從差距分析談《數學分析》的對分教學

常健 高麗

摘?要：本文介紹了學生在學習過程中，從學習起點到目標的差距類型。以數列極限的內容為例，探討了對分課堂在《數學分析》課程中跨越各類差距的策略。

關鍵詞：對分課堂;數學分析;差距分析

一、《數學分析》課程介紹

《數學分析》是高校數學類專業重要的一門專業基礎課，是連接初等數學與高等數學的橋梁，是進一步學習實變函數、復變函數、泛函分析、微分方程、概率論、微分幾何以及數值分析等后繼課程的階梯。

課程的教學目標是使學生獲得函數的極限理論、一元函數微分學和多元函數微分學、一元函數積分學和多元函數積分學、反常積分、無窮級數等方面的理論知識。并在學習知識的過程中，訓練學生的計算能力、思維能力、邏輯推理能力、應用所學知識的能力、創新能力以及獨立工作能力，逐步培養學生良好的數學素養。

當前，學生學習這門課程存在的問題有：與中學數學相比，教學內容較抽象，概念、定理多;數學推理遵循的原則有很大的區別;課程進度快，習題難度大;教師監管與中學不同等等，這些因素使得數學分析學習比較枯燥、無味、難學;學生的學習積極性不高，動力不足，興趣不濃及畏難情緒普遍存在。

二、差距類型

學習《數學分析》的過程，起點就是學生從高中步入大學階段的狀態，終點是通過課程的講授與作業的練習，使學生正確理解《數學分析》的基本概念，清楚基礎理論，掌握命題的論證方法，獲得基本的演算技能，并具備初步的應用能力和解決問題的能力。差距就是學生當前的起點和希望到達的終點之間的距離。

學生存在的差距類型有：（1）知識差距，掌握了知識才能使學生進行有效學習，擁有知識只是學習的第一步，只有在學生使用這些知識分析問題，解決問題時，才能使知識本身具有意義。（2）技能差距，學生從書本或課程里獲得知識，但沒有獲得實際練習和發展技能的機會，學生只有通過訓練才能掌握一項技能，而且練習應該是學生學習過程的一部分。（3）動機差距，如果學生知道應該如何去做，但卻不愿意去做，這就是動機差距。有很多原因導致動機差距的，有的是學生沒有真正地認同其學習的結果或目標;有的是由于對變化的焦慮;有的是學生不想努力;有的是學生缺乏引導自身成功的規劃等。（4）習慣差距，習慣是一種經常遵循從而形成自然的后天行為，且并非與生俱來。習慣的養成不容易，而一旦養成，便有很強的慣性，改變更加不易。習慣的養成通常需要實踐和反饋。（5）環境差距，環境差距會有許多不同的表現形式，例如，當學生在自己的學習環境，是否能夠得到相應的支持，如學習內容，參考資料和輔助工具？學生是否有所需要的相關資源以及技術？學生是否能夠從改變中得到相應的鼓勵和獎勵？改變會隨著時間的推移而增強嗎？（6）溝通差距，是指無法準確清晰地傳達目標，找不到正確的方向和指示。

三、對分課堂

2014年復旦大學心理系張學新教授，融合了講授式課堂與討論式課堂的優點，提出了稱為“對分課堂”的教學新模式。其核心理念是把課堂一半的時間分配給教師講授，另一半分配給學生以討論的形式進行交互式學習，將教學在時間上分離為清晰的三個過程：講授（Presentation）、內化吸收（Assimilation）和討論（Discussion）。因此，“對分課堂”也可簡稱為PAD課堂。

對分課堂是四元教學，即講授、獨學作業、討論和答疑。對分的講授原則主要是精講和留白，對分的精講就是指框架、重點和難點，提供方法、技巧與策略，讓學生能夠更為有效地完成課后學習。作業是講授之后知識的鞏固以及小組討論的準備環節，它的目的是引導和督促學生課后有目的地復習，理解基本內容，補充留白知識，為進行深入且有意義的小組交流討論做鋪墊。對分作業還包括另一個新的部分，稱為“亮考幫”。學生在聽課、復習、完成常規作業后，要總結出自己在學習過程中感受最深、受益最大、最欣賞的內容，稱為“亮閃閃”;自己已經掌握了，但是覺得別人有可能存在困惑的地方，提出問題，用來挑戰別人，稱為“考考你”。自己不懂、不明白的地方或有思維混亂的內容，提出相關問題，在討論時需要同學幫助，稱為“幫幫我”。討論要求學生根據作業，特別是亮考幫，針對各自的收獲心得和疑難問題，互相切磋交流，共同解決問題。小組討論時，教師可以巡回督促、指導所有學生認真參與，但不過多進行干涉。答疑，教師解答大多數同學的共性問題，著重講解學生遺漏的、需要深化、提升的內容。

