試析小學基本數學模型及模型思想滲透教學

趙斌

摘? ?要：模型思想是數學核心素養之一。小學數學內容中基本的、核心的、貫穿于整個數學學習的數學模型有量化模型、等價模型、數軸模型等，模型思想滲透教學目標定位為長期運用感悟和初步經歷建構，通過整體研讀教材、系統滲透教學，建構結構性材料、觸摸模型本質，開放活動空間、經歷建模過程，介紹數學故事、了解模型歷史等策略，讓學生感受模型價值、了解模型結構、體驗建模方法，逐步形成模型直觀和模型意識，促進對模型思想的感悟，提升數學素養。

關鍵詞：小學數學;模型思想;基本數學模型;滲透;感悟

中圖分類號：G623.5? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2020）34-0042-05

數學思想是一種“隱性知識”，對數學思想的獲得需要在長期、系統的數學學習中逐步感悟、完善、深化，其感悟程度，也在很大程度上影響著學生的思維方式和行為方式，是學生數學素養的集中體現。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將數學基本思想作為“四基”之一納入課程總目標中，并將三種數學基本思想之一的“模型思想”納入十項數學基本素養中。小學階段滲透模型思想的教學，有助于學生體會數學與現實世界的聯系，發展學生用數學語言描述現實世界的意識和能力，提升學生的思維品質和數學素養。

一、模型思想及教學目標定位

數學模型是指針對或參照某種事物系統的主要特征、主要關系，用形式化的數學語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。模型思想就是通過對現實問題進行抽象，建立數學模型，并用數學模型解決類似問題的方法與策略、意識與觀念。廣義的數學模型包括任意的數、式、性質、定律等，以這種定義，小學數學教材中廣泛存在著各種數學模型;狹義的數學模型是指一些反映特定問題或系統的數學結構，如方程模型、函數模型等，以這種定義，小學數學教材中數學模型較少，且分散在特定教學內容中。

從思維過程看數學模型，人們先通過抽象，從現實世界進入數學內部，再通過推理實現數學自身發展，再將創建的方法和結論形成數學模型，廣泛應用以解決現實世界中的問題。建立數學模型的過程較為復雜，一般步驟為“模型準備——模型假設——模型建立——模型求解——模型分析——模型檢驗——模型應用”。可見，建構數學模型首先需要具有一定的抽象思維能力和推理能力。而中國心理學家朱智賢認為，小學兒童思維的基本特點是由具體形象思維過渡到抽象邏輯思維，但總體而言，思維特點仍然具有很大程度的具體形象性。

綜上可見，廣義的數學模型范圍很廣，小學階段模型思想的滲透教學會因泛化而難以聚焦;狹義的數學模型在小學階段較少涉及，難以讓學生有持續、深切的感悟。因此，需要以整體性的視角分析小學數學教材，提煉出基本的、核心的、貫穿于整個小學數學學習乃至后續學習的數學模型。同時因小學生思維特征的局限性，很難經歷嚴格意義的、完整的建模過程，所以小學階段模型思想的教學以長期滲透感悟為主：一方面從低年級開始，在長期運用數學模型的過程中引導感受模型的現實價值，并逐步形成模型直觀和模型意識，不斷深化對模型思想的感悟;另一方面結合相關教學內容引導學生經歷簡單的基本數學模型的建構過程，初步體驗建模的基本方法，感悟其中的模型思想，為后續真正意義的建模奠定基礎。

二、小學階段基本數學模型

史寧中教授認為，數學模型就是用數學的語言講述現實世界中與數量、圖形有關的故事。這樣的“故事”在小學教材中很多，筆者認為，量化、等價、數軸三種“故事”貫穿在小學數學內容始終，并對后續學習有著奠基作用。關注這三類數學模型并滲透引導學生感悟內在的思想，有助于學生對數學本質的理解，促進學生數學素養的提升。

（一）量化模型

量化即是用數講述現實世界中量的故事。量化所體現出的思想就是由簡單的定性描述過渡到精確的定量刻畫。量化模型所體現出的思想也就是為實現這種精確的定量刻畫建構出數學模型的思想。對現實世界中事物、現象的量化是數學中最為普遍的現象，也是數學在現實問題解決、文化交流中作用的充分體現。量化的過程從思維層面分析，運用了抽象、推理的數學思想，但量化后形成的整個結構，卻體現出模型的思想。量化實質就是“標準化”的過程，對量化后形成的數學模型的感悟，有利于學生初步了解“標準化”過程，形成“標準化”的意識，發展學生創造性思維。

