于多元比較中度量速度，借直觀感悟助模型建構(gòu)

代益梅

[摘 要]結(jié)合楊悅婷老師執(zhí)教的新世紀(jì)北師大教材“路程、時(shí)間與速度”一課，再次認(rèn)識(shí)“度量”，聚焦“速度”，從“度量”的視角進(jìn)行品鑒與解讀，解惑兩個(gè)“為什么”：“為什么核心詞是速度，而不是路程與時(shí)間”“為什么要聚焦本質(zhì)，直觀感悟?qū)訉咏?gòu)，而不要更多的模型變式操練”，進(jìn)而提煉“度量速度”的策略——多元比較、直觀感悟等。

[關(guān)鍵詞]度量速度;模型建構(gòu);比較;直觀

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）05-0020-04

一、從“度量”的視角思考：為什么核心詞是“速度”，而不是路程與時(shí)間？

1.關(guān)于“度量”的再認(rèn)識(shí)

參加了新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)“悅讀”的主題活動(dòng)——“度量”后，我深深感受到自己的“才疏學(xué)淺”和“孤陋寡聞”。原來(lái)，我以為“拿尺子量長(zhǎng)度”“拿量杯測(cè)容積”“數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方格量面積”……這些表面操作行為就是度量。而經(jīng)過(guò)密集式的學(xué)習(xí)，翻閱了一些資料，我重新理解了“悅讀”活動(dòng)中 “度量” 的含義與英文measurement的含義比較一致——指計(jì)量長(zhǎng)短、容積、輕重等物體屬性的統(tǒng)稱，以及“度量”的本質(zhì)在于“表現(xiàn)事物某些指標(biāo)的順序”，而且還可以大體分為數(shù)量度量（通過(guò)抽象得到其度量單位）和工具度量（借助工具得到其度量單位）。更令我驚訝的是“路程、時(shí)間與速度”一課歸于“工具度量”的內(nèi)容，竟然也可以從度量的視角來(lái)解讀和建構(gòu)這堂課。

2.關(guān)于“速度”的再挖掘

為了使學(xué)生理解起來(lái)更加容易，課程標(biāo)準(zhǔn)和教材編者設(shè)立了一個(gè)大前提：默認(rèn)小學(xué)階段的路程模型中，研究的物體運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，且初學(xué)時(shí)暫不考慮路程的方向，把路程作為一個(gè)標(biāo)量而不是矢量（位移）;把物體運(yùn)動(dòng)速度看作均勻的;把時(shí)間視為絕對(duì)的，不涉及觀察者的角度等。在以上這些大前提下再?gòu)亩攘恳暯浅霭l(fā)：“路程”的本質(zhì)就是度量物體作直線運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度;“時(shí)間”的本質(zhì)就是度量事件過(guò)程的長(zhǎng)短和發(fā)生的順序;“速度”的本質(zhì)就是度量物體運(yùn)動(dòng)的快慢。

3.關(guān)于教材的再解讀

九年前，我在一次成都市數(shù)學(xué)賽課中參與了 “路程、時(shí)間與速度”一課的打磨，貢獻(xiàn)了一個(gè)“金點(diǎn)子”——借助歸納法（8千米/秒，8千米/分，8千米/時(shí)）抽取速度的描述性定義：物體在單位時(shí)間內(nèi)所行駛的路程就是速度。時(shí)隔數(shù)年，我發(fā)現(xiàn)自己當(dāng)時(shí)對(duì)這一課的解讀實(shí)在很淺薄，一味追求“比較兩輛車誰(shuí)跑得快”的方法多元化，簡(jiǎn)單粗暴地提煉出速度的計(jì)算公式后，就借助習(xí)題推導(dǎo)出另外兩個(gè)關(guān)于時(shí)間和路程的衍生公式，沒(méi)能直接從“度量”視角來(lái)深度解讀這一課。

