解題中培養學生的問題探究能力

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布以來，數學課程目標“四基”與“四能”的培養在全國產生了很大反響。要想培養學生對問題的發現和探究能力，教師需要發揮示范引導作用。本文以廈門市2020年3月線上質檢理科數學第11題為例，引導學生多層次、多角度、多方位開展探究，以期培養學生的問題探究意識，提升學生的自主探究能力。

【關鍵詞】高中數學;解題;問題探究;核心素養

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0103-03

數學教學的本質是思維過程的引導、啟發。如果學生缺乏對數學問題的探究意識，僅停留在“就題論題”的層次，這既不利于其培養數學思維，也很難使他們的解題能力得到提升[1]。因此，解答數學題要從根本入手，通過研究問題的變式、優化解題的方法、拓展問題的應用、揭示問題的背景等方式，跳出“書山題海”，還要通過對解題過程的“反芻”，留住知識之“根”、方法之“根”、價值之“根”和本質之“根”[2]。

筆者以廈門市2020年3月線上質檢理科數學第11題為例，引導學生挖掘試題的內涵，從試題探源、解法探究、試題推廣、推廣逆向、類似試題、試題的再命制等角度開展多層次、多角度、多方位的探究，以達到讓學生在訓練中發展思維的靈活性，提升問題探究能力，培養數學核心素養的目的。

試題再現 已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與的漸近線平行的直線與交于點，，則的離心率為（ ）。

A.? ? ? ? ? ? ? ? B.

C.? ? ? ? ? ? ? ? ? D.

1? ?試題探源

圖1

（2019年全國卷Ⅰ理科數學第16題）如圖1，已知雙曲線 的左、右焦點分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點。若，，則的離心率為_______。

通過對比可以發現，原試題與2019年全國卷Ⅰ理科數學第16題極其相似，惟一差別在于原試題中點在雙曲線上，真題中的中點在雙曲線的漸近線上。

評注 通過對高考真題進行適當的變式，實現問題遷移，不失為跳出“題海”的一個行之有效的方法。

2? ?解法探究

破解圓錐曲線問題常需要借助題目所涉及圖形的幾何性質。從“幾何角度”入手，利用平面幾何知識，可以更簡便地剖析出問題本質。另外，以坐標系為橋梁，將幾何問題轉化成代數問題，從“代數角度”入手，通過坐標運算研究幾何性質，也是常見的破題之策。

圖2

解法一（幾何法）：如圖2，由于直線平行于漸近線，可得，即，根據雙

曲線定理得，由此可解得

，。在中，根據勾股定理

得，化簡得，，，離心率。

解法二（代數法）：由直線平行于漸近線可得，直線方程為，因為，

所以直線的方程為。聯立

與，求解得點坐標為，將其代入，得，從而，化簡得，離心率。

評注 解法一充分利用了雙曲線的定義，使得問題求解的運算過程得到簡化。解法二求解思路較為直接，易于理解，但運算量稍大。類似于解法二，還可通過聯立直線與方程求出點坐標，再代入方程中得到與關系式;或在得到點坐標后，利用，建立與關系式;或聯立直線、方程求出點坐標，再代入，得到與關系式。

3? ?試題推廣

圖3

在試題評講過程中，引導學生將試題題設條件一般化，通過生生互動、師生互動，得到如下試題推廣。

定理1 如圖3，已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與的漸近線平行的直線與交于點，，則。

評注 原題中的條件“”等價于“”，令定理1中即可得原試題，故定理1是原試題的推廣。

證明 直線的方程為，將其與聯立，求得點的坐標為，則，，

，

從而，得，

，。

命制新題1 雙曲線的左、右焦點分別為，過且與的漸近線平行的直線與交于點，，則的離心率為____。

答案：。

命制新題2 雙曲線的左、右焦點分別為，過且與的漸近線平行的直線與交于點，，則的離心率為____。

答案：。

4? ?試題推廣的逆向

調換題設的條件與結論，是常見的命題手法。在教學

中，引導學生思考：“將定理1中的題設條件與結論調換，所得命題是否成立？”經驗證，可得。

定理2 已知、是雙曲線的左、右焦點，過且與的漸近線平行的直線與交于點，的離心率為，則。

定理2的證明類似于定理1，此處略去。

命制新題3 雙曲線的左、右焦點分別為，過且與的漸近線平行的直線與交于點，若的離心率為，則_______。

答案：。

命制新題4 雙曲線的左、右焦點分別為，過且與的漸近線平行的直線與交于點，若的離心率為，則_______。

答案：。

5? ?試題的類似與推廣

原題中條件“直線平行于漸近線”等價于“”，將點改換為與的交點，可將原試題作進一步的遷移。

類似 已知、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與交于、兩點，若，，則的離心率為_______。

圖4

將上述試題進行推廣，可得。

定理3 如圖4，已知、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與交于、兩點，若，，則的離心率。

證明 根據條件，點坐標滿足方程，

將此方程與聯立，可得點的坐標為。由得 ，則點的橫坐標為，縱坐標，又因為在上，則，去分母整理得，即

，化簡得，則。

命制新題5 已知、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與交于、兩點，若，，則的離心率為_______。

答案：。

數學家波利亞曾說：“沒有任何一道題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做。”在教學中，教師應有意識地培養學生的問題探究意識，挖掘問題中蘊含的方方面面，將問題進行拓展延伸、遷移類比、變式升華，以提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，進而培養和提升學生的數學核心素養[1]。另外，這種基于探究策略的試題研究，對提升數學教師的專業素養，提高數學教師析題能力、變題能力、命題能力和教題能力也有極大的裨益。

【參考文獻】

[1]鄭鍵鳴，田艷玲.增強問題探究意識，提高數學解題能力——對一道高考題的探究、推廣與反思[J].中學數學教學參考

（上旬），2020.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數學思想與方法[M].杭州：浙江大學出版社，2017.

【作者簡介】

林彬（1968～），男，福建福清人，本科，中學一級教師。研究方向：數學教育。