“APOS”模式下的 “一元二次方程”教學(xué)探索

李雪瓊

[摘? 要] “APOS”理論認為，學(xué)生針對概念的學(xué)習(xí)實際上是以概念為對象，促進自身完成對概念自我心理建構(gòu)的過程. 基于此，文章以“一元二次方程”的教學(xué)為例，以理論四階段在概念教學(xué)中的應(yīng)用展開全方位探索，并針對教學(xué)成效以及注意事項展開深入反思，希望能為其他一線教師提供教學(xué)借鑒.

[關(guān)鍵詞] “APOS”模式;概念教學(xué);一元二次方程

杜賓斯提出的“APOS”概念教學(xué)模式主要包括4個階段：活動、過程、對象以及圖示. 這一概念教學(xué)模式的核心是為學(xué)生營造良好的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生能夠置于情境中自主完成對概念的建構(gòu)，從而更精準(zhǔn)地把握概念的本質(zhì). 在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要對學(xué)生的思維進行引導(dǎo)，使他們親歷概念的探究過程. 將“APOS”模式應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，能夠達到事半功倍之效.

■ “APOS”模式下的“一元二次

方程”教學(xué)案例

1. 活動階段：借助問題情境，引導(dǎo)列出方程

（1）呈現(xiàn)問題情境

情境1：一塊長方形鐵皮，已知面積是5000平方厘米，長為100厘米，那它的寬是多少厘米？

情境2：分別在上述鐵皮的四個角上切割相同大小的4個小正方形，由此做成一個無蓋的長方體鐵皮盒，得到底面積為3600平方厘米的鐵皮盒. 求剪下的小正方形的邊長是多少厘米.

情境3：一座人體雕像高2米，上、下部分的高度之比與下部和全部的高度之比相同，則下部是多少米？

（2）引導(dǎo)列出方程

讓學(xué)生根據(jù)情境列出方程：對于情境1，假設(shè)所求的寬為x厘米，則所列方程為100x=5000;對于情境2，假設(shè)小正方形的邊長為x厘米，則所列方程為（100-2x）（50-2x）=3600;對于情境3，設(shè)下部是x米，則所列方程為4-2x=x2.

（3）組織小組討論

讓學(xué)生在小組內(nèi)對列方程的等量關(guān)系進行討論.

設(shè)計意圖？搖 “APOS”模式的第一階段為活動階段. 在這一階段，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)置問題情境引出活動學(xué)習(xí)內(nèi)容是關(guān)鍵. 以上教學(xué)片段，通過三個問題情境引出三個方程，緊扣學(xué)生的原有認知基礎(chǔ)，且能夠有效地激活學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從而為接下來的自主探究學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2. 過程階段：組織學(xué)生討論，引導(dǎo)對比分析

（1）呈現(xiàn)討論問題

上述三個方程有什么相同點和不同點？哪些方程是你們沒有學(xué)過的？

（2）組織討論分析

讓學(xué)生在小組內(nèi)分別對3個方程進行討論分析，學(xué)生得出以下結(jié)論：①這3個方程的相同點是都只有一個未知數(shù). ②第一個方程的未知數(shù)的次數(shù)是1，第二個方程和第三個方程的未知數(shù)的最高次數(shù)都是2.

（教師板書：一元一次方程？搖 一元二次方程）

設(shè)計意圖？搖 “APOS”模式的過程階段強調(diào)的是引導(dǎo)學(xué)生在自主活動中引出新概念. 這一環(huán)節(jié)的設(shè)計是為了有效喚醒學(xué)生已有的認知經(jīng)驗，讓他們在對比3個方程異同的過程中自主生成“一元二次”方程的概念. 這樣，基于類比概念的方式，學(xué)生初步體會到了一元二次方程的特點是只有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3. 對象階段：引導(dǎo)語言描述，把握概念本質(zhì)

“APOS”模式的對象階段就是要引導(dǎo)學(xué)生使用正確的數(shù)學(xué)語言對數(shù)學(xué)概念進行數(shù)學(xué)化表征，這是概念教學(xué)的關(guān)鍵所在，也是難點所在. 在教學(xué)中，筆者讓學(xué)生基于一元一次方程的基本形式對一元二次方程的形式進行表征.