史寧中教授提到：在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，至少需要考慮兩個(gè)模型，其中一個(gè)就是“路程模型”，既然模型以“路程”來(lái)“冠名”，為什么各個(gè)版本的教材在編排路程模型的內(nèi)容時(shí)幾乎都圍繞“速度”這個(gè)核心詞來(lái)切入？再者，在這個(gè)“路程（距離）=速度×?xí)r間”的乘法模型中，就單純的物理意義而言，變化的只有“時(shí)間”，為什么不抓這個(gè)“時(shí)間變量”來(lái)引入？在研讀教材的過(guò)程中，我找到了答案。

以新世紀(jì)北師大教材第79頁(yè)“路程、時(shí)間與速度”為例，教材首先是結(jié)合三個(gè)動(dòng)物競(jìng)走的情境，提供頗有意義的三組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生猜誰(shuí)走得最快。這里一開(kāi)始就提問(wèn)“誰(shuí)走得最快？”，是緊扣“速度”的本質(zhì)——“速度度量物體運(yùn)動(dòng)的快慢”來(lái)設(shè)計(jì)的，讓學(xué)生利用多種策略比較快慢的同時(shí)初步感知速度的本質(zhì)，體會(huì)競(jìng)走運(yùn)動(dòng)的快慢與時(shí)間和路程有關(guān)。

在鋪墊之后，緊接著拋出難點(diǎn)問(wèn)題——競(jìng)走路程和時(shí)間都不同的情況下，如何比較誰(shuí)走得快（松鼠和小兔比快慢）？通過(guò)求兩只動(dòng)物的“平均速度”來(lái)比較快慢，引導(dǎo)學(xué)生用除法計(jì)算的結(jié)果來(lái)比較，契合前面提到的路程模型的假設(shè)大前提——物體作勻速運(yùn)動(dòng)，并得出求速度的公式。

再通過(guò)速度的度量單位構(gòu)成，以及滲透生活中常見(jiàn)的速度，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到速度與路程和時(shí)間的關(guān)系，更深刻地認(rèn)識(shí)到，路程和時(shí)間是可以通過(guò)度量工具進(jìn)行直接度量的;而速度則是間接度量，通過(guò)路程和時(shí)間這兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)相匹配的屬性的一次度量之后，來(lái)度量運(yùn)動(dòng)時(shí)的快慢。或許正是因?yàn)椤八俣取边@個(gè)物體運(yùn)動(dòng)屬性的復(fù)雜性、豐富性和關(guān)聯(lián)性，且“時(shí)間”這個(gè)概念學(xué)說(shuō)不停歇爭(zhēng)論的矛盾性，對(duì)于“路程模型”的內(nèi)容，編者均從“速度”切入（圖略）。

在查閱教師執(zhí)教相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)實(shí)錄過(guò)程中，我從成都市泡桐樹(shù)小學(xué)楊悅婷老師的教學(xué)中品出其蘊(yùn)含“度量”的芳香，下面節(jié)選其中二三精彩環(huán)節(jié)展開(kāi)論述。

二、從“度量”的視角品鑒與解讀：為什么要聚焦本質(zhì)，直觀感悟?qū)訉咏?gòu)，而不要更多的模型變式操練？

在楊老師的課堂中，每個(gè)看似“簡(jiǎn)約”的設(shè)計(jì)背后都飽含精巧的思維布局。不論是從頭到尾的逐層建構(gòu)模型，還是關(guān)鍵之處的幾何直觀感悟，從“度量”的角度細(xì)細(xì)品鑒，她整堂課無(wú)時(shí)不在貼近“速度”的本質(zhì)和理解路程模型中三者的關(guān)系。

1.于微視頻中觸摸“速度”的激情

在整堂課的教學(xué)中，楊老師均借助信息化手段制作和播放微視頻，運(yùn)用智慧HI-TEACH軟件的反饋功能和大數(shù)據(jù)分析，精準(zhǔn)把握學(xué)情，逐層建構(gòu)路程模型。

