優化設計，提升推理能力

姚園

摘要：推理能力是數學學習十大核心素養之一，也是學生數學學習必備的能力之一。本文從日常教學中的問題出發，通過設計和實踐教學過程，得出了幾點經驗，以期培養學生的推理能力，提高小學數學教學的有效性。

關鍵詞：小學數學? ?三角形? ?三邊關系? ?推理能力

一、緣起：尋找瓶頸，落實推理

《三角形三邊關系》屬于空間與圖形范疇的內容，它建立在學生初步認識角、認識三角形的基礎上。要想提高《三角形三邊關系》的教學效率，教師必須有效解決以下四個問題：①給學生一些線段，學生能從中選取合適的線段圍成三角形嗎？②圍成或圍不成三角形的關鍵在哪里？教師提供的材料會影響學生操作或者結論的產生嗎？③這些問題的思考是停留在操作層面，還是在操作中需要學生具備一定的推理能力？④如何在教學環節落實發展學生推理能力的目標？

基于以上四個問題，筆者設計和實踐了《三角形三邊關系》的問題情境與練習，并論述了實踐后的反思與思考。

二、踐行：追根漣源，落地抓手

筆者對《三角形三邊關系》的教學進行了如下設計與實踐：

1.復習引入，埋下推理的種子

筆者提出問題：“如圖1所示，判斷下面哪些圖形是三角形，并說明理由？思考是不是任意的三條線段都能圍城一個三角形？”

在本環節中，筆者選取了最常見的一種導入方式——復習引入，讓學生通過判斷圖中哪些是三角形，以此明確三角形有三條邊，且三角形是一個由三條線段圍成的封閉圖形，從而讓學生復習已有的知識，主動進行思維活動。“是不是任意的三條線段都成圍成三角形呢？”這一問題不僅順勢引出了本節課的學習主題，還給學生埋下了推理的種子。

2.關系展開，促進推理能力的發展

學生推理能力的形成是一個緩慢的過程，它必須通過整個數學學習活動才能形成。

（1）情境設計，搭建推理平臺

本案例中，筆者為每個學生提供了4根長短不一的小棒，分別為4厘米、5厘米、6厘米、10厘米，讓學生任意取3根，開展圍三角形的實驗，為學生后續的推理搭建平臺。同時，筆者還設計了“每次都能圍成三角形嗎？你有什么發現？”等問題情境，明確告知學生需要做什么，該怎么做。這樣一來，學生能在更加自由廣闊的空間中合作、探究和發現。除此之外，筆者還提供了4根小棒讓學生展開圍三角形的實驗。一方面，讓學生明確三角形是一個由三條邊圍成的封閉圖形，重溫了三角形的特征知識;另一方面，學生通過實驗、激疑、觀察、合作交流、驗證等環節，發現并不是任意的三根小棒都可以圍成三角形（如表1所示），三角形的三邊具有特定關系。由此可見，問題的設計起到了知識點間承前啟后的作用，使得推理有根可尋。

（2）分析特例，提供推理依據

在學生動手實驗后，筆者問學生：“第二組確定不能圍成三角形嗎？”

學生1說：“我把兩條邊往下壓，兩條邊越來越接近，最后在很低的時候接上了。”

筆者接著問：“那是圍成了三角形，還是沒有圍成三角形呢？”

學生2說：“我反對。一直把兩條邊往下壓，兩條邊越來越接近，直到最后是三條邊重合在了一起，而不是圍成三角形。”

學生3說：“這樣不能圍成三角形，因為4+6=10，最終只能重合。”

筆者最后問：“通過實驗，你們得出了什么結論？”

學生齊聲回答：“兩邊之和等于第三邊不能圍成三角形。”

針對第二組的結論，學生分歧很大，部分學生認為可以圍成三角形，部分學生認為不能圍成三角形。于是，筆者讓學生進行實驗并交流，一步步引導他們發現和解決問題。當兩根小棒之和等于第三邊時，實驗呈現的結果不是很明確，所以筆者繼續追問學生，使得學生不斷在圍成與圍不成三角形中進行操作與推理，最終得出正確的結論。

筆者繼續問學生：“第四組真的不可以圍成三角形嗎？”

學生1回答：“我把4和5的兩條邊不斷往下壓，發現兩條邊越來越靠近，但是直到平行還是會有一個缺口，所以圍不成三角形。”

學生2回答：“4+5=9，兩條短邊加起來比10小，所以永遠不可能圍成三角形。”

筆者說：“通過這組實驗，你們發現了什么？”

學生3回答：“當兩短邊之和小于第三邊，不能圍成三角形。”

這一組的實驗結果很一致，學生通過操作后發現：當短的兩根小棒之和都不及一根長的小棒時，那么這三根小棒是不可能圍成三角形的。在這一環節的交流過程中，學生通過實驗、觀察和驗證，自然而然地得到了結論。

（3）猜測結論，指明推理方向

學生通過分析四組實驗的情況，尤其是分析兩個反例后，借助前面已有的結論與經驗進行有目的地猜測（合情推理），得到一個結論。推理是建立在大膽的猜想之上的，所以筆者鼓勵學生通過觀察、實驗、類比、歸納等方法大膽提出猜想，有助于學生掌握數學知識，學會了探求知識的方法。

（4）驗證數據，證明推理結果

最后，筆者問學生：“請你們觀察一下，任意兩條邊之和大于第三條邊就能圍成三角形嗎？”

