分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

張矛

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師是通過對學(xué)生進(jìn)行知識的教授以及知識應(yīng)用方法的講解，最終達(dá)到使學(xué)生能夠獨(dú)立解題的目的。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓學(xué)生掌握各類型題的解題思想是教學(xué)的最終目的。而為學(xué)生能更好理解解題思路及方法，教師常應(yīng)用到分類討論思想付諸教學(xué)。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

中圖分類號：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2020）02-0049

分類討論思想是指在解題過程中就題目中所涉及的某一條件進(jìn)行不同情況的假設(shè)討論，并且假設(shè)的各種可能性之間存在彼此獨(dú)立的特點(diǎn)。在應(yīng)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，相當(dāng)于先將復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)相對簡單的小問題，最終再通過小問題所得出的答案總結(jié)出最終答案。這種方式由于思路清晰、錯(cuò)誤率低、便于學(xué)生理解等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中。那么，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何應(yīng)用分類討論思想呢？

一、應(yīng)用簡單的問題，使學(xué)生明確分類討論對象及分類標(biāo)準(zhǔn)

與數(shù)或與式有關(guān)的問題是初中數(shù)學(xué)中常常會出現(xiàn)的問題，其中較為簡單的絕對值、算數(shù)平方根等問題的分析過程較為簡單，其中對分類討論思想的應(yīng)用也屬于簡單的初步應(yīng)用，討論過程中只需要涉及兩或三個(gè)討論部分即可。這種簡單的分類討論，適合教師教授學(xué)生分類討論思想的初步階段。這時(shí)教師的教授重點(diǎn)應(yīng)放在如何確定分類對象以及分類標(biāo)準(zhǔn)上，簡單的分類討論思想題目，能夠使分類對象以及分類思想更加明確，避免了干擾條件過多、學(xué)生難以理解或混淆的情況。

而當(dāng)學(xué)生通過簡單的問題掌握了分類討論思想的應(yīng)用方法時(shí)，當(dāng)他們遇到函數(shù)、圖像、含參不等式等復(fù)雜問題時(shí)，就能夠更好地在問題中找到有用信息，提煉出分類對象，正確解答問題。因此，為學(xué)生能更好掌握分類討論思想的應(yīng)用，教師在教授時(shí)應(yīng)注重由淺入深的授課過程，讓學(xué)生通過淺顯易懂的問題掌握分類討論思想的應(yīng)用方法，而后再將其應(yīng)用到復(fù)雜問題的解題過程中去。

例如，教師在講授人教版七年級下冊數(shù)學(xué)《不等式與不等式組》時(shí)，可以讓學(xué)生分別討論|x-3|>3與|x|>3中x的取值范圍。當(dāng)學(xué)生在對|x|>3進(jìn)行分類討論時(shí)會發(fā)現(xiàn)，直接就能夠得到x>3或x<3的結(jié)果，而當(dāng)他們對|x-3|>3中的x取值范圍進(jìn)行討論時(shí)，需要完成一部計(jì)算才能夠最終得出x>6或x<0的結(jié)果。通過兩道絕對值不等式的解題情況對比，教師可以向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，之所以|x|>3在解題時(shí)直接得出了x取值范圍，是由于絕對值內(nèi)僅有x這一未知數(shù)，因此x恰巧成為了分類對象，但正常情況下分類對象并不是由未知數(shù)x所決定，而是由絕對值所決定，絕對值內(nèi)的數(shù)或式才是分類討論對象。