【片段1】將一段含有6個(gè)速度的微視頻《你的第一感覺(jué)是什么？》作為獎(jiǎng)品獎(jiǎng)勵(lì)給全體學(xué)生。

師（播放微視頻，略）：看了這段視頻，你的第一感覺(jué)是什么？

生1：賽車開(kāi)得很快。

師：說(shuō)得很好，用了一個(gè)字“快”。

生2：變臉很快，14秒變了28張臉。

師：也說(shuō)到了一個(gè)“快”。請(qǐng)舉例讓你印象最深刻的東西。

生3：烏龜爬得非常慢，1分鐘才爬1米。

師：你們說(shuō)到的快和慢，其實(shí)是什么？

生（齊）：速度。

師（揭題）：今天我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)速度。在生活當(dāng)中，物體的快慢可以用速度來(lái)表示。

解讀——微視頻：讓“速度”親民，讓“度量”入心

在開(kāi)課環(huán)節(jié)，一段含有6個(gè)速度的微視頻《你的第一感覺(jué)是什么？》讓學(xué)生真切感受到生活中處處有“速度”，速度很親民，同時(shí)也在捕捉學(xué)生發(fā)言的關(guān)鍵字“快”和“慢” 中順勢(shì)揭題：物體運(yùn)動(dòng)的快慢，可以用速度來(lái)度量。微視頻中的6個(gè)速度不僅有快速度，有慢速度，而且每個(gè)速度均配了一句話，比如“1小時(shí)行駛300千米”“1分鐘爬了1米”等，每句話介紹速度時(shí)，都出現(xiàn)了跟它相關(guān)聯(lián)的時(shí)間單位和路程單位，學(xué)生在觀看了微視頻后就能夠初步感知到度量每一個(gè)“速度”，都涉及“千米、米”等這些“路程”相關(guān)量和“時(shí)、分、秒”等時(shí)間相關(guān)量。這里要特別提出，微視頻里還有一個(gè)特殊的“變臉?biāo)俣取薄?4秒變28張臉”，嚴(yán)格意義上來(lái)講，這不直接屬于理工學(xué)意義上的“速度”，可以看作從這個(gè)路程模型衍生的“工程問(wèn)題”，度量的是工效，即工作速度。

同時(shí)，信息化技術(shù)的應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引了學(xué)生的注意力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更親民，讓學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

2.于比較中逐層完善路程模型的建構(gòu)

【片段2】把教材的動(dòng)物競(jìng)走比快慢的主題圖，調(diào)整為三位老師（楊、彭、陳）比較速度，并請(qǐng)全體學(xué)生投票。首先，只出示表格中三位教師所用的時(shí)間，請(qǐng)學(xué)生比較后給速度快的投票。

師：誰(shuí)的速度快？①、②、③分別對(duì)應(yīng)楊、彭、陳老師，④是“無(wú)”，請(qǐng)投票。（絕大多數(shù)學(xué)生選④）

師：能說(shuō)說(shuō)為什么選擇④嗎？

生1：因?yàn)樗鼈冎挥蟹昼?，沒(méi)有多少米，所以我無(wú)法判斷。

生2：我聽(tīng)懂了生1的發(fā)言，上面給出的三位老師的數(shù)據(jù)只有時(shí)間，沒(méi)有路程，所以并不知道他們走了多少米。

師：學(xué)會(huì)傾聽(tīng)且能將其轉(zhuǎn)化成自己的語(yǔ)言，很棒。有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的說(shuō)法？

生3：我想說(shuō)缺少了一個(gè)“成分”，那就是路程。

師：如果需要知道“速度”，需要幾個(gè)“成分”？

生（齊）：兩個(gè)。路程和時(shí)間。

師：速度與兩個(gè)量都有關(guān)，它與我們之前說(shuō)的質(zhì)量的輕重、距離的長(zhǎng)短不一樣，要刻畫速度的快慢，需要知道相應(yīng)的路程和時(shí)間。

