借圖形變換 探作圖問題

張磊

[摘 要]翻折、平移、旋轉與縮放這四種圖形的運動，都是圖形變換.圖形變換的作圖包括軸對稱作圖、平移作圖、旋轉作圖與位似作圖.探析圖形變換中的作圖問題，可以讓學生熟悉各種類型的作圖方法，明白各類作圖的原理;可以培養學生的動手操作能力，讓學生直觀感受圖形變化后位置關系和數量關系的變化，在圖形變換的新情境問題中游刃有余.

[關鍵詞]初中數學;圖形變換;作圖問題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0029-02

翻折、平移、旋轉與縮放這四種圖形的運動都是圖形變換.圖形變換的引入，使圖形運動進入數學課程，要求學生從圖形運動的角度看全等三角形、平行四邊形、圓等幾何圖形，由過去的靜態幾何轉變為動態幾何.在圖形變換里，不僅學習了圖形變換的概念、性質與應用，還學習了圖形變換的作圖，包括軸對稱作圖、平移作圖、旋轉作圖與位似作圖.學生由已知圖形作出關于某一直線或某一點的變換圖形，能直觀感受圖形變化后位置關系和數量關系的變化，從而在圖形變換的新情境問題中游刃有余.

一、軸對稱作圖

由已知圖形與直線，如何作已知圖形關于此直線對稱的圖形呢？第一步，找出圖形中的關鍵點;第二步，過關鍵點作對稱軸的垂線;第三步，延長垂線，在垂線的另一端取相等的線段，得到對應點;第四步，其他關鍵點的對應點以此類推，順次聯結各點的對應點.軸對稱作圖的類型包括在網格圖里作已知圖形的軸對稱圖形.在既定圖形里以某邊為對稱軸作軸對稱圖形;在平面內作已知圖形的軸對稱圖形.

（1）在圖1格點中找一點E，由A、B、C、E四點構成的四邊形，如果是軸對稱圖形，那么符合題意的圖形有多少個？并寫出點E的坐標以及四邊形的面積;

評注：作軸對稱圖形重要的是找對稱軸，對稱軸可以是水平的、豎直的，也可以是傾斜的，本題的兩條對稱軸就是一水平一豎直.在已知直線上確定一點，使入射角等于反射角，方法就是找其中一個點的對稱點，將另一點與對稱點連成直線，所作直線與原始直線有一個交點，這個交點就是求作的點.

二、平移作圖

平移作圖的一般步驟是：（1）找出圖形中的關鍵點;（2）經過關鍵點作直線，這條直線要與已知線段平行;（3）在平行線上截取平移距離的長度，得到對應點;（4）順次聯結各對應點得到的圖形就是所求作的圖形.平移作圖的類型包括在網格圖中平移作圖，在既定圖形里平移圖形中的一部分，在平面內按指定的方向和距離平移作圖，等等.

[例2]如圖6，三角形ABC可通過平移得到三角形DEF，此時點A落在點D.

（1）請描述三角形ABC經過兩次平移后得到三角形DEF的過程.

（2）平移三角形ABC使點B落在點D，在圖7中作出平移后的三角形.

分析：（1）先沿水平方向平移再沿豎直方向平移;或者先沿豎直方向平移再沿水平方向平移.△ABC經過兩次平移后得到△DEF的過程為第一步向右平移，第二步向下平移，平移的單位分別為3個和6個單位長度;

（2）根據點B的對應點是點D，得到平移的方法，再依據平移方法將點A、C平移.如圖8所示.

評注：在網格里作圖，要充分利用網格里的水平線與豎直線所指示的方向，利用每個小正方形的邊長是1的距離，數一數格數就可以確定距離.題中顯示了平移作圖的兩種考法，一是已知平移作圖的結果，確定平移的方法;二是已知其中一點平移后的對應點，觀察得到平移方法，然后平移圖形.

三、旋轉作圖

旋轉作圖的一般步驟是：（1）找出圖形中的關鍵點;（2）聯結關鍵點與旋轉中心;（3）將連線按要求的方向與角度繞中心旋轉一定的角度;（4）在連線上截取相等的線段，得到對應點;（5）順次聯結各對應點得到的圖形就是所求作的圖形.

評注：從這里可以看出，旋轉與平移的關系，即一次旋轉加一次平移相當于一次旋轉.軸對稱、平移、旋轉之間的相互關系還包括如果對稱軸互相平行，那么兩次軸對稱相當于一次平移;如果對稱軸相交于一點，那么兩次軸對稱相當于一次旋轉.

圖形變換的作圖還包括位似作圖，即將一個圖形放大或縮小，它要求根據相似圖形對應邊成比例，在經過關鍵點與位似中心的直線上截取幾倍或幾分之一的線段.在圖形變換作圖中，一方面考查了學生的動手操作能力，另一方面也考查了圖形變換的性質，因為圖形變換的性質是圖形變換作圖的依據.熟悉各種類型的作圖方法，明白各類作圖的原理，才能讓學生在圖形變換的新情境問題中游刃有余.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 吳志鵬，陳玉蘭.快速作圖的四種策略[J].河北理科教學研究，2018（3）：27-29+45.

[2]? 張安軍.基于等邊三角形的尺規作圖下“圖形變換”的復習[J].數學教學，2018（3）：14-16.

[3]? 解榮蘭. 初中生數學作圖能力的研究[D].濟南：山東師范大學，2017.

[4]? 仇玉祥.透視中考? 聚焦網格? 巧妙作圖[J].新高考（升學考試），2014（2）：48-50.

（責任編輯 黃桂堅）