如何在綜合與實踐課中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

仇海佳 田玉龍

摘 要：初中數(shù)學綜合與實踐課程緊密聯(lián)系生活，綜合實踐性強，為培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)提供了很好的課程載體，教師可以聚焦綜合實踐課，探索學科核心素養(yǎng)在課堂落地的路徑和方法，循序漸進地發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

關鍵詞：綜合與實踐;核心素養(yǎng);數(shù)學建模;邏輯推理

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）中指出，“要重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程。”因此，教學中教師注重從現(xiàn)實生活或具體情境出發(fā)，引導學生充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析、綜合、概括等過程，把生活中實際問題轉化為數(shù)學問題模型，進而求出結果并討論結果的意義。下面以北師大版教材八年級上冊“綜合與實踐”課中的《哪一款手機資費套餐更合適》為例，談談如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識。

一、模型源于現(xiàn)實生活

教師課前布置了兩個學習任務。

1.了解手機資費的相關術語及手機資費套餐的種類。

2.收集數(shù)據：以你爸爸或媽媽的手機為樣本，調查連續(xù)五個月以來手機通話時間的情況。

通過調查發(fā)現(xiàn)，主要有2種情況：①大多數(shù)學生的調查結果是，手機的使用以本地通話為主，故忽略長途主叫情況進行研究;②個別學生的調查結果是，手機的使用以長途通話為主，故忽略長途主叫情況進行研究。

學生通過深入到移動、電信或聯(lián)通等營業(yè)廳向服務人員了解專業(yè)術語、套餐種類以及完成調查所需的數(shù)據這一活動，可以豐富數(shù)學活動經驗，同時感受數(shù)學源于現(xiàn)實生活，為后續(xù)的數(shù)學建模提供生活原型。

二、模型的建立

教師提出問題：老師新買了一款手機，想為我的手機選一款套餐，移動營業(yè)廳現(xiàn)為老師提供了這樣的三種套餐，請你們幫老師選選看，哪一款套餐更合適？（三種手機套餐資費如下表）

學生根據前面的調查，結合表格中不同的套餐內容，通過自主學習、小組探究后，發(fā)現(xiàn)主要存在以下三種情況：

1.如果手機的使用以本地通話為主，故忽略長途主叫情況進行研究。設本地通話時間為x分鐘，通話費用為y元，則：

A套餐收費情況：yA=0.2x+10（x≥■，即x≥200）

B套餐收費情況：yB=0.18x（x≥■，即x≥389）

C套餐收費情況：yC=0.15x+6（x≥■，即x≥440）

2.手機的使用以長途通話為主，對每月本地通話費用取平均值代入;如果我們設本地通話平均費用為m元（m是我們假設的一個常量），因為以長途通話為主，所以m較小，設長途通話時間為x分鐘，總通話費用為y元，則：

A套餐收費情況：yA=0.28x+10+40（0≤m≤40）

B套餐收費情況：yB=0.3x+m（m≥60，x≥■，即x≥34）

C套餐收費情況：yC=0.3x+6+m（0≤m≤66，x≥■）

3.關注到月平均通話時間，列表達式展開研究。

比如調查計算出月平均主叫時間為500分鐘，設其中本地主叫時間為x分鐘，則相應的長途主叫時間為（500-x）分鐘，則三種套餐的收費情況如下：

①當x≥200時，yA=0.2x+0.28（500-x）+10，即yA=-0.08x+150

當x<200時，yA=40+0.28（500-x）+10，即yA=-0.28x+190

②當x≥■時，yB=0.18x+0.3（500-x），即yB=-0.12x+150

當x<■時，yB=60+0.3（500-x），即yB=-0.3x+210

③yC=0.15x+0.3（500-x）+6，即yC=0.15x+156

從上面的表達式可以看出，這是一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的模型問題，這樣就將手機話費的實際問題轉化為一次函數(shù)的問題，而對于一次函數(shù)的問題，只要確定自變量的值，就可以確定因變量的值。同理，知道自變量的取值范圍，亦可確定因變量的取值范圍。

三、模型的分析與計算

教師通過兩個問題加深學生對一次函數(shù)模型的認識。

問題1：所得的函數(shù)表達式中的“k”“b”對每月資費有怎樣的影響？問題2：什么情況下選擇A套餐？說說你的理由。什么情況下選擇B套餐呢？C套餐呢？

根據下面圖像可知：

當x≤300時，選擇套餐A最劃算;

當300

當x>400時，選擇套餐C最劃算。

對于一次函數(shù)的問題我們可以借助函數(shù)圖像來解決問題。利用幾何畫板工具在同一坐標系中繪制函數(shù)的圖像，圖像可以幫助我們直觀地分析三種套餐。結合圖像，根據本地通話時間和長途通話時間的多少來選擇不同的套餐。

四、模型的拓展

問題1：生活中有很多與“手機資費”類似的問題情境，其中變量之間的關系可以用一次函數(shù)來近似地表述，請你找出一些這樣的問題。問題2：在假期實踐活動中，選一個你感興趣的問題進行分析解決。