師（出示三位老師相對(duì)應(yīng)的路程信息）：現(xiàn)在能判斷了嗎？

（學(xué)生小組合作：6個(gè)組用除法計(jì)算;1個(gè)組用線段圖，2個(gè)組用簡(jiǎn)要文字）

師：用得最多的是三個(gè)除法算式，請(qǐng)第六組具體說(shuō)一說(shuō)。

生4：路程就相當(dāng)于我們?cè)瓉?lái)學(xué)的總數(shù)（總量），時(shí)間就相當(dāng)于份數(shù)，速度就表示每一份數(shù)。

師：那速度就等于什么？

生4：速度就等于路程除以時(shí)間。

師：有補(bǔ)充嗎？

生5：也就是總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)。

（生4繼續(xù)解釋三個(gè)除法算式中每個(gè)數(shù)量所表示的意思）

師：第六組發(fā)言中有沒(méi)有值得我們借鑒和學(xué)習(xí)的地方？

生6：他們化新為舊了，把今天學(xué)習(xí)的路程變成了之前學(xué)的總數(shù)，把時(shí)間變成了份數(shù)，把速度變成了每一份數(shù)。

師：非常好，善于傾聽(tīng)和評(píng)價(jià)。那速度到底是怎么得到的呢？

生（齊）：路程÷時(shí)間=速度。

師：這里的60、70、80又分別代表了什么？

生7：分別代表他們一分鐘走的路程。

（第九組分享他們的比較策略：首先，發(fā)現(xiàn)彭老師和陳老師走的路程一樣，彭老師用時(shí)比陳老師多，通過(guò)這兩位老師的對(duì)比之后淘汰彭老師，就只剩下楊老師和陳老師;然后，通過(guò)楊老師走的路程和他所用的時(shí)間，計(jì)算出楊老師每分鐘走70米，通過(guò)陳老師所走的路程和他的用時(shí)，算出陳老師每分鐘走80米;最后，由對(duì)比得出陳老師的速度是最快的。）

師：簡(jiǎn)而言之，路程相同就比時(shí)間。時(shí)間用得短，說(shuō)明速度怎么樣？再看看楊老師和彭老師所用的時(shí)間。

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)楊老師和彭老師用的時(shí)間相同;教師引出比較策略：時(shí)間相同比路程）

師：好！在比較快慢時(shí)，除了利用這樣一個(gè)關(guān)系式直接算速度，我們還可以根據(jù)路程相同比時(shí)間，時(shí)間相同比路程來(lái)看快與慢?？墒牵瑹o(wú)論用什么方法，都說(shuō)明了速度與路程、時(shí)間都有關(guān)。

【片段3】在深度分享了學(xué)生對(duì)“速度”的幾何直觀理解之后，以比較兩個(gè)10米來(lái)引出速度單位的學(xué)習(xí)。

師：你認(rèn)為誰(shuí)的速度快？

生1：我選③，因?yàn)樗鼈儍蓚€(gè)數(shù)據(jù)都一樣。

生2：我選①，因?yàn)?00÷10和30÷3中，100這個(gè)數(shù)據(jù)表示的路程要大一些。

生3：我選④，因?yàn)槲也恢兰缀鸵业膯挝皇遣皇且粯拥摹?/p>

師（出示速度的“主人”）：我現(xiàn)在告訴你，甲是博爾特的速度，乙是蝸牛的速度，根據(jù)常識(shí)，哪個(gè)速度快？第一個(gè)10米表示什么？第二個(gè)呢？

生4：甲快。第一個(gè)10米表示每秒跑10米，第二個(gè)10米表示每小時(shí)爬10米。

師：此10米非彼10米。剛剛沒(méi)有告訴我們的是什么單位？

生5：時(shí)間單位，所以剛剛應(yīng)該選④。

生6：假如說(shuō)這個(gè)比賽是吃蘋果，蘋果都一樣，那么博爾特每秒吃10個(gè)，蝸牛每小時(shí)吃10個(gè);如果都吃5小時(shí)，博爾特5小時(shí)能吃3000多個(gè)，蝸牛才吃50個(gè)。

