

在感知“數學歸納法”的原理后，教師應引導學生深入剖析概念，領會“數學歸納法”數學表達語言的精準性、嚴密性和科學性。

概念剖析階段：教師通過一組“問題鏈”，引導學生進行概念剖析與辯思。

教師啟發：數學歸納法是否萬能？是否適合證明一切和n有關的數學命題？

教師啟發：若數學歸納法缺少第一步會怎樣？

教師啟發：數學歸納法第二個步驟中“假設”能否改成“當”？

教師啟發：數學歸納法第二個步驟中“k≥1”能否改成“k≥2”？

教師啟發：數學歸納法第二個步驟中是證明了一次命題成立還是兩次？

這樣引導學生逐句“解剖”概念，使學生看到抽象的數學語言中所蘊含的數學概念的精準性、嚴密性和科學性，有利于培養學生思維的深刻性。

筆者從自己的教學實踐中體會到，數學教學的根本任務不僅在于向學生傳授知識，更重要的是要優化學生的數學思維品質，培養學生的多種數學能力。概念教學不僅要讓學生記住概念，會用概念去解題，還應讓學生了解概念建立的必要性和合理性。在概念教學的每個環節，都應通過啟迪和引導使學生參與到數學概念的形成和發展中，使學生思維品質得到有效的培養。

參考文獻：

[1]樂高軍. 例說數學概念教學與思維品質培養[J]. 理科考試研究，2014（9）：33-34.

[2]呂琨. 例談數學教學中思維能力的培養[J]. 高中數理化，2017（20）：20.

作者簡介：王靜（1973—），女，本科，研究方向：高中數學教學。