量化模型中最典型的是時間模型，可以說，對時間的量化是人類迄今為止建構出的最為重要的數學模型。除了時間模型，在小學數學教材中還有長度、角度、重量、面積、體積等量化模型，這些模型，有的物化成工具，如直尺、量角器;有的沒有形成工具，但可借助其他工具度量后通過推算得來。

教學這些內容時，我們不僅需要關注每個度量單位的定義以及其中的抽象、推理過程，還要引導學生體驗到不同量化模型由定性描述到逐步精確定量刻畫而形成數學模型的過程，了解到該模型是基于怎樣的現實背景產生，怎樣與現實世界以及人們實際需要相聯系的。一方面讓學生的認知結構化，另一方面讓學生感悟不同量化模型中共同的思想，逐步形成對現實世界中的現象、規律進行量化并建構數學模型的意識。

（二）等價模型

等價即是用等式講述現實世界中相等關系的故事。史寧中、孔凡哲教授認為數學建模的本質就是通過等號將相互等價的兩件事情聯立，等號的左、右兩邊等價。等價模型所體現出的思想就是用等式建構等價模型的思想，而不論等號兩邊的量是已知還是未知，是一個還是多個，它要做的就是客觀描述現實世界中的相等關系。因此，等價模型滲透、貫穿在整個數學知識體系中，從一年級的1+1=2，到運算律a+b=b+a，到計算公式S=ab，再到方程、函數等，乃至其他領域的諸多模型如凱恩斯靜態模型、愛因斯坦質能變換公式等，都是從不同視角、用或數字或字母建構起等式，講述不同領域的等價關系的故事。它們中有的是描述現實世界中客觀現象的靜態等價關系，有的是描述現實世界中變化規律中的動態等價關系。從小學階段在教學中滲透等價模型的思想，不僅有助于學生對等式的理解，也有助于學生對不等式的建構，并孕育學生的代數思維，提升學生運用符號建構模型以表征現實世界中現象和規律的意識和能力。

等價模型無論簡單還是復雜，其中最重要的符號“=”是一年級就教學的。因此從低年級開始，就需要引導學生理解等號表示的等價關系，把等式看作整體對象來處理，滲透初步的代數思維，而不僅只關注它的推算意義;中、高年級在運算律、計算公式等的抽象與推導過程中，逐步讓學生經歷等價模型結構中從數到字母的擴展，感受到其本質都是表示等價的一種模型;到高年級認識方程，則需要進一步突出方程中所滲透的模型思想，進一步發展學生的代數思維和意識。

（三）數軸模型

數軸是刻畫一維空間的數學模型。它架構起了數與形的橋梁，是用數或形講述現實世界中對方的故事。數軸的三要素是原點、正方向和單位長度，這也是數軸模型的本質特征。因此，數軸模型所體現出的思想就是以原點、正方向和單位長度描述數量或空間相對位置關系的思想。在這種思想下，衍生出很多空間模型，如在二維、三維空間中的直角坐標系模型，球面空間中的黎曼幾何模型，四維空間中的愛因斯坦時空模型等，都是基于數軸模型思想在不同環境中的運用和延伸。數軸模型的思想不僅體現在圖形與幾何內容領域，在數與代數領域中也發揮著重要作用，在這種思想下衍生出了“線段圖”等常用數學模型。在知網期刊數據庫中搜索關鍵詞“數軸”，出現1655條結果，小學中就有大量運用數軸模型教學近似數、小數、負數、數的復習等案例，中學則更多，其他學科中還有運用數軸模型梳理近代史等內容的文章。可見數軸模型不僅是一種數學模型，它在多內容、各學段、多學科中都發揮著重要作用。