（1）組織分組討論

一元一次方程的基本形式是ax+b=0（a≠0），那么，你覺得一元二次方程的基本形式是怎樣的？你能根據(jù)自己的理解對上述第二個和第三個方程進行變形嗎？

小組1：將第二個方程與第三個方程中的數(shù)字轉(zhuǎn)化為字母，可以得到（a-bx）（c-dx）=m或者a-bx=cx2.

（小組1的學(xué)生未能深入觸及一元二次方程的本質(zhì)，所以在數(shù)學(xué)表征上并不準(zhǔn)確）

小組2：通過和一元一次方程ax+b=0（a≠0）進行對比，可以得出一元二次方程的一般形式為ax2+bx=0.

（有學(xué)生認為第二個方程與第三個方程實際上與這種形式并不匹配，因為其后還有一個常數(shù)，所以不能將其視為正確的一般式）

小組3：應(yīng)當(dāng)將一元二次方程的一般形式寫成ax2+bx+c=0.

（要求學(xué)生對第二個方程以及第三個方程進行轉(zhuǎn)化，然后說一說其中包含幾個未知數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)，判斷其是否為方程. 當(dāng)學(xué)生完成對這些問題的充分考慮之后，很多學(xué)生認為這一表達式是正確的. 但是，在這些回答中并未涉及限定條件）

（2）深化概念理解

問題1：在這個一般式中，a是否可以為0？

在討論的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=0時，很顯然這個一般式中就不存在二次項了，由此明白其中應(yīng)存在限定條件a≠0.

問題2：在這個一般式中，b，c是否可以為0？

這一問題可以突出強調(diào)一元二次方程的基本屬性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)b或c等于0時，能夠得到ax2+bx=0，ax2+c=0，這是一元二次方程的特殊形式.

問題3：是否可以將等號轉(zhuǎn)化為其他符號，如大于符號或小于符號？

學(xué)生結(jié)合方程的定義明白等號不可以被替換. 在這一過程中，筆者進行拓展鏈接，讓學(xué)生明白：將等號轉(zhuǎn)化為其他符號時，會得到另一類式子，也就是一元二次不等式.

（3）促進概念內(nèi)化

通過上述探究活動，可引導(dǎo)學(xué)生自主完成一元二次方程概念的歸納以及總結(jié)：

①只包含一個未知數(shù)，且最高項次數(shù)為2，二次項系數(shù)不等于0;

②一般情況下，關(guān)于x的一元二次方程可以轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，這是其一般式.

設(shè)計意圖？搖 這一環(huán)節(jié)是本課教學(xué)的主環(huán)節(jié). 在這一環(huán)節(jié)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生對一元二次方程的一般式進行自主化表征，這樣，他們在這個過程中就能對“一元二次”方程的本質(zhì)進行理解，且他們在這個過程中經(jīng)歷了數(shù)學(xué)對比、數(shù)學(xué)遷移、數(shù)學(xué)分析的過程，促進了他們數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.？搖？搖？搖？搖？搖

4. 圖式階段：設(shè)計層次練習(xí)，引導(dǎo)概念應(yīng)用

在本課的教學(xué)中，筆者為學(xué)生設(shè)計了以下練習(xí)：

（1）將方程5x（x-1）=4（x+2）轉(zhuǎn)化為一般式.

（2）什么條件下方程（2a-4）x2-2x+a=0為一元二次方程？什么條件下其為一元一次方程？

（3）一扇長方形門的高比寬長6尺8寸，對角線為一丈，分別求其高和寬.

（4）基于（16-2x）（10-2x）=112，聯(lián)系實際編寫一道應(yīng)用題.

設(shè)計意圖？搖 “APOS”模式的最后階段是圖示階段，在這一階段中，引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)及應(yīng)用中形成概念圖示是重點. 這四道練習(xí)題緊緊圍繞一元二次方程概念的本質(zhì)，具有一定的梯度，能讓學(xué)生在練習(xí)的過程中對一元二次方程的概念形成正確的心理圖示.

