基于“四基”的“平方差公式”的教學設計

張美琳 王良偉 陳仿

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出通過義務教育階段的學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗.本文以“平方差公式”為載體，讓學生在發現問題、提出問題、探索與解決問題中，感悟數學思想方法、積累數學活動經驗.

【關鍵詞】四基;平方差公式;教學設計

宋乃慶教授稱，“四基”是對“雙基”的繼承與超越，基本活動經驗獲得了與基礎知識、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新課程對能力性目標、過程性目標、情感性目標的重視，以及對學生應用意識、創新能力培養的目標指向[2].張奠宙先生稱，數學的四個“基”是不能分割的，沒有單純的知識，也沒有脫離知識的技能，數學思想方法建立在知識和技能之上，但也具有獨立的價值，而學生獲得的數學活動經驗是以上述三基為載體，貫穿于整個學習過程中的[3].因此在數學教學中，知識的獲得、技能的訓練、數學方法的提煉是通過數學活動的發展互相交叉滲透的.

數學教學設計是教師根據學生的認知發展水平和課程培養目標來制訂具體的教學目標，選擇教學內容，設計教學環節的過程[4].如何讓學生在數學活動中發現問題、提出問題，在探索與解決問題的過程中，獲得基礎知識和基本技能、感悟數學思想方法、積累數學活動經驗、有效提高數學素養，合理的數學教學設計顯得尤為重要.本文以 “平方差公式”教學設計為例，加以說明.

一、教材分析與準備

（一）教材分析

“平方差公式”選自人教版義務教育教科書數學八年級上冊第14章第2節[5].本節內容是在學習了有理數的運算、列代數式和整式的加減法與乘法之后，對特殊多項式的乘法更進一步的探索，符合學生的認知發展規律，從代數與幾何兩方面理解平方差公式的意義，體會從一般到特殊思想、數形結合等數學思想方法.平方差公式和后面的完全平方公式不僅為特殊多項式的乘法提供了簡便運算，并且為后續相關知識如因式分解的學習奠定了基礎.

（二）學情分析

八年級的學生正處于好奇心和求知欲強烈的階段，并且已熟練掌握有理數的運算、代數式和整式的乘法，能用已有基本知識和方法分析和解決相關問題.但學生在計算多項式乘法時常常會遺漏某項或在確定某項符號時出錯，并且缺少用數學的眼光發現問題以及用數學的思維提出問題的意識，同時，學生可能存在無法透徹地理解平方差公式本質的問題，也不能理解公式中字母的廣泛含義.

（三）教學目標

知識與技能：掌握平方差公式;理解公式結構和其中字母“a”“b”的含義;理解平方差公式的幾何意義;能運用公式進行簡單的計算;會推導和證明平方差公式.

過程與方法：經歷探究平方差公式的過程，讓學生明確這一公式既來源于整式的乘法，又可用于整式的乘法;探索平方差公式的證明方法，體會數形結合與轉化的數學思想方法;感受利用公式解決實際問題的便捷;嘗試發現和提出問題.

情感態度與價值觀：感悟平方差公式具有強大的簡化運算的功能;體會數學與生活之間的密切關系，從而激發學生學習數學的興趣.

（四）教學重點與難點

重點：理解平方差公式以及公式的結構特征，熟練地運用平方差公式進行簡單計算.

難點：對公式中字母的廣泛含義和公式的幾何意義的正確理解.

（五）教學方法與用具

教學方法：講授與討論相結合，學生自主探究與演示相結合.

教學用具：幻燈片、黑板、粉筆、彩色卡紙、剪刀、磁鐵.

二、教學過程設計

（一）創設情境，引出主題

麥麥和兜兜是一對好朋友，麥麥買了10.2 kg 9.8元/kg的糖果，兜兜迅速算出需付99.96元.你知道兜兜是怎樣快速計算的嗎？這實際與我們今天要學習的一個乘法公式有關.

【設計意圖】生活中類似的情景很多，看似是一個簡單的乘法運算，但這兩數都是小數，計算起來比較麻煩.這里用它來引出課題的主要目的是激發學生的學習興趣，感受數學在生活中的重要意義.

（二）學習活動一：復習演練，探索歸律

請學生用多項式與多項式相乘的法則計算下列多項式的積，并以前后四人為小組討論后面的問題.

（1） （x+1）（x-1）=;

（2） （m+2）（m-2）=;

（3） （2x+1）（2x-1）=.

問題1：等式左邊的兩個多項式有什么特點？

問題2：等式右邊的多項式有什么規律？

問題3：你能用一句話歸納出上述等式的規律嗎？

問題4：對于上述歸律，你有什么問題嗎？

請一名學生分享討論的結果，其他學生補充說明，最后教師帶領全班學生總結歸律，等式左邊的多項式都是兩項的和乘以這兩項的差，右邊是這兩項的平方差，總結得出兩項的和與這兩項的差的積，等于這兩項的平方之差，這兩項分別用字母“a”“b”表示，結論符號化，這個公式叫做（乘法的）平方差公式.再用代數的方法也就是多項式乘法法則證明并板書過程.