師：你的想法特別好。速度的單位僅僅用米、千米這樣的路程單位顯然不足以表達(dá)。速度單位的共同點(diǎn)是什么？

生7：它們都是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的，比如1秒、1分、1時(shí)這樣的單位時(shí)間。

師：這個(gè)速度單位里面包含了什么單位？

生（齊）：時(shí)間單位和路程單位。

師：我們?cè)俅斡∽C了速度與路程和時(shí)間的緊密關(guān)系，所以這個(gè)速度的單位是多么特殊??！

解讀——多元對(duì)比：沒(méi)有對(duì)比就沒(méi)有“傷害”，沒(méi)有對(duì)比就沒(méi)有“模型建構(gòu)”

為了建構(gòu)“路程模型”，聚焦模型中的“速度”描述性概念的習(xí)得，整堂課從頭到尾都在進(jìn)行大量的、漸進(jìn)式的、有梯度的“比較”，并總結(jié)出靈活實(shí)用的“比較策略”。特別突出的是以下幾個(gè)方面：

（1）挖坑：主題教學(xué)探究時(shí)，一開(kāi)始只呈現(xiàn)三位老師的時(shí)間信息，就要求學(xué)生比較他們的速度。少部分學(xué)生掉進(jìn)了“坑里”，絕大多數(shù)學(xué)生非常明確，這樣的比較缺少“成分”，至少需要兩個(gè)“成分”，僅有時(shí)間是不夠的，所以無(wú)法比較，不能度量出誰(shuí)的速度快。

在這里，楊老師的過(guò)渡語(yǔ)運(yùn)用得十分巧妙，且緊扣主題：“速度與兩個(gè)量都有關(guān)，它與我們之前說(shuō)的質(zhì)量的輕重、距離的長(zhǎng)短不一樣，要刻畫速度的快慢，需要知道相應(yīng)的路程和時(shí)間?！奔让芮嘘P(guān)聯(lián)以前學(xué)過(guò)的度量物體輕重的屬性——質(zhì)量，度量物體長(zhǎng)短的屬性——長(zhǎng)度，又輕松過(guò)渡到當(dāng)堂課速度的學(xué)習(xí)中——比較速度的兩個(gè)“成分”。

（2）漸進(jìn)：楊老師先補(bǔ)充完三位老師分別與時(shí)間對(duì)應(yīng)的路程信息，然后開(kāi)放性設(shè)問(wèn)“誰(shuí)的速度快？”，并先請(qǐng)小組代表分享最常見(jiàn)的主流方法——用除法算式求速度再比較。 “路程就相當(dāng)于我們?cè)瓉?lái)學(xué)的總數(shù)（總量），時(shí)間就相當(dāng)于份數(shù)，速度就表示每一份數(shù)?！边@個(gè)發(fā)言的學(xué)生已經(jīng)能夠把之前學(xué)過(guò)的“總量=份數(shù)×每份量”這個(gè)模型套用在路程模型上，并且進(jìn)行逆運(yùn)用，而且說(shuō)理清晰，實(shí)在難能可貴。學(xué)生在比較中能夠“化新為舊”，化歸思想的滲透不可小覷。

（3）策略：在師生共同總結(jié)出 “速度=路程÷時(shí)間”這個(gè)模型，并用其比較速度的快慢時(shí)，第九組學(xué)生以表格中的數(shù)據(jù)為例，歸納梳理了兩條比較策略：路程相同時(shí)比較相對(duì)應(yīng)的時(shí)間;時(shí)間相同時(shí)比較相應(yīng)的路程。楊老師再次滲透速度的本質(zhì)屬性：“無(wú)論用什么方法，都說(shuō)明了速度與路程、時(shí)間都有關(guān)?！币?yàn)樗俣染哂胁豢芍苯佣攘康膶傩浴?/p>

