淺談在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力

許國蘭

摘要：愛因斯坦曾說過："全民族創(chuàng)造性思維的自由發(fā)揮將決定著國家未來的繁榮昌盛。"可見創(chuàng)造性思維的發(fā)展對于個人、國家乃至整個人類的進步都起著至關重要的作用。因此，在數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，是一個非常值得探討的問題。本文圍繞運用聯(lián)想思維、發(fā)散思維、收斂思維、逆向思維等方法，加強對創(chuàng)造性思維的訓練，達到培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的目的

關鍵詞：創(chuàng)造性思維? 聯(lián)想思維? 發(fā)散思維? 收斂思維? 逆向思維

數(shù)學教學不僅是傳授知識，更重要的是培養(yǎng)學生的思維能力，特別是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。心理學研究發(fā)現(xiàn)：“創(chuàng)造性思維是智力活動的重要部分，是智能發(fā)展的高級形式。它是一種擺脫了習慣定式解決問題的思維方式。它是鼓勵在發(fā)散性思維的基礎進行聚合思維，創(chuàng)造性解決問題。”在數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，是一個非常值得探討的問題。本文結(jié)合自己二十多年的教學實踐，談談在數(shù)學教學中對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力的體會。

一、注重聯(lián)想思維的訓練，培養(yǎng)思維的深刻性

在學習數(shù)學的過程中，一個新穎而有創(chuàng)意的解題思路或解題方法，常常來自對問題中所涉及不同的知識背景之間的聯(lián)想，因此，在數(shù)學教學中，引導學生正確合理地聯(lián)想，是培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力的一個重要途徑。

?1.數(shù)形聯(lián)想

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學中的一種重要思維方法，有些代數(shù)問題看似無從下手，而與圖形聯(lián)系起來考慮，常能得到非常新穎、巧妙的解法。

例如：比較x²與x的大小

分析1：因為x的取值范圍沒有給定，比較x2與 x的大小難于確定，但可以引導學生聯(lián)想函數(shù)y=x²–x的值的情況，作出函數(shù)y=x²–x的圖象，如圖1所示。

這樣可以得出：

當x<0或x>1時，y>0，于是x²>x

當x=0或x=1時，y=0，于是x²=x

當02

分析2：比較x2與x的大小，可以聯(lián)想比較 y1= x2 ，y2 =x ，兩個函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象的情況，如圖2所示，顯然由圖中可以形象地得出：

當x<0或x>1時，，于是 x²>x

當x=0或x=1時，，于是 x²= x

當0?? ，于是 x²

2.特征聯(lián)想?????????????????????????

有時抓住題目中的特征展開聯(lián)想，可能收到意想不到的效果。例如：已知x=2 ，求代數(shù)式（1+x）（1+x²）（1+x⁴）…（1+x⁶⁴）的值。

分析：觀察待求的式子，結(jié)構(gòu)變化很有規(guī)律，聯(lián)想到平方差公式，只要配上因式1-x，即可獲得優(yōu)美的解法。

原式=（1-x）（1+x ）（1+x²）（1+x⁴）…（1+x⁶⁴）

=（1-x²）（1+x²）（1+x⁴）…（1+x⁶⁴）

=（1-x⁴）（1+x⁴）…（1+x⁶⁴）

= ……

=

=-1+2¹²⁸

?3.形似聯(lián)想

有時，我們遇到一些問題中的題設或結(jié)論，在形式上與我們學過的有關知識有所相似，因此可以產(chǎn)生聯(lián)想，悟出妙處。例如：已知：（b-c）² = 4（a-b）（c-a）且a≠0。 求證： ????= 2

分析：此題可以將已知條件展開，然后合并，配方而得證，但比較繁瑣，觀察已知條件，發(fā)現(xiàn)其形式與一元二次方程根的判斷式b²- 4ac很像，因此可聯(lián)想到方程x²+（b-c）x+（a-b）（c-a）=0 有兩個相等的實數(shù)根，分解因式即得

[x-（a-b）][x-（c-a）]=0

∴x-（a-b）=0或x-（c-a）=0

∴x₁ = a-b， x₂ = c-a

∴a-b = c-a

∴2a = b+c

∴2=????????? 即????? =2

二、注重發(fā)散思維的訓練，培養(yǎng)思維的靈活性

發(fā)散思維是對熟悉的事物，能夠采用新的方法或從新的角度加以研究，從而在相同或相似之中看出不同的思維形式。在教學中注重發(fā)散思維的訓練，不僅可以使學生的解題思路開闊，妙法頓生，而且可提高學生勇于探索新方法的積極性。

