淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

王小軍

文章摘要：數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化，是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，利用它可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。數(shù)學(xué)結(jié)合貫穿初中數(shù)學(xué)始終，為培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 聯(lián)系 轉(zhuǎn)化

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的;或是借助借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。它可以使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化，因此，數(shù)形結(jié)合思想，是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，在初中的教和學(xué)中廣泛運(yùn)用，貫穿了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

縱觀初中數(shù)學(xué)教學(xué)的四部分內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合”，我們不難發(fā)現(xiàn)：四部分內(nèi)容中“數(shù)”和“形”都緊密聯(lián)系，密不可分，哪一部分都有“數(shù)”和“形”，也可以說(shuō)“數(shù)”和“形”是初中數(shù)學(xué)的基石，是初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的基本內(nèi)容。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)有意識(shí)地抓住“數(shù)”和“形”結(jié)合的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)方面：“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”滲透數(shù)形結(jié)合思想，在形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究能和解決問(wèn)題能力，提高學(xué)生有效掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。

一、明確“數(shù)”與“形”的結(jié)合思想

“數(shù)”，早期是古代的計(jì)數(shù)，現(xiàn)在表示數(shù)量的概念;“形”，早期是古代的形狀，現(xiàn)在表示空間的概念。它們雖為不同的的兩個(gè)概念，但彼此間相互聯(lián)系和發(fā)生轉(zhuǎn)化：每一個(gè)“數(shù)”，都可以通過(guò)幾何圖形直觀的反映和描述出來(lái);每一個(gè)圖形，都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，所以，“數(shù)”和“形”常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。為此，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非;切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”

明確了“數(shù)”和“形”之間是“永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”，我們就應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中，充分利用“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的數(shù)形結(jié)合思想，教給學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，不僅直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。簡(jiǎn)而言之，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路;在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。

二、“以形助數(shù)”，形象直觀的解題途徑和方法

縱觀初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合”四部分教學(xué)內(nèi)容，每個(gè)部分都蘊(yùn)含著抽象的概念和數(shù)量關(guān)系，而這些對(duì)于抽象思維不發(fā)達(dá)的初中生來(lái)說(shuō)是難以理解的。因此，作為教師可以充分借助“形”來(lái)將抽象的概念、數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，以此引導(dǎo)學(xué)生在分析圖形的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)概念、數(shù)量問(wèn)題的解決。

如七年級(jí)數(shù)學(xué)中“有理數(shù)”的相反數(shù)的教學(xué)，學(xué)生可能能機(jī)械地記住這些概念，但很難正確理解其意義，這時(shí)，我們就可以借助數(shù)軸，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)刻畫加以描述，讓相反數(shù)的概念形象化、具體化，利于學(xué)生的理解和掌握。

“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合方法，不僅可借助數(shù)軸，也可借助借助函數(shù)圖象;借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征;或借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系;或借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合等，

三、“以數(shù)輔形”，圖形更具有精確性嚴(yán)密性

雖然圖形具有形象、直觀的特點(diǎn)，能將抽象的思維形象直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，但是圖形無(wú)法定量，這就需要借助具體的數(shù)來(lái)為該圖形定量，正確的把圖形數(shù)字化，“以數(shù)輔形”進(jìn)行分析計(jì)算。這一點(diǎn)，特別適合義務(wù)教育的初中數(shù)學(xué)。究其因，乃《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，對(duì)幾何內(nèi)容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，教師就更應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合的“以數(shù)輔形”數(shù)形結(jié)合思想，從形到數(shù)，揭示“形”中“數(shù)”的本質(zhì)。

在初中數(shù)學(xué)《圓》這一章，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，就是通過(guò)“以數(shù)輔形”，使圖形具有精確性嚴(yán)密性。

例如：圓與圓的位置關(guān)系，設(shè)兩圓的半徑分別為R、r（R>r），圓心距為d，

則當(dāng)d>R+r兩圓外離

當(dāng)d=R+r兩圓外切 當(dāng)R-r

這種描述，正是通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)揭示事物本質(zhì)特征，既直觀又能體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律.

總之，“數(shù)”產(chǎn)生于各種“形”的計(jì)算， “數(shù)”又借助于“形”得以記錄、使用、計(jì)算。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展中，教師切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生能利用直觀的圖形來(lái)探究數(shù)量關(guān)系，或利用數(shù)量關(guān)系賦予圖形以意義，在形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用中，“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”有效掌握靈活的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究能和解決問(wèn)題能力有著巨大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

1、《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題》 華羅庚1946年

2、《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》 北京師范大學(xué)出版社 2002.9.

3、宋英海.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015