系統思維導向下的“六何”認知環教學設計

陸宥伊 周瑩

【摘 要】螺旋式上升的數學內容指教學內容在不同階段重復出現，但在深度和廣度上呈現出實質性的變化。傳統教學往往局限于零敲碎打的知識點，不利于學生構建整體知識體系與建立知識聯結。鑒于此，文章試圖以系統思維為指導思想，以“六何”認知環構建教學設計框架，并以“一元二次方程的解法”第一課時為例闡述該框架的運用，以期為一線教師在對螺旋式上升的教學內容進行教學設計時提供教學參考。

【關鍵詞】系統思維;“六何”認知環;螺旋式;教學設計

螺旋式上升指在充分考慮學生認知特點與發展規律的前提下，安排課程內容在不同階段重復出現，但在內容的深度和廣度上呈現出實質性變化[1]。在這樣一個強調知識之間的系統綜合與實質關聯的新課程背景下，課堂教學對教師基于系統思維研讀教材與學生運用系統思維全面思考提出了更高的要求。傳統教學往往局限于零敲碎打的知識點，淡化知識的整體與聯結，在這種“段節式”的教學模式下，學生也只能進行“點狀式”的學習。在這里，亟待探討與解決的問題有：如何對螺旋式上升的知識進行教學設計以提高教學的有效性？如何讓學生學會思考，把“點狀式”學習轉變成“網面化”學習？本文試圖以系統思維為指導思想，以“六何”認知環構建教學設計框架，并以“一元二次方程的解法”第一課時為例闡述該框架的運用，以期為一線教師在對螺旋式上升的數學內容進行教學設計時提供教學參考。

一、系統思維與“六何”認知環的理論基礎

系統思維是把認識對象作為一個完整的系統，從整體觀及聯系觀出發，分析系統和組成要素、要素和要素、系統和外部環境之間的相互聯系及相互作用，綜合考查認識對象的一種思維方法。其具有整體性、關聯性、層次性、有序性、動態性等特征。

周瑩教授基于系統論和連貫理念在“六何”認知鏈的基礎上提出“六何”認知環。“六何”認知環作為一種緊扣教學主題、巧用問題驅動、激發思維活動的教學策略，能夠形象地體現教學的完整性與連貫性。其構成要素包括“從何”“是何”“與何”“如何”“變何”“有何”。“從何”強調從整體視角看知識的來龍去脈，找準教學起點，激活新知生長點;“是何”強調對新知的概念、定理、本質等的理解與掌握;“與何”強調從關聯視角看知識間的密切聯系，把學生的“點狀式”學習引入關聯學習，促進融會貫通;“如何”強調理解和運用的認知過程，力求對新知的應用規范和保持思維的嚴謹性;“變何”強調對問題的變式拓展，通過問題的提出和變式，幫助學生觸類旁通，拓寬思維層面;“有何”強調學生學有所得，促進學生建立良好圖式，完善知識體系[2]。基于系統思維對螺旋式上升的數學內容進行研讀，準確定位教學目標及核心素養，用以指導“六何”的設定。這樣的教學設計既符合學生的認知特點與發展規律，也有利于學生對整體知識與關聯知識的掌握，提高學會思考、學會學習的能力。文章參考了宋運明的螺旋式上升內容分析框架[3]，溫建紅的研讀數學教科書的方法[4] 以及周瑩的“六何”認知環理念，構建系統思維導向下的“六何”認知環教學設計框架（如圖1）。

二、系統思維導向下的“六何”認知環教學案例

（一）內容分析

本文選取湘教版數學九年級上冊“一元二次方程的解法”第一課時，運用系統思維分析主題內容，把握教學目標及核心素養，實現教學目標與教學內容的一致性。

1.從整體視角分析方程主題.

從整體視角分析義務教育階段中“方程”這一主題的課程標準要求、螺旋間隔、內容深度和內容廣度，并運用思維導圖對相關內容進行梳理，把零碎化知識構建成具有整體性、層次性的知識結構系統（如圖2）。從課程標準要求看，學習方程的認知動詞包括了解、理解、掌握、能用、會用等;從螺旋間隔看，方程的學習始于第二學段的五年級上冊，在第三學段出現了四次螺旋，包括七年級上冊的“一元一次方程”、七年級下冊的“二元一次方程組”、八年級上冊的“可化為一元一次方程的分式方程”及九年級上冊的“一元二次方程”;從內容深度看，方程難度呈現“簡單—多元—高次”逐級加深的特點;從內容廣度看，九年級上冊的“一元二次方程”有五小節，所涵蓋的知識面更廣。從整體視角研讀教材可宏觀體現知識體系，指導“從何”設定，找準教學起點，讓學生欲探其“樹”，先觀其“林”。