■ 對“APOS”模式下“一元二次

方程”教學(xué)的反思

在本課的教學(xué)中，基于“APOS”模式對一元二次方程展開教學(xué)，實現(xiàn)了有效的循序漸進，同時能對學(xué)生的思維形成引領(lǐng)，親歷概念具體的生成過程，不僅架構(gòu)了多維的思維活動，而且有助于深化學(xué)生對概念的理解和認知，自主完成概念建構(gòu). 數(shù)學(xué)這門學(xué)科最突出的特點在于抽象性，對師生而言，在實際教學(xué)過程中，必然要經(jīng)受抽象的考驗. 如果不能徹底解決抽象性的問題，一旦學(xué)生的思維度不夠，便不利于其理解數(shù)學(xué)知識. 但是如果僅以這一理由，便抹去其誕生的現(xiàn)實背景，那也只能視為片面認知. 所以，在具體的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生搭建平臺，這樣才能促使其親歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生以及發(fā)展過程，同時應(yīng)設(shè)計合理的情境，因為只有將數(shù)學(xué)活動置于真實的情境中，才能幫助學(xué)生深入觸及概念本質(zhì).

1. 設(shè)計問題情境，引出數(shù)學(xué)活動

對于數(shù)學(xué)活動的開展，首先需要結(jié)合問題情境. 問題情境不僅要以此揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實背景，還應(yīng)當(dāng)能夠呈現(xiàn)完整的形成過程. 此外，應(yīng)當(dāng)與學(xué)生已有的學(xué)習(xí)能力以及心理建構(gòu)能力相匹配，這樣，學(xué)生在置身于相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動中時，才能獲得更豐富的體驗，才有助于激發(fā)主動參與學(xué)習(xí)和探究的興趣.

2. 經(jīng)歷探究過程，提升數(shù)學(xué)思維

在揭示概念誕生的過程中，數(shù)學(xué)思維方法是其關(guān)鍵所在，同時也是促使學(xué)生自主建構(gòu)概念的主線，所以，教師應(yīng)當(dāng)立足于實踐，為學(xué)生提供思維引領(lǐng)和點撥，這樣學(xué)生才能自主完成歸納總結(jié)，才能結(jié)合巧妙的設(shè)計，促使學(xué)生對所學(xué)知識展開反思，由此才能脫離現(xiàn)下的活動、過程階段，成功地向?qū)ο箅A段過渡.

3. 堅持循序漸進，激發(fā)創(chuàng)新意識

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，必須要實現(xiàn)階段式跨越，而其間必然要經(jīng)歷多次反復(fù)，因此是一個循序漸進的長期過程. 建立對象時，首先要確保簡潔的語言形式，或者以符號來表達，這樣才能為學(xué)生架構(gòu)直觀且豐富的結(jié)構(gòu)表象. 當(dāng)然，在概念的教學(xué)實踐中，并非所有的概念都需要呈現(xiàn)或者經(jīng)歷所有的階段.

“APOS”理論的建立是以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)的，在實際的教學(xué)過程中，筆者感受到自身在角色以及任務(wù)方面的轉(zhuǎn)變，其不僅僅是為了向?qū)W生傳授知識，更重要的是要搭建良好的平臺，使學(xué)生感受到自己在這一過程中的主體地位，從而實現(xiàn)主動發(fā)現(xiàn)、主動學(xué)習(xí). 同時，師生之間應(yīng)當(dāng)建立伙伴關(guān)系，這樣，所營造的學(xué)習(xí)氛圍才能平等和諧，才有助于發(fā)展學(xué)生的個性，提高其創(chuàng)新能力.

總之，“APOS”模式在初中概念教學(xué)中的應(yīng)用，能夠有效地激發(fā)教師的創(chuàng)新意識，充分展現(xiàn)教學(xué)智慧，有助于和學(xué)生建立伙伴關(guān)系，能引導(dǎo)他們在課堂上對數(shù)學(xué)概念進行自主化數(shù)學(xué)探究.