最后引導學生發現公式的特征， 這實際是多項式乘法（a+b）（a-b）中p=a，q=-b的特殊情況，教師再進一步強調平方差公式的特點：兩項和與這兩項差的積等于這兩項的平方差，其中等式左邊有兩個相同的項a，另外兩項b和-b互為相反數，（這里稱a為“相同項”，稱b為“相反項”）等式右邊是相同項與相反項的平方差a2-b2.利用該公式簡化計算時，關鍵就要找出多項式中誰是“相同項”、誰是“相反項”，這里一般需要利用加法交換律變形之后來確定.如果多項式沒有上述特征，則仍需用多項式的乘法法則進行計算.

【設計意圖】在前面學生已學習了多項式的乘法法則，因此從學生已有的知識經驗出發，選擇合適的知識生長點.組織學生小組合作討論這幾個問題，一是學生之間可以相互校對計算結果，有問題的及時更正，有利于學生之間互幫互助，培養合作精神，更進一步地掌握多項式相乘的法則;二是對于前兩個問題，學生是可以通過觀察得出答案的，第三個問題則需要概括歸納，這樣設計有利于培養學生從特殊到一般的數學思想，而問題4的設置有利于培養學生，用數學的眼光發現問題、提出問題并用數學知識分析問題、解決問題的能力.教師借助“相同項”和“相反項”，對公式的特征進行概括歸納，實現文字語言和符號語言之間的轉化，促進發展學生的符號意識.

（三）學習活動二：合作探究，解決問題

問題1：你能用下面圖形（如圖1所示）的面積說明平方差公式嗎？請同學們動手拼圖、動腦思考，小組間合作交流、實踐探討.

改變圖形的位置而面積不變，利用不同的表示方法得出平方差公式.請學生代表上臺演示拼圖過程， 最后教師再次用網絡畫板演示并講解證明過程（如圖2所示）.

問題2：現在大家能說出平方差公式的幾何意義了嗎？

請學生答，并利用追問的方式使學生自己逐步準確描述出平方差公式的幾何意義：長為a+b、寬為a-b的長方形的面積等于邊長為a的正方形減去邊長為b的正方形的面積.這種利用面積相等來證明平方差公式的方法就叫做等面積法，這個方法能夠解決許多類似的數學問題.

【設計意圖】利用拼圖這個活動來鍛煉學生的動手能力，培養學生的團隊意識和合作意識，在實際操作中親身體會平方差公式的幾何意義，通過鼓勵學生展示成果增強學生的表達能力和自我效能感，用不同的方法來表示相同的面積培養學生轉化和數形結合的數學思想方法.最后，教師再次演示并逐一說明各部分圖形面積的表示方法有利于學生進一步理解平方差公式的幾何意義.問題2的提出主要是培養學生的理解歸納和表達能力.

（四）學習活動三：例題學習，應用新知

例1 用平方差公式計算：

（1） （2x+3）（2x-3）;（2） （-2x-y）（2x-y）.

例2 街心花園有一塊邊長為a（m）的正方形草坪，經統一規劃后，南北方向要加長2 m，而東西方向縮短2 m，請問改造后的長方形草坪的面積是多少？

學生獨立思考，完成練習，之后教師講解.

第（1）問，首先關鍵是找出誰是“a”，誰是“b”，并且在書寫時需注意2x是一個整體，要加括號，然后利用平方差公式計算即可.另外可做補充說明，“a”“b”可以表示數、單項式、多項式、甚至更復雜的多項式.第（2）問有多種解法，鼓勵學生思考探索，嘗試用多種方法思考問題，深刻理解公式的含義并熟練運用.

【設計意圖】例1的設計有利于學生體會數學中的整體意識和換元思想，發展學生的符號意識.例2的設計有利于發展學生的模型思想和數形結合的數學思想方法，增強利用數學問題來解決實際問題的應用意識.

（五）學習活動四：急速挑戰，應用反饋

本環節主要設置一個數學活動，如以砸金蛋的方式呈現，每個金蛋對應例如選擇、判斷、巧算等不同類型的數學問題，主要是為檢測學生對本節知識掌握的情況，還可以起到提高學生注意力和活躍課堂氛圍的作用.

（六）學習活動五：反思回顧，升華總結

首先，回到起初拋出的問題，鼓勵學生分享觀點，問題中的兩數都接近10，并且與10都相差0.2，把這兩數的乘積看成（10-0.2）（10+0.2），用平方差公式便可迅速算得結果.

其次，從知識層面、過程與方法層面、數學思想層面進行總結并引導學生討論分享如下問題：通過本節課的學習我掌握了哪些知識？對于這節課我喜歡哪些地方？哪些地方我還不太清楚？我做得好的地方以及需要改進的地方有哪些？我學會的解題方法是什么？這種解題方法可以推廣應用到哪些地方？本節課所學的內容與以前學習過的知識有哪些聯系等等.

【設計意圖】通過回顧反思，讓學生更深刻地感受知識的發生、發展的過程，培養學生自主學習的能力.

（七）布置作業

必做題：教材中對應的練習題.