2.從關聯視角分析一元二次方程的四種解法

系統分析第三學段方程之間的聯系。一元一次方程是最簡單的方程模型，學生已熟悉并掌握了一元一次方程的基本解法與步驟;二元一次方程組的解法實質是解決“多元”的問題，通過“消元”將其轉化為一元一次方程進而求解;可化為一元一次方程的分式方程的解法實質是解決“分母含未知數”的問題，通過“去分母”將其轉化為一元一次方程進而求解;一元二次方程的解法實質是處理“高次”問題，通過“降次”將其轉化為一元一次方程進而求解。可見，方程的基本求解思路都是將方程轉化為一元一次方程：在對本節課設計教學時，教師可通過類比二元一次方程組和可化為一元一次方程的分式方程的解法，思考與探索一元二次方程的求解思路。

（二）內容的教學設計.

1.定位“從何”，厘清知識脈絡

問題1：在初中階段，一共學習了哪些方程？

問題2：二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程的求解基本思路是什么？回憶方程的解法（見表1），并完成表格。

方程與一元一次方程比較求解基本思路

二元一次方程組

可化為一元一次.方程的分式方程

一元二次方程

基于系統思維的整體觀來設計“從何”這一環節的問題串，以學生已有的知識經驗為出發點，引導學生有意識地構建初中階段所學的幾種方程模型體系。通過比較，學生可發現二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程的求解基本思路實質都是轉化為一元一次方程，這有利于他們對方程內容的整體認知，激活一元二次方程的解法生長點。

2.探析“是何”，明確方法思路.

問題1：一元二次方程與一元一次方程的本質區別是什么？

問題2：你能得出一元二次方程解法的基本思路嗎？

通過對關聯知識的類比來探析“是何”，讓學生在接觸用直接開平方法求解一元二次方程之前，獲得“降次”這一基本思路，此思路將貫穿整個求解一元二次方程的學習過程。學生有了思路方法，才有了主動思考的驅動力，可避免陷入過分追求技巧、死記硬背、機械解題的重負荷學習中。

3.關聯“與何”，尋找關鍵步驟.

問題：對于方程x2-200=0，你以前見過它嗎？若將其變形為x2=200，你能用以前學過的知識解決嗎？[WBZ].

學生可直接根據平方根的意義，得出x=200或x=-200，故原方程的解為x1=0，x2=-0。接著教師與學生共同總結：形如x2=a（a≥0）[WBZ]的方程可以用直接開平方法求解，可見，開方是實現“降次”的關鍵步驟。

基于系統思維的關聯性設計“與何”環節，引導學生回憶、提取與新知密切聯系的知識。直接開平方法為后面學習配方法做鋪墊，既體現了一元二次方程的特點，又反映了一元二次方程與一元一次方程在解法上的內在聯系。

4.深究“如何”，明白知識本質.

問題1：你能用其他方法來求解方程x2-200=0嗎？

問題2：若把方程x2-200=0變形為x2-02=0，你想到了什么方法？

學生根據平方差公式，得到（x+0）（x-0）=0，解得x.1=0，x.2=-0。教師解釋這種方法叫作運用平方差的因式分解法，因式分解法是解高次方程的本質思想方法。

雖然直接開平方法能夠達到“降次”的目的，但是未能顯出“降次”的本質，[WBX]即把方程ax2+bx+c=0（a≠0）左邊的二次多項式分解為兩個一次多項式的乘積，表示為ax2+bx+c=ax-x1x-x2。深究“如何”，讓解高次方程的基本思想方法——因式分解法在這一過程得以滲透與顯現，深化學生對求解一元二次方程實質的理解。讓學生在學習接下來一元二次方程的各種解法時能做到由點連線，由線織面。

5.注重“變何”，擴展思維層次

問題1：你能用上述的兩種解法來求解下列方程嗎？

①4x2-200=0 ;②（1+x）2=200; ③（2x+1）2=2。

問題2： 一個球的表面積為100cm2，求這個球的半徑。（球的表面積公式為[WBX]S[WBZ]=4π[WBX]R2，R[WBZ]為球的半徑）.