數軸作為定義是在七年級出現，但對于數軸模型的應用從小學低年級就開始滲透。在數與代數內容中，讓學生在“數線”上用數表示對應點就是最初步的滲透。將數軸運用在“數的認識”教學中，有助于學生直觀理解抽象的數，發展學生數感，逐步讓學生在頭腦中將“數”圖形化和結構化，并形成一種思維方式。在圖形與幾何內容中，用“第幾排”“第幾個”等方式確定位置就滲透著以數軸模型確定一維空間中位置的相對關系，到高年級則進一步拓展為用復合數軸形成的平面直角坐標系確定二維空間中的位置。要強調的是，小學階段教學中不需要揭示數軸中的概念，但對其滲透的思想要滲透引導學生感悟，不僅要將數軸作為相關知識學習的工具，更需要我們以整體化、結構化的視角研究其在小學教學內容中的滲透，并引導學生常態化地運用數軸模型，發揮其結構性的功能，溝通數與形的聯系，發展學生的數學表征能力，感受到數學知識之間、數學與現實世界之間的聯系，培養學生的發散性思維和創造性思維，形成用這一模型發現、分析和解決問題的意識與習慣。

三、模型思想滲透教學策略

（一）整體研讀教材，系統滲透教學

思想的感悟不是一兩節課能達成的，是有意識地長期滲透感悟的過程，這就需要教師深入理解并系統梳理小學教材，從低年級開始引導初步感悟，中高年級逐步抽象、概括，結合課程實施目標，制定關于模型思想滲透教學的整體目標與階段性目標，引導學生分步感悟模型思想。

如對于數軸模型的滲透教學，教材從一年級上冊“認識10以內的數”單元開始就出現數軸，之后的教材也大量出現，教師教學時除了要以模型思想實施滲透教學，讓學生逐步感受到各個數、各種數可以用這條直線上的點對應表示出，最終以數軸模型建構起整個關于數的知識結構，同時還要適時引導學生以此為工具解決相關實際問題，如在比較兩個數的大小、求近似數、“哪個數最接近某數”等問題中，除了允許學生用估計、計算等方法，還要有意識地引導學生在數軸中找到數的對應點，直觀地分析、解決問題。之后的小數、分數等數的教學，將數軸作為主線，從低年級的直觀數軸表征逐步過渡到高年級的想象數軸表征，幫助學生直觀、深入認數的同時發展數感，感受數軸模型的價值，感悟模型思想。在四年級“用數對確定位置”內容的教學中，可以先出示橫向排成一條直線上的幾位學生座位圖，讓學生說說其中一位學生的位置是在“第幾個”，再將幾個學生座位抽象成點，形成數軸，學生再次描述該學生的位置，使學生感受到數軸中原點和正方向的重要性，之后將圖進行擴展，出示二維座位平面圖，讓學生說說其中一位學生（在第一列中）坐在“第幾排”，再出示縱向數軸，再次讓學生感受縱向數軸中原點和正方向的作用。通過橫向、縱向兩次一維空間中某點位置的確定，抽象成兩條數軸模型，并初步建構出平面直角坐標系，之后再展開“數對”的教學。這樣，讓學生經歷從一維到二維空間中數軸模型的運用過程，發展學生用數去描述不同空間內相對位置的意識，幫助學生發展空間觀念的同時，感悟到確定空間位置時數軸模型的作用，感悟模型思想。

（二）建構結構性材料，觸摸模型本質

滲透模型思想，首先從提供給學生的學習材料開始。數學模型是一種結構，教師要有意識地遴選、編排一些結構性材料提供給學生，引導學生在這些材料中感悟到其中內隱的、本質的結構。對于一些數學模型的教學，可以通過具有結構性的材料的建構，引導學生運用材料開展分類、對比、交流等數學活動，在變化中感受不變的模型，觸摸模型本質，感悟模型思想。