四、對分課堂解決差距

以華東師范大學數學系編的《數學分析》第四版，第二章“數列極限概念”為例。本節內容的學習目標是：學生能夠描述數列極限的定義，會使用數列極限的ε-N定義，證明數列極限的存在性。

（一）知識差距：描述數列極限的ε-N定義，會用ε-N定義證明數列極限的存在性

對分課堂的第一環節——精講留白，減少知識差距。講授數列的定義，數列極限的背景，數列極限的ε-N定義，數列極限的幾何定義，無窮大數列的定義，選取三個典型例題，難度依次遞進，講解如何根據ε-N定義驗證數列極限。留白數列極限定義中ε與N的作用以及兩者之間的關系，無窮小數列的定義，正（負）無窮大數列的定義。教師進行框架式的講授，講解學習目標、內容的邏輯結構，告訴學生學什么;教師通過典型例題為學生提供相應的方法、解題的技巧和策略，告訴學生如何學，使得學生能夠更加有效地掌握學習內容，逐步學會反思和優化自己的學習過程。

第二、三環節——獨學、作業以及小組討論，可以進一步減少知識差距。學生通過課下學習課本及資料，在老師講解的知識框架的基礎上，填充老師的留白內容，完善整體內容，構建自己的知識結構。小組討論要求學生圍繞自己的作業，特別是“亮考幫”，針對各自的收獲和疑難問題，互相切磋，交流學習，解決小組內較簡單的問題，提出小組的共同疑難問題。通過這兩個環節，學生對知識的掌握進一步得到鞏固，修正。

第四個環節——答疑，教師邀請全班自由發言，小組代表提出本組的問題，其他小組已經解決的，可以幫助回答。答疑環節的主要目標是發現全班的共性問題，給予透徹解決，保障課堂效率和教學質量。此時，學生解決了自己的疑問，完善了所學的知識內容，基本消除知識差距。

（二）技能差距：解決ε-N定義證明數列極限的問題

提高技能的方法有兩個主要組成部分——練習和反饋。對分課堂的第二個環節是獨學作業，通過完成作業，練習使用ε-N定義驗證數列極限，提高技能，減少差距。為了使實踐練習是真正有效的，學生需要有人來檢查他們做得正確與否。這對于技能的提高是非常重要的。因為如果實踐練習是錯誤的、不正確的，那還不如不練習，否則只會鞏固錯誤。通過小組討論，小組成員的溝通與交流，對自己疑慮的解答及解決別人的問題，可以得到同伴的反饋信息;最后，老師的答疑，解決學生們的共性問題，可以獲得老師反饋信息，進而提高學習技能。

（三）動機差距，提高學生的學習積極性

對分課堂獨學，作業以及小組討論環節，突出了學生自我學習的過程，學生通過課堂上教師講授，獲得知識的基本框架，理解重點、難點，大大降低了課后復習的學習難度，減輕了學生獨學的負擔。學生要帶著作業及問題參加討論，受朋輩壓力，課下學習會更積極主動，認真思考。課下學習目標明確，但何時學、學多少、如何學，根據學生自身的個體差異，學生自己安排，自主性強。因此，學習過程中給學生一定的權利和自由，讓學生主動參與，自我規劃，自我掌控，以激發學生的學習積極性。

（四）習慣差距，培養認真聽講，獨立思考，溝通協作等良好習慣

對分課堂精講環節，教師講授知識的框架、重點和難點，需要學生認真聽講，為獨學作業打好基礎;學生經過獨立思考，完成作業，提出問題，為小組討論做好鋪墊;根據自己的問題，積極參與小組討論，與小組成員溝通交流，碰撞出思想火花，提出小組共同的疑難困惑，培養了學生的批判性思維、創新性思維，學會了與小組成員協同工作，作提升了溝通與人際交往能力。

（五）環境差距，創造支持學生達到學習目標的環境

對分課堂的評價方式側重學生對于學習的投入情況，同時承認并且保護學生在獨立學習時產生的個性化差異，這一評價方式有助于避免有些學生由于基礎薄弱而產生厭學的情緒，保護了學生的自信心，促使學生根據自己的水平設定自己的目標，實現自我突破。另外，對分課堂可以結合MOOC平臺或微課，為學生提供學習資源。

五、結語

對分課堂融合講授法和討論法，既強調教師必要且不可缺少的指導作用，也充分發揮了學生的主動性，保證知識體系的有效傳遞。對分課堂解決了學生學習過程中知識、技能、動機、習慣及環境等差距，是學生達到學習目標的有效教學模式。

參考文獻：

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基金項目：延安大學一流課程建設項目（YDJKXX20-11）

作者簡介：常健（1975—?），女，漢族，陜西榆林人，碩士，副教授，研究方向：數學教育。