選做題：（1）化簡：（x+y）（x-y）（x2+y2）（x4+y4） ;

（2）解不等式：（3x+4）（3x-4）<9（x-2）（x+3）.

思考題：你還有其他方法證明平方差公式嗎？

【設計意圖】考慮到學生的個體差異，因此作業分層設計，增強學生的動口、動手能力，促進學生多向交流，培養學生主動探索能力.

三、總結

（一）教學設計步驟明確

教學過程首先是一種特殊的認知過程，是為傳承知識文化、師生之間相互作用的認識活動，并且是師生之間、生生之間通過交流、溝通而促進學生身心發展、追求與實現價值目標的過程[5].傳統的教學過程設計主要以教師講授知識、學生練習鞏固為主，這樣便導致學生對于知識的掌握僅知其然而不知其所以然，知識的發生發展全然不知，缺乏基本的活動經驗以及基本的數學思想方法.本節內容的教學過程設計緊扣以學生為中心，以發展學生的數學思維和創新意識為主，使其在基本數學活動中積累經驗、感悟思想.

本節教學設計包括教材分析與準備和教學過程設計兩部分.具體包括教材分析、學情分析、教學目標分析、教學重難點分析、教學方法與用具、教學過程設計.具體的教學過程設計根據授課內容明確三維教學目標，根據學生的認知特點適當選取學生認知的生長點，選擇合適的教學方法，設置有效的學習探究活動，讓學生在問題探究與親身感知中快樂學習.

（二）遵循五大原則

創造性教學并無固定模式，因此教學過程設計也并無固定程式，但必須要讓學生經歷明確問題、深入探究、做出結論、驗證結論、運用知識、鞏固知識的基本階段.案例設計遵循了以下原則：一是目標明確.布魯姆的教育目標分類學將教育目標分為認知領域、情感領域和動作技能領域，在實際教學中，認知、情感、動作技能這三方面基本是同時發生的，因此應從這三方面以及教學內容來設置適宜的教學目標.二是內容準確.有許多教師在講授某些數學概念時會增加一些內容，尤其是剛上任的教師對教學內容理解不透徹很容易犯錯.例如，本節內容中課本沒有明確的定義“相同項”“相反項”，因此在用這種說法歸納平方差公式的特征時，一定要闡述什么是“相同項”，什么是“相反項”.三是方法恰當.選擇適當的教學方法能夠有效地提高教學效率，但在實際的教學過程設計中教師往往將多種教學方法結合在一起使用.四是組織形式合理.比如在進行實驗教學或者探究式教學時需明確學生應獨立學習還是小組合作學習，教師要適當地編排座位、明確分組.五是問題設置有效、簡明.有效問題的設計有利于激發學生的學習興趣，引導學生自己逐步建構知識，無效的問題不僅浪費課堂時間而且無法有效完成教學目標.總之，要重視系統性知識的傳授與學生直接經驗積累的平衡，重視掌握知識與培養思想品德和提高能力并重，有效發揮教師的主導作用與學生的主體作用，為培養學生的基礎知識和基本技能、豐富學生的基本數學活動經驗和基本數學思想方法、提高學生發現問題、提出問題的能力和分析問題、解決問題的能力進行教學設計.

（三）回顧反思

回顧本節課，第一，在創設問題情境中，利用學生在生活中熟悉的情境引發學生思考，讓學生充分感受到數學在生活中的強大作用，激發學生的求知欲.第二，通過回顧和應用上節的知識引導學生觀察探究、類比歸納出本節內容的要點，充分考慮學生已有的知識和能力，抓住新知的生長點，循序漸進地引導學生積極思考、討論，培養學生觀察歸納和發現問題的能力.第三，通過實際操作和演示，學生能夠積累“做數學”的基本技能和基本活動經驗，培養學生分析問題、解決問題的能力，其中滲透著轉化和數形結合的數學思想方法.第四，例題的設計進一步強調了平方差公式中的整體思想和換元思想，“反思回顧 升華總結”環節注重引導學生學習，因為“教是為了不教”.第五，分層作業的布置關注學生的個體差異，以必做題及時鞏固新知，更熟練地掌握平方差公式的應用等基礎知識;以選做題深化提高，感受數學之美，增強應用意識;思考題注重培養學生的發散性思維，增強創新意識.本節課的設計基于落實“四基”，培育“四能”的新教育理念，注重數學素養的培養和滲透，在“雙基”基礎上突出基本思想、基本活動經驗的積累，在“雙能”的基礎上注重對發現和提出問題能力的培養，突出數學知識之間、數學與生活之間的密切聯系.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學，2012.

[2]唐彩斌，朱黎生，楊慧娟.“四基”“四能”給課程建設帶來的影響——宋乃慶教授訪談錄[J].小學數學（數學版），2012（14）：11-13.

[3] 張奠宙.關于“四基”教學模型——呼吁加強對“四基”數學教學的研究[J].數學教學，2016（08）：52.

[4] 何小亞.追求數學素養達成的教學設計標準與案例——謹以此文紀念駕鶴西游的我國著名數學教育家張奠宙先生[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（2）：2-10.

[5] 王道俊，郭文安.教育學（第七版）[M].北京：人民教育出版社，2016.