二、培養(yǎng)學(xué)生的想象力，幫助學(xué)生在幾何圖形問題中應(yīng)用分類討論思想

幾何圖形問題中也會時(shí)常應(yīng)用到分類討論思想，而幾何圖形問題中的分類討論思想與數(shù)和式中的分類討論思想應(yīng)用略有不同。在幾何圖形問題中應(yīng)用分類討論思想時(shí)經(jīng)常會涉及到圖形的空間想象問題，當(dāng)學(xué)生想象力不足時(shí)，很可能出現(xiàn)遺漏的分類項(xiàng)，最終導(dǎo)致答案不完整的情況發(fā)生。因此，為學(xué)生能夠更好地應(yīng)用分類討論思想解答幾何圖形問題，教師可以在解題教學(xué)過程中利用輔助方法或道具，為學(xué)生更直觀地展示問題中涉及的圖形，讓學(xué)生對問題中的圖形圖案等形成更具體的認(rèn)識及記憶。這樣，不僅能幫助學(xué)生有效解決當(dāng)下分類討論問題，還能夠讓學(xué)生在此后遇見類似的圖形問題時(shí)，能夠?qū)栴}進(jìn)行更全面具體的想象及分析。

例如，當(dāng)教師在教授人教版八年級數(shù)學(xué)下冊《勾股定理》時(shí)，教師就可以提出“已知一直角三角形兩邊長分別為3cm與5cm，求三角形未知邊邊長。”由于3∶4∶5比例的三角形在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中十分常見，因此學(xué)生在解題過程中會忽略題目中未規(guī)定給出的5cm是三角形斜邊這一情況，從而不進(jìn)行分類討論，最終只得出一種結(jié)果。這時(shí)教師可以通過應(yīng)用自媒體設(shè)備，提前做出如何由這兩條線段組成兩種直角三角形的動圖，而后通過讓學(xué)生觀看兩種三角形的構(gòu)成情況，輔助學(xué)生對另一種答案情況進(jìn)行想象構(gòu)建，加強(qiáng)學(xué)生對幾何圖形問題中各種分類討論項(xiàng)的認(rèn)識。

三、強(qiáng)調(diào)分類討論思想中答案驗(yàn)證的重要性

分類討論問題中并不是得出的所有結(jié)果都能夠作為最終答案總結(jié)應(yīng)用。由于問題中一些特殊條件，或是所涉及的一些特殊情況，部分分類討論項(xiàng)所得出的答案是不合理的，應(yīng)進(jìn)行排除。當(dāng)學(xué)生在實(shí)際做題過程中時(shí)常會因?yàn)楹雎源鸢覆缓侠砘虼鸢钢貜?fù)的問題，從而導(dǎo)致過程正確，結(jié)果錯(cuò)誤的情況發(fā)生。這種情況若是發(fā)生在解答填空選擇題時(shí)，則會導(dǎo)致嚴(yán)重失分。因此，教師在教授學(xué)生應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)答案驗(yàn)證的重要性。

例如，當(dāng)教師在教授人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《三角形》時(shí)，就可以向?qū)W生提出問題。“已知一等腰三角形有一個(gè)角為30°，問另兩個(gè)角度數(shù)。”由于未確定已知的30°是頂角還是底角，因此存在分類討論情況，最終答案不唯一，最終會得出頂角為120°以及頂角為30°兩種結(jié)果。這時(shí)教師可以再給出“已知一個(gè)等腰直角三角形有一個(gè)角為45°、60°、120°時(shí)，是不是也存在兩種情況”的問題，并讓學(xué)生對自己所得出的答案進(jìn)行畫圖驗(yàn)證。最終學(xué)生會發(fā)現(xiàn)僅有45°時(shí)存在兩種情況，當(dāng)60°時(shí)等腰三角形已經(jīng)成為等邊三角形，兩種情況所得出的結(jié)果是一致的，而120°時(shí)，由于一個(gè)三角形內(nèi)部不可能存在兩個(gè)鈍角，因此要排除一種情況，也只存在一種答案。

總之，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，使學(xué)生明確了分類討論對象及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，為更好地讓學(xué)生就分類討論進(jìn)行思考與分析，也培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力，同時(shí)為保證學(xué)生在解答復(fù)雜分類討論問題時(shí)的準(zhǔn)確性，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生答案驗(yàn)證的重要性。只有這樣，學(xué)生才能掌握分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法，并且做到準(zhǔn)確解題。

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（作者單位：浙江省溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)? ?325000）