指導建模，培養數學核心素養

李小花

【摘 要】 著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究。”數學建模，就是根據問題構建數學模型，然后對模型進行求解，再根據模型去解決實際問題。要提升學生的核心素養，就要重點進行建模訓練，利用數學建模幫助學生將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，從而不僅優化學生的解題效率，提升解題質量，更培養學生的數學核心素養。

【關鍵詞】 數學建模;核心素養;策略研究

高中數學學科蘊含著豐富的數學思想，學生在數學學習中如果不能掌握數學思想和方法，那么數學學習難免步入“頭痛醫頭，腳痛醫腳”的境地，學習停留在表層。因此，我們教師在平時的數學教學中，要不斷滲透數學思想和數學方法，讓學生在數學學習中深度理解和感悟數學，領會數學的本質。數學建模思想是數學學習中一種非常重要的思想和理念，可謂貫穿數學學習的始終。因此，教師要引導學生完美構建數學模型，鍛煉學生的分析問題與整理歸納問題的能力，進而提高學生的數學核心素養。

一、問題線型均勻，提出假設

建模最關鍵的一步是由假設開始，在充分了解問題的主要目的之后，分清問題的主次，將實際問題均勻化、理想化、簡單化，抓住核心歸納要求，提出合理有效的假設。假設不僅要準確清楚，還要有效，最好要數學化，要重視邏輯性表達，

以《統計》一章為例，有問題：工人將生產成功的產品放在經過的掛鉤上運送走，如果工作臺數不變，掛鉤越多時，傳送帶運送的產品越多。在生產穩定之后，分析怎樣選擇表達傳送帶效率的指標。本題中，筆者提出以下四個假設：1.工作臺均勻放置，工人們互不影響，生產周期都是相同常數;2.生產穩定之后，工人生產產品的時刻在同周期內是有同樣概率的;3.掛鉤是均勻放置，同周期內掛鉤經過工人時，第一個都是空的;4.工人在生產完一件產品后都只能遇到一個掛鉤，假如掛鉤是空的，就掛上產品運走，當掛鉤有產品，這件產品被放下，不再運送。那么同學們有疑問：如何將問題均勻化呢？本題中，周期化問題和每個工人生產一件產品的時刻以及掛鉤上是否有產品等都屬于隨機因素，這就需要將問題均勻化，在隨機因素平均化的條件下，合理地進行假設。

模型的假設是數學建模的基礎，學生進行假設不僅鍛煉邏輯推理能力，而且提高了學生的數學思維。因此，明確問題的本質，使問題均勻化，簡化變量直接到關系，從而得出有效準確的假設。

二、利用數據資料，科學求解

數據處理是數學建模的基礎，它要求對數據資料進行分析與整理，明確數據資料的整體趨勢以及重點，熟悉應用數據，將模型中的數據規整為數學表達，歸納為熟悉的知識點，再對問題進行嚴謹科學的求解。

以“三角函數”為例，求解f（θ）=（0<θ≤π）的最小值。在本題中，同學們看到求解最小值就會直接使用基本不等式，得出結果最小值為2，但是這樣忽略了等號成立的條件。筆者提醒同學們：要靈活應用數據條件，在題中，可以將函數變換為f（θ）=，同學們發現這個表達式中包含了原有熟悉的知識點，這就將一個代數模型轉化為一個幾何模型。在這里，學生可以看出，這個問題轉化為了求解過定點A（0，-16）和動點B（4sinθ，sin2θ）的直線AB的斜率的最小值是什么？此時，問題通過對數據的整理以及科學的分析，變成較為簡單的模型問題。筆者對數據的分析和歸納，引導學生構造最基本的模型且轉化為最基礎的數學知識，使同學們對問題有更加本質的了解，更易于科學的求解。

經過對數據的整理與分析，準確找到數據之間的關系，對模型的參數進行估算，學生可以采用方程運算或者畫圖分析等方法，根據問題進行建模，利用原有數學知識科學簡便地求解各類實際問題。

三、解釋使用范圍，討論驗證

在構建好數學模型，明確使用范圍之后，需要組織討論并驗證數學模型的準確性和合理性以及是否符合實際要求，符合時，就需要根據模型明確使用范圍，然后求解，不相符時，就需重新提出假設，分析問題，整理數據，直至得出有效的結論。

以“函數”為例，在學習檢驗模型之前，筆者先讓同學們回答三個問題：1.建立的模型類型是什么？2.該模型是否有效？3.該模型是否可行？以簡單函數問題為例，已知函數f （x）為定義在R上的奇函數，當x≥0時，有f （x+3）=-f （x），且當x∈（0，3）時，f （x）=x+1，則f （-2017）+f （2018）是多少？首先由題意可知，函數f （x）是在R上的奇函數，所以f （-2017）=-f （2017），在x≥0時，f （x+3）=-f （x），所以f （x+6）=-f （x+3）=f （x），所以x≥0時，周期就是6，可知f （2017）=f （336×6+1）=f （1）=2，同理，f （2018）=f （2）=3，因此f （-2017）+f （2018）=-2+3=1。在本題中運用了函數的周期性，而抽象函數的周期性就是一種解題模型，在確定好使用范圍后，討論本題是否可以使用該模型，然后通過計算驗證該模型對本題是否有效、是否可行，能否得出準確的答案。

驗證模型實際就是一個重復建模的過程，不僅可以完善構建的數學模型，使學生積累經驗，并且可以拉動學生的思維，讓他們在理解與分析的過程中優化數學模型，養成“數學思維”，從而提高學生的數學核心素養。

數學建模充滿了探索與分析，建模過程對于學生來說是一種很好的數學訓練，并且將理論知識融合在實際問題中，不僅使學生更好地結合數學與生活，提高了學習質量，更是鍛煉了思維能力，促進學生提高了數學核心素養。

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