發展空間想象 構建積分思想

吳昊

“圖形與幾何”內容的學習都指向空間觀念的培養，發展學生的空間觀念是《課程標準》中的一個重要目標，而學生空間觀念的形成會直接促進學生思維能力的發展。數學教學中學生究竟應該怎樣學，才能使空間觀念得以形成，空間想象力得到更快地發展？圓柱的認識，是學生思維從二維到三維的又一次提升。本文就從“學生的知識現實出發，打破僅僅通過靜態的觀察與操作來認識立體圖形的方法，巧妙融入積分思想，以運動變化的全新視角組織教學”這一角度來談一談如何引導學生經歷三次積分變化，真正讓其在觀察、想象、推理和圖形的相互轉換中深刻認識圓柱體，發展空間觀念。

一、“以動思定”重聯系，抽象分析底面積分

培養學生的空間觀念，其終極目的就是發展學生的空間想象力。如何引導學生由原本“圓面”的認識過渡到“圓柱體”的認識，發展空間觀念，培養空間想象能力尤為重要。

1.經驗對接，想象中認識圓柱體

空間觀念的根應該是空間想象力，因此新課伊始，我迥異于傳統的以觀察、操作模型為主要手段的圖形認識的教學，而是從學生熟悉的長方體出發，讓學生發揮想象，想象在長方體的上面畫一個最大的正六邊形，并垂直地切下去，形成的圖形會是什么樣子？而后繼續想象在上面畫一個最大的正八邊形并垂直地切下去形成的圖形的樣子，想象還在繼續……當畫出的正多邊形的邊數不斷增加，達到無數條，再垂直地切下去，你會想到什么？當然是圓柱體。這樣學生在幾次想象與課件動態化的呈現中，對圓柱的幾何體形成初步的感知，為后面的底面積分做好了充分的鋪墊，同時發展了學生的空間想象力。

2.動態疊加，深刻感悟面聚成體

思考和想象等思維活動是發展空間觀念的重要條件，教學中待學生在“看一看、摸一摸”等活動發現圓柱體有兩個圓形底面，并猜想它們的大小相等時，教師抓住契機引導學生進行驗證。當學生通過操作、推理得到圓柱體兩個底面的大小完全相等時，教師并沒有止步，而是引導學生邊想象邊驗證，經歷多次底面定積分，在動態變化中建立底面與高的聯系。

二、“線聚成面”促提升，體驗應用曲面積分

《課程標準》中指出，通過觀察、想象、操作、比較、歸納、概括、推理等方式認識立體圖形，有助于學生發展能力，初步體會數學的思想方法，發展積極的情感與態度。因此在教學圓柱體的側面時，我是這樣設計的：

1.操作想象，推理線聚成面

學生在得到無數個高不同的圓柱體后，我讓學生在準備的圓柱體模型上指出高，并盡可能多指出一些高。接著讓學生靜下心來想一想，圓柱的高究竟有多少條？學生發現圓柱體像這樣的高有無數條。教師繼續追問：像這樣的（指著模型的側面上的一條高）無數條高在哪里？（生：側面）側面在哪兒？在學生動手摸圓柱體的側面的過程中，巧妙地將線與面進行溝通，繼而教師通過演示在圓柱體模型上畫一條高、兩條高、三條高……讓學生觀察并想象：當這樣的高達到無數條時你想到了什么畫面？學生順應教師的思維必定會“看到”：無數條高緊緊排列在一起形成了一個側面，而后再將這側面上的無數條高引向內部的無數條高。有人說：”沒有想不到的，只有做不到的?！蓖高^這個片段，我們看到，學生在教師直觀操作和巧妙的問題引領下，經歷“觀察—操作—想象”的數學活動的過程，并通過想象，經歷側面的形成過程，體悟曲面積分思想，做到真正意義上的發展空間觀念。

2.對比體驗，揭示概念本質

為了更深刻地理解側面、底面兩個概念的本質，我借助一個小實驗幫助學生體悟：將兩個完全相同的圓柱體放在斜面上，一個圓面接觸斜面，另一個側面接觸斜面，先猜想如果兩個圓柱同時滑落下來，會出現什么情況？通過動態演示，使學生直觀感受側面與底面的不同，漸次抽象認知材料，并通過再次回顧側面的形成過程，體悟“曲”和“平”的本質區別，使學生比較準確地把握這一知識點的內涵和外延。

三、“慢中追遠”求發展，透視想象切面積分

在幾何知識教學中，高維的圖形可以由低維的圖形運動變化得到，讓“隱藏”的知識“呈現”起出來。通過直觀的圖像、鮮艷的色彩，刺激學生的多種感官，促使學生積極思維、大膽想象、優化教學效果。

1.玩中想象，體驗面動成體

無論是傳統教材還是新教材在“圓柱的認識”這一課都有意識地通過游戲搭建長方形與圓柱體之間的聯系。因此教學時引入兒時的小游戲：在一根小棒上黏上一張長方形卡紙，然后快速轉動小棒。并提出：你能想象出旋轉后得到的圖形是什么嗎？以此來激活學生已有的生活經驗，引導學生用數學的眼光觀察生活，實現“數學化”的學習過程。

2.透視想象，滲透積分思想

學生的幾何思維水平的發展是循序漸進的，什么時候需要快？什么時候需要慢？是一個值得思考的問題。本片段教學從旋轉的角度認識圓柱體，起初的快速旋轉，讓發現旋轉得到的是圓柱體，體會圓柱體與長方形的聯系。而后動態展示慢鏡頭旋轉過程，感悟無數個類似長方形切面的小區間積分成體的動態過程。

3.變換角度，體悟切面積分

生活中的圓柱體是看不到里面的長方形的，如果想看到，只能靠動手切。讓學生模擬操作切的方法，自主找到切面。同時思考：切開后看到的長方形與它所在的圓柱體有著怎樣的關系？以此來借助面分析體，從外到內，深度剖析圓柱體，加深對圓柱體的認識。思考還在繼續，除了能切出長方形，還能切出什么圖形？怎樣切？這樣就聯系到了前面的圓形底面積分形成圓柱體，學生會想到切出的圓面和底面完全相同，想著這樣切一刀得到兩個圓柱體，切兩刀得到三個圓柱體……切n刀，得到（n+1）個圓柱體，再次體悟底面積分的思想。

學生經歷兩次切的過程，有層次地清晰的認識圓柱體的特征，通過動眼、動手、動腦、動口有序地探究，使圓柱體的特征深刻地進入學生的頭腦中，形成鮮明深度的認識。

整節課，通過平移成面，旋轉成體，給學生指出認識立體圖形的思想方法動向，依托多次空間想象，滲透積分思想，讓學生體驗從運動變化的視角認識圖形特征的基本方法，從而循序漸進地培養和發展學生的空間想象力。