學生經過討論，他們認為出租車價與里程數(shù)之間的關系、家庭水費與用水量之間的關系、家庭電費與用電量之間的關系、購買商品時的銷售價與商品數(shù)量之間的關系等問題都是一次函數(shù)模型的問題。再通過假期實踐作業(yè)，讓學生體會數(shù)學知識來源于現(xiàn)實生活，又服務于現(xiàn)實生活，讓學生在更多的背景問題中感知一次函數(shù)模型的應用，以更好地實現(xiàn)由意義理解到自主建構的飛躍，發(fā)展學生的應用意識，形成用數(shù)學的眼光看待世界。

本節(jié)課主要從生活中的問題情景引入，將“哪一款手機套餐資費更合適”的實際問題抽象成一次函數(shù)的問題，引導學生建立一次函數(shù)模型、分析計算一次函數(shù)模型、再將這一模型拓展應用到現(xiàn)實生活中，這樣讓學生經歷運用一次函數(shù)的知識和方法分析問題、解決問題的過程，幫助學生進一步體會一次函數(shù)的模型思想，理解相關的知識與方法，豐富數(shù)學活動經驗，提高建模意識和建模能力。

五、數(shù)學核心素養(yǎng)之邏輯推理能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學生邏輯推理能力是提高學生核心素養(yǎng)的重要內容。為此，數(shù)學教師應該努力挖掘教材中蘊含的邏輯推理因素，根據中學生思維發(fā)展規(guī)律展開教學活動，重視培養(yǎng)學生邏輯推理的嚴謹性，讓學生在自主探究過程中不斷提高自己的邏輯推理能力。

如北師大版七年級上冊綜合與實踐課《探尋神奇的幻方》中，本節(jié)課的主要目標是要求學生借助字母表示數(shù)、探索規(guī)律揭示幾種簡單的三階幻方的本質特征及內在聯(lián)系。一方面，學生鞏固了有理數(shù)加法的法則和運算律;另一方面，學生通過調試數(shù)據，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)思維的邏輯性。

（一）從特殊到一般的推理

教學中，教師由簡到難地設計了三個活動。

活動一：如圖1，教師給出一個特殊的三階幻方，并連續(xù)提出以下四個問題。

①把幻方中的數(shù)字按照大小排列順序后，中間位置上的數(shù)字是誰？它在幻方中的位置如何？②這個幻方的幻和是多少？幻和與幻方正中間的數(shù)字有什么關系？③請仔細觀察這個幻方的數(shù)字之間有什么關系？它們能否相互轉化？怎樣轉化？④你能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使它們仍然滿足你發(fā)現(xiàn)的那些相等關系？

活動一是以問題串的形式幫助學生認識三階幻方，讓學生通過一個特殊的幻方體會滿足幻方的數(shù)字所蘊含的內在規(guī)律。學生通過獨立思考、組內充分交流后、選代表分析講解，展現(xiàn)他們的思維過程。

第一組的學生代表：我們組發(fā)現(xiàn)2和8、4和6、3和7、1和9配對出現(xiàn)在5周圍，此幻方四個角上的數(shù)字是偶數(shù)，剩下的四個格的數(shù)字都是奇數(shù)，如果再按照這樣的規(guī)律將數(shù)字的位置進行變化，依然可以構成幻方。（如圖3）

第二組學生代表：如圖4，由于每列的和，以及每條對角線的和都是15，所以兩條對角線的和與第二列的和相加得45，其中出現(xiàn)3次，第一、三行的數(shù)均各出現(xiàn)一次，故：3x+2×15=3×15，從而x=5，后面的思路和前面的同學一致。

第三組學生代表：我們組將這9個數(shù)分別為別用a，b，c，d，e，f，g，h，i表示（如圖5），

則（a+e+i）+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4，

即（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3e=60，即45+3e=60，得e=5從而確定中間的數(shù)字為5。

這樣從一個特殊的三階幻方引入，讓學生在特殊的幻方中發(fā)現(xiàn)蘊含的一般規(guī)律，學生經歷“從特殊到一般”“從具體到抽象”的歸納和抽象的過程，使學生在變化不定的特例中把握其不變的規(guī)律性，實現(xiàn)從特殊到一般的升華，在探究活動中提高學生的邏輯推理能力。

（二）從一般到特殊的推理

活動二：在圖6、圖7中，自主完成三階幻方。

活動三：請用1、4、7、10、13、16、19、22、25這九個數(shù)設計一個三階幻方。

在活動一中，學生發(fā)現(xiàn)了滿足幻方的數(shù)字之間所蘊含的一般規(guī)律，再利用這種規(guī)律和方法進行拓展應用，培養(yǎng)學生由一般到特殊地進行推理，活動二和活動三，在學生構造出幻方后，讓學生說清是如何構造的，通過這樣的過程可以很好地培養(yǎng)學生的邏輯表達能力和推理意識。以上三個活動中，教師始終關注學生的數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理、分析問題、解決問題等素養(yǎng)的落實和培養(yǎng)。

總之，基于核心素養(yǎng)的綜合與實踐課，教師要通過創(chuàng)設合適的教學情境，設計相應的數(shù)學活動，采用恰當?shù)慕虒W方法和策略，引導學生積極參與、獨立思考，從而內化為自己的數(shù)學知識結構，使數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)得到有效的落實。