?1.運用一題多解，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

思維的靈活性在解題中表現(xiàn)為善于分析題意，迅速建立聯(lián)想，打開解題思路，大量的數(shù)學實踐證明，一題多解可以溝通知識引發(fā)多向思維。

例如：一輪船在兩港口城市之間航行，水流速度為2.4里/小時，順流航行需要2小時，逆流航行需要3小時，試求兩港口之間的距離。

分析：此題只要引導學生抓住基本關系和本題中兩港之間的距離與輪船的自身航速“不變量”就可以從多方位考慮設未知數(shù)、列方程。

解法一（直接設未知數(shù)）：設兩港之間距離為x里，則由順流、逆流兩個角度去考慮同一個量——船的航速的不同表達式，從而得出方程 ：

解法二（間接設未知數(shù)）：設輪船自身的速度為 y里/小時。則同樣可由順水、逆水兩個角度去考同一個量——兩港之間的距離的不同表達式，從而得出方程：

（注意，還要求出距離）

解法三（設多個未知數(shù)）：設兩港之距為x里，輪船自身的速度為y里/小時，則由行程問題各量的基本關系式，可得方程組：

消去其中的y ，即可求得兩港之間的距離。

總之，在教學中，向?qū)W生傳授“一題多解”的方法，不僅能提高學生的學習興趣，提高解題能力，優(yōu)化解題思路，而且對發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)有很大的幫助。

2.運用一題多變，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

在教學中，如果把一些題目的條件和結(jié)論適當改變得出新題目，由一題變多題，通過一題多變的訓練，充分調(diào)動學生的積極性，啟發(fā)學生的思維，提高學生的解題能力。

例如：甲乙兩站間的路程為360km，一列慢車從甲站開出，每小時行駛48km ，一列快車從乙站開出，每小時行駛72km，兩車同時開出，相向而行，多少小時相遇？

（1）（條件變式）甲乙兩車同時從A地出發(fā)，甲的速度是48km/時，乙的速度是72km/時，它們背向而行，幾小時相距800km？

（2）（結(jié)論變式）甲乙兩站相距360km ，慢、快兩車分別從甲乙兩站同時相向而行，3小時相遇，快車每小時比慢車多行駛24km，求慢車速度。

（3）（背景變式）甲乙兩隊合作360個零件，甲隊每小時做72個，乙隊每小時做48個，甲隊先做25分鐘后，乙隊加入合作，問：甲、乙兩隊合做幾小時完成任務？

采用“一題多變”的教法，要求教師要善于將陳題翻新，哪怕只是提高題目形式的變化，也可以激發(fā)學習興趣，達到提高思維靈活性，鞏固基礎知識的效果，更有利于學生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)和發(fā)展。

3.運用一題多思，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

教學時運用一題多思，啟發(fā)學生思考，從不同的角度去探索，尋求多種解題思路，從而得出不同的答案。

例如，在八年級上冊數(shù)學（人民教育出版社，2013年5月）三角形全等中的一條習題，如圖3，已知∠ABC=∠DCB，增加一個你認為適當?shù)臈l件，使得△ABC≌△DCB，并說明你的理由。

分析：欲證明△ABC≌△DCB，已具備的條件有： ∠ABC=∠DCB（已知）

BC=CB（公共邊）即已有“SA”，要使三角形全等，可想法構(gòu)造“ASA”或“SAS”或“AAS”

解法1：增加條件為∠ACB=∠DCB，

在△ABC和△DBC中

∠ABC=∠DCB（已知）

BC=CB（公共邊）

∠ACB=∠DCB（已給）

∴△ABC≌△DCB（ASA）

解法2：增加條件為AB=DC

在△ABC和△DBC中

AB=DC（已給）

∠ABC=∠DCB（已知）

BC=CB（公共邊）

∴△ABC≌△DCB（SAS）

解法3：增加條件為∠A=∠D

在△ABC和△DBC中

∠A=∠D（已給）

∠ABC=∠DCB（已知）

BC=CB（公共邊）

∴△ABC≌△DCB（AAS）

4.引申題目，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

把問題不斷變換、拓廣，將思維逐步引向縱深，從而達到觸類旁通、舉一反三的境界，達到培養(yǎng)學生思維的深刻和敏捷。例如，在八年級下冊數(shù)學（人民教育出版社，2013年8月）中，“中位線定理與特殊的平行四邊形的綜合運用”一節(jié)內(nèi)容有這樣的問題：