學生1回答：“這個說法不對，第二組中4+10>6，可是這三根小棒不能圍成三角形。”

學生2回答：“是的，第四組中4+10>5，也圍不成三角形。”

筆者問：“那么到底什么情況下才可以圍成三角形呢？”

學生3回答：“我發現了，只要加上任意兩字就可以了。你看第一組中4+5>6，5+6>4，4+6>5。”

筆者問：“你們能得出結論嗎？”

學生齊聲回答：“任意兩邊之和大于第三條邊才能圍成三角形。”

學生4說：“我有補充，只要兩條短邊的和大于第三邊就行了。”

學生從已有的事實出發，發現在圍不成三角形的實驗中，仍然存在兩邊之和大于第三邊的情況，所以結論其實是不正確。隨即，筆者提出質疑：“到底三角形的三邊有何關系？”伴隨著猜測，學生通過事實數據得到了證實，進一步完善了第一猜測的結論。這樣一來，學生用已有實驗的結果事實推翻了前一次的猜測結論，然后又大膽進行第二次猜測，再一次得到證實，合情推理與演繹推理完美結合，兩者相輔相成。

3.分層練習，助力推理能力的提升

練習不僅能鞏固所學知識，還能升華知識。因此，筆者設計了鞏固型、拓展型、應用型三個層次的練習。

（1）鞏固型

筆者設計了這樣一道目：下面四組線段能圍成三角形嗎？（單位：厘米）

①4，9，5;②8，7，6;③3，10，5;④6，7，10。

通過出示四組數據的線段，筆者讓學生判斷它們能否擺成三角形，并給出合理的解釋，從而簡單鞏固與應用三角形三邊關系的特征，提高學生的推理能力。

（2）拓展型

筆者設計了這樣一道題目：已知兩條線段的長度分別為4厘米與9厘米。①另有長度分別為5厘米、6厘米、7厘米、13厘米的線段，能與前兩條線段組成三角形的線段有哪幾條？②第三條線段還可以是哪些長度（取整理米數），它最長是多少厘米？最短是多少厘米？

在解答這道題目時，學生需要逆向思維，所以筆者把問題分為兩個小問題，讓學生利用已有的知識（三角形任意兩邊之和大于第三邊）進行演繹推理，選取合適的第三條邊。在解答第二個小問題時，學生在深刻體會兩短邊之和大于第三邊的規律后，發現要保證圍成三角形，除了兩邊之和要有關系，兩邊之差也同樣存在關系，從而得出三角形中兩邊之差必定小于第三邊的結論。

（3）應用型

如圖2所示，這道練習題的設定，一方面，能讓學生認識到數學結論不僅可以解決數學問題，還能解決生活問題，激發學生的學習興趣，為培養學生推理能力打下良好的基礎;另一方面，學生通過已有的知識又推理出了一個新的結論，即兩點間直線段最短。

三、啟迪：形成策略，提升學力

《小學數學新課程標準》指出：“推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程。”那么，如何培養學生的推理能力呢？

1.還原數學的思考，提供推理平臺

“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是個事實性結論，學生接受起來十分容易。但他們常常難以洞悉結論背后隱藏的思考，如為什么三角形中任意兩邊的和會大于第三邊。因此在教學中，筆者花費了大量時間讓學生經歷實驗，觀察、猜想、證明這些過程，得出“任意兩邊之和大于第三邊就能圍成三角形”這個逆命題，從而理解原有的事實性結論。筆者認為，在教學過程中，教師應努力還原數學的思考過程，無論是計算方法的獲得、規律公式的應用，還是問題的解決，教師應多提出諸如“為什么”“你是怎么想的”等問題，鼓勵學生從數學知識的本質、意義上出發進行推理，以獲取方法的總結或結論的成立。

2.外化推理的過程，培養推理能力

簡單而言，推理的目的是為了證實結論。但是，在培養學生推理能力的過程中往往存在一些問題。第一，在引領學生推理時，教師重視結論、輕視推理的過程;第二，學生的推理過程比較內隱，教師會忽視學生推理過程是否正確，導致學生的推理能力無法得到真正意義上的提高。因此，教師必須讓學生的推理過程外顯化。

在教學《三角形三邊關系》的過程中，筆者讓學生把圍三角形的操作結果記錄在表中，呈現出操作結果。然后，學生通過觀察，以及同學間的相互交流、師生的對話，分析實驗數據，并最終獲得結論。這樣，學生能學會用語言描述數學知識的形成過程，有利于學生的思維外化，也有利于教師有針對性地引導學生的推理過程、方法等，有效培養學生的推理能力。

3.積累活動的經驗，提升推理能力

經驗是個性化的產物，它看不見，也摸不著，但經驗的積累離不開個體的親身經歷。在教學過程中，筆者讓學生通過實驗經歷學習過程，使學生體會了探究新知識的樂趣，積累了數學活動的經驗，提升了數學推理能力，這也是實驗 的教學價值。因此，小學數學教師要讓學生多經歷“猜想—證明”的問題探究過程。值得注意的是，在教學過程中，教師要處理好自身的進退關系，關注學生的親身經歷，鼓勵學生用合情推理進行大膽推測，最后發現結論，再用演繹推理證實結論，完成整個推理過程，進而提高學生的推理能力。

參考文獻：

[1]教育部.數學新課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]劉加霞.探究性教學要選擇“好素材”[J].教育大觀，2011，（23）.

（作者單位：杭州市賣魚橋小學）