問題3：如圖3，在正方形紙片[WBX]ABCD剪去一個邊長為a（a為常數）[WBZ]的小正方形，剩余部分的面積為4cm2，求正方形紙片ABCD的邊長。

采用課堂小組競賽的形式展開“變何”教學。此環節按照方程難度對[WBX]x[WBZ]2-200=0進行變式，涵蓋了方程“變系數、變符號、變表征”的情形，這種形變而質不變的訓練既強化了學生對一元二次方程解法的把握，又體現了思維發展的過程。當學生能用系統思維分析問題的屬性，他們就能從自身已有的解題經驗中尋找到適用于目標問題的方法。以簡馭繁的思考過程既體現系統思維的層次性，也有利于提高學生的思維層次水平，并落實數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養。

6.反思“有何”，構建知識圖式

問題1：通過這節課的學習，你學到了哪些知識，體悟了哪些思想？

問題2：你能用思維導圖或圖表的方式將自己的收獲可視化嗎？

教師引導學生用思維導圖的方式歸納本節課的知識（如圖4）。

學習是個體主動地將知識構建到自己原有的認知結構的過程。反思“有何”，一是檢測學生學習的基本情況，二是促進學生不斷擴充和完善知識體系，讓學生有意識地構建知識的整體與聯結，有利于運用知識時能準確、快速地回憶及提取，提高學習的有效性。同時，在這一過程中體現了整體性貫穿系統思維活動的始終，而在系統思維導向下的“六何”認知環教學設計保證了方程這一主題內容教學的完整性、連貫性與動態性。

三、評價與思考

正如認知負荷理論提出的，工作記憶在加工認知任務所包含的信息時，一般需要對所有元素以及元素間的交互作用同時加工，才能整體理解認知任務，若有元素或其交互性不能同時被加工，則會對認知任務產生片面理解[6]。該理論再次凸顯把握好知識的整體性與關聯性在學習中的重要性。教師應認識到，對學生系統思維的培養，有利于學生養成主動思考問題的習慣，提高其邏輯推理與數學抽象能力，避免“見木不見林”[7]。而系統思維導向下的“六何”認知環教學策略便是從整體、關聯的視角設計教學，在減輕學生認知負荷的同時也引導學生學會思考、學會學習。當然，在實際教學中運用“六何”認知環教學策略還需做一些思考，總結如下。

（1）靈活運用策略設計教學。“六何”認知環的教學策略在緊扣主題內容的前提下可以調整順序，以適用教學不同內容的數學。例如，概念課與復習課在進行教學設計時要遵循學生的認知規律，概念課的教學可用“從何—是何—與何—如何—變何—有何”的順序，而復習課的教學可用“從何—是何—為何—與何—變何—有何”的順序。

（2）用“六何”認知環指導學生自主學習。“六何”認知環不僅可以作為教師的教學策略，也可作為學生的認知策略。這無疑為學生的自主學習提供了清晰的指導方法，學生可根據“六何”認知環進行自我調控及深度學習。正如數學家華羅庚所說： “一切創作發明，都不是靠別人教會的，而是靠自己想，自己做，不斷取得進步。”自主學習的習慣終將內化為終身學習的能力。

（3）發展學生的關鍵能力既是教學目標也是學習本質。史寧中教授認為，“三會”即“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言表達世界”是學生應具備的數學學科核心素養[8]，而系統思維就是一種把握事物整體性與關聯性的思維方式。因此，在教學實踐中建立一套具有針對性、實效性、可操作性的培養學生系統思維的方案，使學生的學習由“點狀型”向“網面型”、由“接受型”向“樂學型”、由“階段型”向“發展型”轉變，應成為所有教育者努力的方向。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部義務教育數學課程標準（2011年版）[S]北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]周瑩，馮璐，李宗樺基于“六何”認知策略的數學解題反思：以一道高中數學概率題為例[J]中小學課堂教學研究，2017（6）：10-12.

[3] 宋運明，鄺孔秀數學教材內容的螺旋式編寫方式研究：以“平行四邊形”為例[J]數學教育學報，2018（6）：44-49.

[4]溫建紅，汪飛飛從整體視角研讀數學教科書：理據與方法：以“視圖”為例[J]數學教育學報，2017（6）：80-8.

[5]王紅權，李馨從系統的觀點看一元二次方程的解法教學設計[J]數學教育學報，2019（3）：94-97.

[6]唐劍嵐，周瑩認知負荷理論及其研究的進展與思考[J]廣西師范大學學報（哲學社會科學版），2008（2）：7-83.

[7]章建躍，陳向蘭數學教育之取勢明道優術[J]數學通報，2014（10）：1-7.

[8]史寧中，王尚志普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]北京：高等教育出版社，2018.

（責任編輯：羅小熒）

【作者簡介】陸宥伊，廣西師范大學數學與統計學院在讀碩士研究生;周瑩（本文通訊作者），廣西師范大學數學與統計學院教授，碩士研究生導師，主要研究方向為數學課程與教學論。

【基金項目】2019年度廣西高等教育本科教學改革工程重點項目“系統性思維能力導向的數學有效教學研究與實踐”（2019JGZ110）;2020年廣西研究生教育創新計劃項目“高階思維能力提升的培養模式研究”（XJGY2020010）;2020年廣西研究生教育創新計劃項目“基于概念圖的評價數學師范生系統性思維的應用研究——以一所省屬師范大學為例”（XYCSR2020060）