（4）懸念：為了引出速度單位，楊老師又以比較甲乙兩個(gè)10米的速度入手，仍有一部分理智型的學(xué)生始終堅(jiān)持無(wú)法比較。當(dāng)甲乙兩個(gè)速度的“主人”現(xiàn)身后，一位學(xué)生的補(bǔ)充令人拍案叫絕：“假如說(shuō)這個(gè)比賽是吃蘋果，蘋果都一樣，那么博爾特每秒吃10個(gè)，蝸牛每小時(shí)吃10個(gè);如果都吃5小時(shí)，博爾特5小時(shí)能吃3000多個(gè)，蝸牛才吃50個(gè)?！北M管他的表述太“小看”博爾特了——錯(cuò)估成了3000多個(gè)，但是他對(duì)速度、速度單位的理解，甚至在速度單位間的換算上，有一種驚人的、深入淺出的數(shù)學(xué)直覺(jué)。在學(xué)生學(xué)習(xí)了速度單位、寫速度單位、理解速度單位后，楊老師繼續(xù)引導(dǎo)：“速度單位的共同點(diǎn)是什么？”再次印證了速度與路程和時(shí)間的緊密關(guān)系。

整堂課的主體合作探究環(huán)節(jié)在比較中開(kāi)始，也在比較中結(jié)束，盡管“消耗”了“大把時(shí)間”，但是時(shí)間花得值，路程模型在各種比較中逐漸抽取出來(lái)，并深入“人心”。

3.于線段圖中凸顯幾何直觀的妙用

【片段4】展示第二組的畫線段圖方法

師（出示課件）：第二組雖然畫得不夠完整，但是與楊老師的想法不謀而合，大家看了有什么想法？

生1（在白板上勾畫橙色線）：把每個(gè)老師一分鐘走的線段移上來(lái)作比較，這條線是彭老師的，另一條是陳老師的，中間這個(gè)是楊老師的。陳老師在最前面，說(shuō)明速度最快;彭老師在最末尾，說(shuō)明速度是最慢的;楊老師在中間，不快不慢。

師：我從生1的發(fā)言當(dāng)中感受到他的方法和別人的不一樣，他沒(méi)有寫除法算式，而是直觀地比較代表速度的線段。那么這樣的一段就是什么？

生（齊）：一分鐘走的路程。

師：我們借圖說(shuō)話，不僅可以直觀地看到一分鐘誰(shuí)走得快與慢，而且再次說(shuō)明了速度確實(shí)與路程和時(shí)間都有關(guān)。

師：求速度為什么一定要用除法？透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，想一想除法的意義。

生2：除法的意義就是把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，且每份都相等。

師：以楊老師為例，把280平均分成4份，每一份就是楊老師每一分鐘走的路程……

解讀——幾何直觀：讓參與速度“度量”的元素可視，打通“速度”的“任督二脈”

在解決“三位老師誰(shuí)的速度最快？”這個(gè)問(wèn)題上，第二組采用了畫線段圖的方法化抽象為形象直觀。以三位老師的路程作為整體線段，按時(shí)間多少平均分為相應(yīng)的份數(shù)，取各條線段中的一份代表各自的速度，再上移重疊比較，線段長(zhǎng)的速度就快，反之則慢。這不僅解決了速度的比較問(wèn)題，學(xué)生還在楊老師的追問(wèn)下溝通了速度與“除法意義”的聯(lián)系：“求速度為什么要用除法？”再次溝通 “總量÷份數(shù)=每份數(shù)”的模型與路程模型的關(guān)聯(lián)，在頭腦中刻下深深的印象：要度量速度，必須先打通路程與時(shí)間這兩個(gè)任督二脈。

縱觀整堂課，沒(méi)有瑣碎的小問(wèn)題群，只有畫龍點(diǎn)睛處的深度追問(wèn);沒(méi)有形而上的面面俱到的大包圍，只有直指速度內(nèi)核的概念及模型建構(gòu)。這一切的基礎(chǔ)，都得益于楊老師團(tuán)隊(duì)扎實(shí)的教學(xué)功底、深厚的理論儲(chǔ)備和博大的育人觀。

（責(zé)編 金 鈴）