如對于等價模型的滲透教學，從一年級教學中就可開始，并貫穿整個小學階段。吳恢鑾老師在一年級教學中先引導學生借助天平直觀，分別開放地讓學生寫□=□+□、□+□=□+□兩類等式，再將學生作品進行有序展示，組織交流活動，之后由直觀操作提升到符號操作，呈現“9+▲=■+4”，引導學生想一想▲和■可以各是多少，列舉出來，再進行展示交流。教師通過問題引領、開放探究，通過具有結構性的學習材料的展示引導學生開展交流活動，讓學生在不同類型的等式中觸摸等價模型本質，發展代數思維，感悟模型思想。到五年級對于認識方程的教學，則需進一步體現等價模型本質。筆者教學時通過天平直觀引導學生建構50+50=100的等式引入，之后呈現天平一邊是x克和50克，另一邊是100克，通過問題“你會像剛才那樣，用式子表示現在天平的狀態嗎？”引領學生自主建構等式，通過展示兩種典型等式“x+50=100”和“100-50=50”，引導學生在對比辨析后達成共識：“x+50=100”清楚表示出天平現在狀態，而另一式子是在求x的結果。從而突出了建構方程模型的關鍵：客觀描述等價關系。之后練習環節分別呈現兩組具有結構性的題組，題組一：①男生有15人，女生有13人，一共有多少人？②男生有15人，女生有a人，一共有28人。③男生有b人，女生有13人，一共有28人。題組二：①平行四邊形的底是5米，高是4米，面積是多少平方米？②平行四邊形的底是x米，高是4米，面積是20平方米。③平行四邊形的底是5米，高是y米，面積是20平方米。引導學生分組寫出等式，并思考“如果將每組等式看作天平，左、右兩邊各是什么？”之后通過展示、交流，引導學生在具有結構性的材料中感受到數量間的相等關系、計算公式等就是一架隱形天平，寫等式關鍵在于建構出內在的等價模型。

此外，在運算律等內容的教學中，也可通過建構具有結構性的材料，引導學生初步經歷模型建構的過程，感悟到同一類不同等式中內在的相同結構，不斷深化對模型思想的感悟。

（三）開放活動空間，經歷建模過程

小學階段學生因思維特征的局限性，難以進行嚴格意義的建模活動。但對于一些簡單數學模型的教學，基于學生已有經驗和認知特點，開放活動空間，引導學生經歷初步的模型建構、精確化、優化、運用的過程，有助于學生積累初步的建模經驗，體驗其價值，感悟模型思想。

筆者理解，強震球老師在四年級“角的度量”一課教學中，就圍繞“度”（公度）和“量”（測量）這兩個核心，引導學生逐步建構起關于角度的量化模型（物化為量角器），再運用模型解決現實問題的過程：首先通過“比角”活動引發學生運用“公度”度量角度的內需，并用“單位小角”（10度角）比較出兩個角的大小，之后通過問題“怎樣量角方便？”激活學生合并“單位小角”、建構量角模型的內需，通過演示，呈現出18個“單位小角”累積的半圓度量模型，接著讓學生用該工具量幾個角，其中有一個角比兩個“單位小角”多出一點點，引發學生細化度量單位以使度量精確化的內需，教師順勢將每個“單位小角”平均分成10份，形成量角器雛形，之后再通過問題引領，將量角器逐步優化，形成規范的量角器，最后組織學生用量角器準確度量不同類型的角。整個教學中，學生經歷了“公度”需求、“單位”累積、“單位”細化等建構量化模型的過程，在用量角器量角的過程中逐步掌握了模型運用的方法，感受到模型的現實價值。

（四）介紹數學故事，了解模型歷史

很多數學模型形成的過程經歷了曲折而有趣的過程，其歷史故事也讓抽象的數學模型有了更多人文氣息，成為數學文化的一部分，并在數學教育中發揮著不可替代的作用。在數學教學中適時介紹數學模型背后的歷史故事，一方面能讓學生了解到數學模型形成的背景，從而進一步感受其價值;另一方面讓學生整體了解到該模型經歷了怎樣的形成及演變過程，深化對建模過程的了解，從而發揮數學史的育人功能。

以模型思想感悟的視角引入數學故事，首先需要教師對教材內容發掘和梳理，適時滲透引入。如在二年級綜合實踐活動“我們身體的‘尺”一課的教學中，可以滲透人類面對長度度量問題，經歷了怎樣從“身體尺”到“工具尺”的演變過程，其中遇到哪些問題，又怎樣不斷將度量單位精確化和擴展，最后形成現在的數學模型的。教學四年級“用數對確定位置”時，可以在新授前或者在新授后適時引入“笛卡爾與蜘蛛”的故事，讓學生了解到數對這一枯燥的數學模型背后有著怎樣生動、有趣的故事，感受到復雜的數學模型的形成有時就是這么簡單，發展數學眼光、提升學習自信。在三年級“年、月、日”教學中，可以適時結合天文知識介紹復雜的時間模型是怎樣形成并逐步精確化的，也可穿插“愷撒修歷法”等小故事，讓數學模型的感悟更有溫度。

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