求證：順次連接四邊形的中點，所得的四邊形是平行四邊形。

變形引申為：

（1）求證：順次連接對角線相等的四邊形四邊的中點，所得的四邊形是菱形。

（2）求證：順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊的中點，所得的四邊形是矩形。

（3）求證：順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊的中點，所得的四邊形是正方形。

（4）求證：順次連接平行四邊形四邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。

（5）求證：順次連接等腰梯形四邊中點，所得的四邊形是菱形。

三、注重收斂思維的訓練，培養(yǎng)思維的整合性

收斂思維，也稱集中思維，是在已有的眾多信息中尋找最佳的解決問題方法的過程。在教學中，教師在講授時總是一章一節(jié)地相繼地進行，打破了知識體系整體性，弱化了學生的聚合思維能力，為了彌補這個缺陷，就要對學生進行收斂思維的訓練，收斂思維的具體方法很多，常見的有抽象與概括，分析與綜合，比較與聯(lián)想，歸納與演繹等。

?1.抽象與概括的訓練

抽象即將事物中存在的某種規(guī)律（或事物的特征）抽象出來的思維方法。概括即將所抽象出來的規(guī)律（或事物的特征）概括起來的思維方法。例如：七年級上冊數(shù)學（北京師范大學出版社，2002年4月第2版）第111頁中的《探索規(guī)律》一節(jié)就是這兩種方法的運用。又如講授同冊書中第44頁《有理數(shù)加法法則》時，先講下面內(nèi)容：

（1）向東移動5個單位，再向東移動3個單位，兩次一共向東移動了多少個單位。（規(guī)定向東為正向西為負），列式：5+3=8。

（2）向西移動5個單位，再向西移動3個單位，兩次一共向西移動多少個單位。列式：（-5）+（-3）= -8

（3）向東移動5個單位，再向西移動5個單位，兩次一共向東移動了多少個單位。列式（+5）+（-5）=0

（4）向東移動5個單位，再向西移動3個單位，兩次一共向東移動了多少個單位。列式5+（-3）=2

（5）向東移動3個單位，再向西移動5個單位，兩次共向東移動了多少個單位。列式：（+3）+（-5）= -2

（6）向西移動5個單位，再向東移動0個單位，兩次一共移動了多少個單位。列式：（-5）+0= -5

通過這6個例子，讓學生抽象、概括，從而推理出加法法則，以達到培養(yǎng)收斂思維的目的。

?2.分析與綜合的訓練

分析即將某一知識或某一題目分為幾部進行研究和討論。綜合，就是將所研究和討論的問題的各部分組合起來構(gòu)成一個新的整體。分析與綜合是密不可分的兩種思維方法。

如解求值題分為兩個部分：（1）（a+b-5）·（a-b+7）2=0

（2）（a²-b²）+（a+b）²，

經(jīng)過分析后可發(fā)現(xiàn)由（1）得：a+b=5，a-b=-7 ，由（2）得：（a²-b²）+（a+b）²=（a+b）（a-b）+（a+b）²綜合（1）、（2）運用整體代入法即可求解，這就是分析與綜合的運用。

?3.類比與聯(lián)想的訓練

類比，即為將多個事物進行比較，找出異同的思維方法。聯(lián)想，即在思考某一事物時想到相關問題的思維方法。例如，分式與分數(shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都很相似，因此在教授分式時，引導學生聯(lián)想到分數(shù)，通過與分數(shù)進行類比，這樣學習分式，顯然會事半功倍。

四、注重逆向思維的訓練，培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性

??1.加強定義逆向思維的訓練

作為定義的數(shù)學命題，其逆命題總是存在，并且是成立的。因此，學習一個新概念，如果注意從逆向提問，學生不僅對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養(yǎng)學生養(yǎng)成雙向考慮問題的良好習慣。

例如：若a、b為實數(shù)，且a²+3a+1=0，b²+3b+1=0

求： +?? 的值。

分析：按常規(guī)思路求值是繁瑣的。由題設易知a、b的關系，有相等和不等兩種情況。當a=b時，原式=1+1=2，當a≠b時，逆用方程解的定義可知，a、b分別是x²+3x+1=0的兩個實根，則由根與系數(shù)的關系有：a+b=-3，ab=1，故????? +??? =????? =

=???????????? =7，這樣解簡單、快捷。

2.加強公式逆向思維的訓練

數(shù)學中的公式總是雙向的，可是很多學生只會從左到右順用公式，對于逆用，尤其是利用變形的公式更不可習慣。事實上，若能夠靈活地逆用公式，再解題時，就能得心應手，左右逢源。

例如：設是x₁、x₂方程2x²-6x+3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求的值。分析：此題利用根與系數(shù)的關系直接求的值是困難的，不難看出，應先求的值，再逆用公式=|a|，求出結(jié)果。

由于